книги / Численная реализация решения упругохрупких задач строительной механики в пакете ANSYS

теме координат элемента. Если номер материала, соответствующий арматуре, равен 0 или совпадает с номером материала бетона, то влияние арматуры не учитывается.

Рис. 4. Выбор модели поведения и задание свойств материалов

Рис. 5. Задание настроек распределенного по объему армирования

11

Ориентация арматуры проверяется графически с помощью команды /ESHAPE и при включении векторного режима (рис. 6).

а

б

Рис. 6. Отображение арматуры: а – ориентации арматуры в конечном элементе; б – показ арматуры в элементе (включение векторного режима)

12

К специальным возможностям элемента относятся: пластичность, ползучесть, образование трещин и сколов, большие перемещения и деформации, изменение жесткости при приложении нагрузок, «рождение» и «смерть» (т.е. уменьшается жесткость элемента, если включить опцию «смерть», команда EKILL).

Рис. 7. Отображение картины распространения трещин в конструкции

Просмотр результатов решения доступен в постпроцессоре POST1, в котором также, помимо напряженно-деформированного состояния конструкции, можно посмотреть картину распространения трещин и конечные элементы, в которых появились трещины. Отображение картины трещин производится командой PLCRACK (рис. 7).

4. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Для демонстрации свойств элемента с возможностью трещинообразования рассмотрим задачу об изгибе балки (рис. 8). Исследуемая модель представляет собой закрепленную в областях S2 (так называемые стальные закладные) бетонную балку квадратного сечения размерами 0,3 0,3 3 м, к центру которой приложено

13

вертикальное давление в области S1. Для наглядности и лучшей сходимости решения нами был выбран силовой способ задания нагрузки. Во всех примерах прикладывалось давление P 10 МПа. Физико-механические характеристики материалов балки приведены в табл. 1.

S1

1 2

S2

S1

Таблица 1 Физико-механические характеристики материалов

14

Для постановки данной задачи воспользуемся понятиями и законами механики деформируемого твердого тела [2]. Напряжен- но-деформированное состояние системы определяется тензором напряжений с компонентами ij и тензором деформаций c компо-

нентами ij , которые требуется найти по известным внешним сило-

вым факторам и геометрии. Для их определения имеем следующую краевую задачу, включающуювсебяуравненияравновесия:

V – объем, занимаемый телом; (x) – плотность материала; Fi –

компоненты вектора внешних массовых сил.

Здесь и далее по умолчанию запятая с индексом означает частную производную по соответствующей координате xi; индексы при компонентах тензоров, набранные малыми латинскими буквами, принимают значения от 1 до 3. По повторяющемуся индексу (называемому немым индексом) предполагается суммирование также от 1 до 3.

Геометрические уравнения Коши (деформации считаем ма-

где ui – компоненты вектора перемещения u .

Определяющие соотношения устанавливают связь между тензорами ˆ и ˆ , конкретный вид которых зависит от физикомеханических свойств материалов. Определяющие соотношения МДТТ для случая линейной связи между напряжениями и деформациями имеют вид обобщенного закона Гука:

ij Cijkl (x) kl , x V , (8)

где Сijkl – компоненты тензора модулей упругости.

15

В изотропной среде любая плоскость является плоскостью симметрии упругих свойств. Поэтому у изотропного материала всего две независимые упругие константы:

Сijkl ij kl ( ik jl il jk ), i, j, k, l 1,3 ,

где ij – символ Кронекера, определяемый соотношениями

и связь между напряжениями и деформациями (8) для изотропной линейно-упругой кусочно-однородной среды имеет вид

первый инвариант тензора деформаций, описывающий относительное изменение объема среды; и – упругие параметры Ламе, которые длянеоднородногоматериалаявляютсяфункциямикоординат[2].

Соотношения между упругими постоянными линейной изотропной среды имеют вид

здесь Е и – модуль упругости и коэффициент Пуассона, соответственно.

На поверхностях S2 запрещены перемещения, моделируется закрепление балки. На поверхности S1 задано давление P 10 .

Остальные поверхности свободны от нагрузок. Таким образом, граничные условия имеют вид

16

PNRPU

Проведем серию численных экспериментов, чтобы проанализировать сходимость и посмотреть, как количество узловых неизвестных (размер конечного элемента) влияет на характер распространения трещин в конструкции. Сравним, как будет изменяться прогиб балки при увеличении количества узловых неизвестных в расчетной схеме. Под прогибом балки будем понимать модуль разницы вертикальныхперемещенийв точках1 (накраюбалки) и2 (центр балки):

В табл. 2 приведено количество узловых неизвестных в расчетной схеме, изменение прогиба балки при увеличении количества узловых неизвестных показано на рис. 9.

Рис. 9. Зависимость прогиба duz и прикладываемого давления при увеличении числа узловых неизвестных

17

Как видно на рис. 9, качественно процессы прогиба во всех четырех расчетах совпадают, но с увеличением числа узловых неизвестных прогиб увеличивается и конструкция быстрее разрушается, т.е. наблюдается растрескивание и раскрашивание всех элементов балки по высоте, что приводит к разламыванию конструкции. На рис. 10 показан процесс развития трещин и разлом конструкции по высоте. Трещины начинают появляться в зонах, где растягивающие усилия максимальны, в данномслучае этообласти закрепления S2 и зона врайоне точки 2 (см. рис. 8), где будетконструкцияпрогибаться.

Рис. 10. Процесс развития трещин в конструкции при росте давления P

18

Рассмотрим задачу с учетом наличия арматуры в балке. Пусть армирующие стержни присутствуют во всех трех направлениях: вдоль оси X, Y и Z, соответственно. Примем диаметр арматуры 1 см. Ввести в расчетную схему арматуру можно 2 способами:

1.Арматура распределяется по объему конечного элемента

(задается через Real Constants (см. рис. 5)).

2.Арматура моделируется стержневыми конечными элементами (например, Link8 (рис. 11)).

Рис. 11. Задание арматуры стержневыми элементами Link8

Зависимость прогиба от прикладываемого давления с учетом армирования конструкции показана на рис. 12. Учет армирования повышает прочностные характеристики конструкции, следовательно, конструкция воспринимает большие нагрузки, и появление трещин наступает позже (рис. 13). Качественно и количественно графики (см. рис. 12) достаточно близки, моделирование арматуры стержневыми элементами Link8 позволяет задать пластические свойства арматуры. Также при моделировании арматуры стержнями, если объемные элементы бетона разрушилось (их жесткость

19

стала близка нулю), то нагрузки перераспределяются и воспринимаются стержневыми элементами.

Рис. 12. Зависимость прогиба и прикладываемого давления при различных способах армирования

Рис. 13. Зависимость прогиба и прикладываемого давления при различных способах задания свойств железобетона

Результаты тестовых расчетов показывают, что конечный элемент Solid65 чувствителен к размеру сетки и способу приложения нагрузки. Помимо этого, для лучшей сходимости и точности результатов целесообразнее использовать невырожденные (кубические) конечные элементы. При решении задач с использованием модуля CONCRETE лучше всего применять итерационную проце-

дуру метода Newton-Raphson (NROPT, full).

20