книги / Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости

2. При выводе уравнения (2.13) использовалось простейшее приближение для профиля, позволившее рассчитать dT/dx. Конечно, возможно применение

множества других интерполяционных функций.

3. Важно также понимать, что для различим величин можно использовать разные профили. Например, для вычисления S необязательно предполагать линейный характер изменения S между узловыми точками, так же как необя­ зательно рассчитывать ke по его линейному изменению от kP до kE.

4. Нет необходимости использовать одинаковые профили для всех членов одного уравнения. Например, если бы в уравнение (2.10) входил дополнитель­ ный член, включающий Т, можно было бы при­

менить для его аппроксимации ступенчатый про­ филь вместо кусочнолинейного профиля, исполь­ зованного для определения dT/dx.

Основные принципы выбора интерполяцион­ ных функций и профилей. Указанная выше сво­

бода выбора интерполяционных функций и про­ филей ведет к существованию мно&ества спосо­ бов получения дискретных аналогов уравнения. Предполагается, что при увеличении числа узло­ вых точек решения всех дискретных аналогов ис­ ходного уравнения совпадают. Однако наложим дополнительное требование, которое приведет к сужению числа подходящих формул. Потребуем, чтобы -решение, полученное даже на грубой сет­ ке, во-первых, всегда имело физически правдо­

подобный характер и, во-вторых, сохраняло полный баланс.

Понять, насколько физично полученное решение, легко, по крайней мере, в простых случаях (рис. 2.4). Правдоподобное решение должно иметь такой жекачественный характер, что и точное решение. В задаче теплопроводности без источников никакой профиль температуры не может выходить за пределы тем­ ператур границ тела. При охлаждении нагретого твердого тела окружающей его жидкостью температура тела не может стать ниже температуры жидкости. Мы будем всегда применять такие тесты к полученным дискретным аналогам уравнений.

Условие полного баланса предполагает интегральное сохранение рассматри­ ваемой величины во всей расчетной области. Мы будет утверждать, что тепло­ вые потоки, массовые расходы и потоки количества движения должны правиль­ но отражать баланс с соответствующими источниками и стоками, причем длялюбого числа узловых точек, а не только в пределе при очень большом числе точек.

Такую возможность сохранения полного баланса дает метод контрольного объема, но при этом необходимо обеспечить, как вскоре увидим, правильный расчет потоков на границах контрольного объема.

Принятые требования физического правдоподобия и сохранения полного баланса будут использоваться для выбора аппроксимаций профиля и соответ­ ствующего анализа. На основании этих ограничений будут получены некоторые основные правила, которые позволят сравнить имеющиеся формулировки и разработать новые. С их помощью некоторые решения, определяемые обычно математически, могут бьпь получены из физических соображений.

31.

Аппроксимация источникового члена. Прежде чем. перейти к определению

основных правил, рассмотрим источпиковый член S уравнения (2.10). Часто источниковый член является функцией самой зависимой переменной Т, и тогда

желательно учесть эту зависимость при построении дискретного аналога. Одна­ ко формально можем учитывать только линейную зависимость, так как решение дискретных уравнений будет осуществляться, как' увидим позже, с помощью методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Способ линеари­ зации зависимости S от Т обсуждается в следующей главе. Здесь нам достаточно

записать среднее значение S в виде

объем, другими словами, использовался показанный на рис. 3.3,а ступенчатый профиль (следует заметить, что можно использовать ступенчатый профиль для 5 и кусочно-линейный для члена dT/dx).

Дискретный аналог уравнения теплопроводности с линеаризованным Источ­ никовым членом будет иметь такой же вид, как и (2.13), по с другими выраже­

2.3. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ АНАЛОГОВ

Правило 1. Соответствие потоков на границах контрольного

объема. Выражение потока через границу, общую для двух при­ легающих контрольных объемов, при записи дискретных аналогов уравнения для этих объемов должно быть одним и тем же.

Обсуждение. Очевидно, что тепловой поток, покидающий один контрольный объем через его границу, должен быть равен потоку, входящему через эту границу в соседний контрольный объем. В противном случае не будет сохраняться полный баланс теплоты. Хотя это требование и легко понять, надо следить, чтобы не было даже небольших его нарушений. Для изображенного на рис. 2.2 контрольного объема можно было рассчитать тепловые потоки kdT/dx на границе по квадратичному профилю, проходящему через 7V, ТР и я7>При использовании аппроксимации такого же типа для следующего контрольного объема градиент dT/dx на общей

32

границе окажется рассчитанным по различным профилям в зави­ симости от того, какой из контрольных объемов рассматривается. Получающееся несоответствие1 dTjdx (и, следовательно, тепло­ вого потока) показано на рис. 2.5.

К несоответствию потоков может привести также предположе­ ние о том, что все потоки на границах данного контрольного объема описываются с помощью значения коэффициента теплопро­ водности в центральной точке kP. Тогда тепловой поток на гра­ нице е (показанной на рис. 2.2) будет выражен через кР(ТР —

—Те) / ( бж)« для окружающего точку Р контрольного объема и через kE(TP— ТЕ)1(6*)е при записи разностного аналога для кон­ трольного объема с точкой Е в центре. Чтобы избежать таких

к увеличению (а не уменьшению) зна­ чения в соседней узловой точке. Тогда,

как видно из уравнения (2.13), из увеличения ТР при увеличении ТЕ следует, что коэффициенты аЕ и аР должны иметь одинаковый знак. Другими словами, в общем случае, описываемом уравне­ нием (2.15), знаки коэффициентов перед значениями зависимой переменной в соседних точках апЬ и коэффициента перед ее зна­ чением в центральной точке аР должны быть одинаковыми. Можно, конечно, выбрать их так, чтобы они все были положительными или отрицательными. Договоримся записывать разностный аналог с положительными коэффициентами. Тогда правило 2 можно сфор­ мулировать следующим образом: все коэффициенты {ар и апь) всегда должны быть положительными.

Комментарии. Из определения коэффициентов (2.14) видно, что иллюстрация дискретизации уравнения теплопроводности [см.

1 Для границ, расположенных посередине между узловыми точками, пока­ занный на рис. 2.5 тип квадратичного профиля не приводит к какому-либо не­ соответствию. Это вызвано тем, что угол наклона касательной к параболе в точке, лежащей посередине между двумя узловыми, в точности равен углу наклона прямой линии, соединяющей значения зависимой переменной в этих точках. Однако это свойство параболы следует рассматривать как случайное, и в общем случае следует избегать изменения выражений на границах между узлами при переходе от одного контрольного объема к другому.

(2.13)] действительно удовлетворяет правилу положительностикоэффициентов. Однако, как будет показано позднее, имеются многочисленные аппроксимации, в которых данное правило чаетенарушается. Обычно следствием этого является физически не­ правдоподобное решение. Наличие отрицательного «соседнего» коэффициента может привести к ситуации, в которой увеличение температуры на границе вызывает уменьшение температуры в ближайшей узловой точке. Нас будут устраивать только те аппро­ ксимации, которые при всех обстоятельствах гарантируют положи­ тельность коэффициентов.

Правило 3. Отрицательность коэффициента при линеаризации' источникового члена. Из определений коэффициентов (2.18) вид­ но, что коэффициент аР может стать отрицательным за счет SP. Этого можно полностью избежать, потребовав, чтобы S P не был положительным. Сформулируем теперь правило 3 в_ следующем виде: при линеаризации источникового члена в виде S = S C+ SPTP коэффициент 5/,всегда должен быть отрицателен или равен нулю.

Замечания. Правило 3 не настолько произвольно, как оно зву­ чит. На самом деле для большинства физических процессов угол наклона касательной к кривой, описывающей источниковый член как функцию зависимой переменной, отрицателен. Действительно, если бы S P был положительным, физический процесс мог бы стать неустойчивым. Положительность Sp свидетельствует о ростеисточникового члена при увеличении ТР, а это, в свою очередь, может привести, если нет эффективного механизма отвода теп­ лоты, к возрастанию ТР и т. д. С вычислительной точки зрения воизбежание неустойчивостей и физически нереальных решений целе­ сообразно сохранять SP отрицательным. Дальнейшее обсуждение линеаризации источникового члена проведено в следующей главе. Следует отметить, что принцип отрицательности SP существен длясчета.

Правило 4. Сумма соседних коэффициентов. Часто в рассмат­ риваемое уравнение входят только производные зависимой пере­ менной. При этом функции Т и Т + с (Т — зависимая переменная' данного уравнения, с — произвольная постоянная) удовлетворяют дифференциальному уравнению. Это свойство дифференциального уравнения также должно отразиться в его дискретном аналоге. Следовательно, уравнение (2.15) должно быть удовлетворено и в случае, если ТР и все ТпЬ увеличить на постоянную. Из этого требования следует равенство аР сумме соседних коэффициентов. Таким образом, правило 4 можно сформулировать в виде: дляслучаев, когда дифференциальное уравнение удовлетворяется так­ же при добавлении к зависимой переменной постоянной величины, необходимо, чтобы

Обсуждение. Легко видеть, что уравнение (2.13) действительна удовлетворяет этому правилу. Оно означает, что значение в сред­ ней точке ТР является средневзвешенным значений в соседних точ­

34

ках Тпъ. В отличие от коэффициентов в (2.13) коэффициенты уравнения (2.17) не подчиняются данному правилу. Однако для этого случая правило неприменимо. Если источниковый член зави­ сит от Т, то сумма Т+ с не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Однако даже в этих случаях правило 4 не следует

.забывать, так как его можно применять при рассмотрении част­ ного случая уравнения. Если, например, положить в (2.17) SP = О, правило можно применить и оно действительно выполняется.

Если дифференциальному уравнению удовлетворяют как Т, так и Т+ с, искомое температурное поле не становится неоднознач­ ным или неопределенным. Значения Т можно сделать определен­ ными с помощью соответствующих граничных условий. Выполнение правила 4 гарантирует, что, например, при увеличении темпера­ туры границы на постоянное значение все температуры увеличатся точно на это же значение.

Можно взглянуть на правило 4 с другой стороны: при отсут­ ствии источника и равенстве температур в соседних точках тем­ пература в центре ТР должна иметь такое же значение. В этих условиях только плохая аппроксимация не дает ТР=Тпь.

2.4.ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Внастоящей главе были сделаны некоторые основополагающие выводы о характере развиваемого в данной книге метода дискре­

тизации. На простом примере сформулированы четыре основных •правила, определяющих основные принципы, которые лежат в -основе дальнейшего анализа. Для удобства в качестве зависимой переменной использовалась температура Т. Ниже в гл. 3 также будет использоваться переменная Т, а затем, начиная с гл. 4, мы перейдем к обобщенной переменной Ф. Конечно, все правила этой •главы применимы и для переменной Ф.

Конвективный член в обобщенном дифференциальном уравне­ нии (1.13) требует специального рассмотрения. Этот вопрос про­ анализирован в гл. 4. Остальные три члена уравнения (1.13) рас­ смотрены в гл. 3 на примере задачи теплопроводности.

ЗАДАЧИ

2.1.Путем разложения в ряд Тэйлора около точки Р (см. рис. 2.2) покажите, что конечно-разностная аппроксимация второй производной d2T/dx5 имеет вид

2.2.С помощью метода взвешенных невязок получите дискретный аналог уравнения (2.10). Используйте следующий ход построения, предполагая для простоты постоянство k и S. Пусть весовая функция 1^=0 везде, кроме интер­ вала между точками W и Е (см. рис. 2.2). Предположим, что весовая функция кусочно-линейна и равна единице в точке Р и нулю в точках W и Е. Умножим

уравнение (2.10) на весовую функцию и проинтегрируем на интервале от W до Е. Используем кусочно-линейный профиль для Г. Сравним полученный

2* 35

дискретный аналог с уравнением (2.12) (заметим, что описанный здесь метод, являющийся частным случаем метода взвешенных невязок, известен как метод Галеркииа).

2.3. Рассмотрите уравнение (2.10), предположив, что S постоянна, a k за­ висит от х. Возьмите сетку с постоянным шагом Дх= (&х)е— (6х)ю. Получите

дискретный аналог уравнения (2.10), записав его в виде

или отрицательной, определите условия, при которых коэффициент аЕ или aw

будет отрицательным, т. е. нарушается правило 2 (следует отметить, что приве­ денная в § 2.2 аппроксимация, основанная на физическом смысле членов, не приводила к отрицательным коэффициентам).

2.4. Для осесимметричного случая уравнение стационарной одномерной те­ плопроводности имеет вид

_d_

0

т dr

где г — радиальная координата. Получите с помощью описанного в § 2.2 спо­

соба дискретный аналог этого уравнения (умножьте дифференциальное уравне­ ние на г и проинтегрируйте по г от rw до ге). Дайте физическую интерпретацию

коэффициентов полученного уравнения [заметим, что можно было бы использо­

однако такой подход, как показано в задаче 2.3, нежелателен].

Глава 3

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

3.1. ЦЕЛИ ГЛАВЫ

Здесь мы начнем рассматривать задачу построения численных методов для решения общего дифференциального уравнения (1.13), которое определяет интересующие нас физические процессы. Как мы видели, уравнение содержит четыре основных члена. В этой главе опустим конвективный член и рассмотрим три остав­

36

шихся члена. В гл. 4 будет рассмотрена аппроксимация конвек­ тивного члена.

Отбрасывание конвективного члена в уравнении (1.13) приво­ дит к задаче теплопроводности, на примере которой очень удобно рассмотреть поставленную нами общую задачу, так как физи­ ческие процессы, происходящие здесь, понятны и с математиче­ ской точки зрения не сложны.

Цели этой главы выходят, однако, за пределы построения чис­ ленных методов только для задач теплопроводности. Во-первых, ряд других физических процессов определяется аналогичными уравнениями. Среди них потенциальное течение, диффузионный перенос массы, течение через пористую среду и некоторые пол­ ностью развитые течения в каналах. Численные методы, описы­ ваемые в этой главе, непосредственно применимы ко всем этим процессам.

Теория электромагнитного поля, диффузионные модели пере­ носа теплоты излучением и течения смазки — дополнительные примеры явлений, которые определяются уравнениями типа тепло­ проводности. Хотя мы будем только эпизодически ссылаться на эти родственные процессы, важно помнить, что методы, разрабо­ танные в этой главе, непосредственно пригодны для применения в этих разных областях.

Во-вторых, метод решения алгебраических уравнений будет рассмотрен только в этой главе, однако он применим к алгебраи­ ческим уравнениям, встречающимся в последующих главах. Таким образом, даже для читателя, который интересуется только расче­ том течений жидкости, понимание этой главы необходимо; боль­ шая часть изложенного здесь (и в последующей главе) материала представляет собой существенную часть расчетной схемы задачи о течении жидкости, которая будет изложена в гл. 5.

Умение видеть подобие между переносом количества движения и теплоты и рассматривать, в некотором отношении, скорость как аналог температуры помогает получить общую схему построения решения. Использование методов решения задачи теплопровод­ ности как составной части расчета течения жидкости подтверждает сказанное.

3.2. СТАЦИОНАРНАЯ ОДНОМЕРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Основные уравнения. По мере описания в § 2.3 иллюстратив­ ного примера, который был использован для объяснения четырех основных правил, мы уже получили дискретный аналог для ста­ ционарной одномерной задачи теплопроводности. С учетом основ­ ных составляющих дифференциальное уравнение имеет вид

37

и w расположены между узловой точкой Р и соответствующими ей соседними. Места расположения этих граней можно считать про­ извольными. Возможно большое число вариантов их расположе­ ния, некоторые из них будут обсуждены ниже. Пока мы просто рассматриваем расположение е й w относительно точек Р, Е и W как известное. Величины S c и SP являются результатом линеари­ зации источникового члена в виде

(3.4)

Что касается допущений о профилях, градиент dT/dx оценивался, исходя из кусочно-линейного изменения Т в зависимости от х, хотя для линеаризации источникового члена значение ТР было распространено на весь контрольный объем. Необходимо, конечно, помнить, что возможен и допустим другой выбор профилей, соот­ ветствующих четырем основным правилам.

Ниже рассмотрены достаточно простые профили, удовлетворяю­ щие этим правилам, а их усложнения введены только там, где это необходимо.

Много важных аспектов одномерной задачи теплопроводности еще требуют обсуждения. Обратимся к их рассмотрению.

Сетка. Для узловых точек, показанных на рис. 2.2, нет необ­ ходимости, чтобы отрезки (6х)<> и (8x)w были равны. Действи­ тельно, использование неравномерной сетки часто желательно, так как позволяет эффективно загружать вычислительную машину. Точные решения будут получаться только в случае достаточно мелкой сетки. Однако нет необходимости применять сетку с малым шагом в областях, где зависимая переменная Т изменяется доста­ точно медленно с изменением х, а мелкая сетка необходима там, где зависимость Т от х является крутой.

Распространенным является мнение, что неравномерные сетки приводят к потере точности по сравнению с равномерными. Для такого утверждения нет достаточных оснований. Сетка должна быть непосредственно связана с характером изменения зависимой переменной в расчетной области. Кроме того, нет общих правил, согласно которым максимальное (или минимальное) соотношение соседних сеточных интервалов должно .быть одним и тем же.

Распределение Т от ж неизвестно до решения задачи, поэтому возникает вопрос, как можно построить соответствующую неравно­ мерную сетку? Во-первых, как правило, имеются некоторые каче­ ственные соображения о поведении решения, из которых могут быть получены некоторые указания. Во-вторых, предварительные решения на сетках с крупным шагом можно использовать для

38

определения характера зависимости Т от х. Таким образом, со­ ответствующая неравномерная сетка может быть создана. Это одна из причин, почему мы утверждаем, что наш метод может дать физически правдоподобные решения даже на сетках с круп­ ным шагом. Анализ решения, полученного на грубой сетке, не будет полезен, если метод дает приемлемые решения только на сетках с мелким шагом.

Число узловых точек, необходимое для требуемой точности и выбранного метода, должно распределяться в расчетной области в соответствии с природой решаемой задачи.

Исследование решений, использующих только несколько сеточ­ ных узлов, позволяет судить о поведении решения. Ведь таким же образом поступают обычно в лабораторном эксперименте. Проводятся предварительные эксперименты или пробные опыты, и их результаты используются для определения числа и места расположения датчиков, необходимых для конечного эксперимента.

Теплопроводность граней контрольного объема. В уравнении (3.3) коэффициент теплопроводности ke был использован для

и т. д. В этом случае необходимо каким-то образом определить коэффициент теплопроводности на грани контрольного объема, например определить ke через значения коэффициентов теплопро­ водности в узловых точках. Обсуждение, проведенное ниже, не имеет отношения к случаю постоянного коэффициента теплопро­ водности.

Переменный коэффициент теплопроводности может быть ре­ зультатом неоднородности материала, примером могут служить составные пластины.

Даже в однородном материале зависимость коэффициента теплопроводности от температуры может привести к его изменению, вызванному изменением температуры. В дифференциальном урав­ нении общего вида, записанном относительно Ф, коэффициент диф­ фузии Г может изменяться аналогично коэффициенту теплопровод­ ности k. Существенные изменения Г встречаются довольно часто, например в турбулентном течении, где Г может играть роль коэффициента турбулентной вязкости или теплопроводности. Таким образом, сама постановка задачи для переменного k или Г доста­ точно оправдана.

Наиболее простым способом определения коэффициента тепло­ проводности на грани контрольного объема является предположе­ ние о линейном изменении k между точками Р и £ .

где fe— интерполяционный коэффициент, равный отношению от­ резков, показанных на рис. 3.1:

/в=(б*)в+/(бх).. (3.6)

39

Если грань контрольного объема расположить посередине между узловыми точками, то fe будет равно 0,5 и ke будет средним арифметическим kP и kE.

В дальнейшем покажем, что в некоторых случаях это простое приближение дает не совсем правильные выводы и не обеспечивает точной аппроксимации при резких изменениях коэффициента теп­ лопроводности, что может иметь место в составных материалах. Имеется сравнительно простой способ, дающий лучшие результаты. Развивая этот способ, понимаем, что на самой грани контрольного объема е не существует локального значения коэффициента тепло­ проводности, которое нас интересует.

Основная цель данного рассмотрения — получение хорошего представления для теплового потока qe на грани контрольного объема:

которое в сущности используется в дискретном аналоге (3.2). Соотношение, определяеющее kc, следует выбрать так, чтобы по­ лучить правильное значение qe.

Предположим, что контрольный объем, окружающий узловую точку Р, заполняет материал с постоянным коэффициентом тепло­ проводности kp, а объем, окружающий точку Е, — материал с ко­ эффициентом теплопроводности kE. Для составной пластины с границей слоев, расположенной между точками Р и Е, для случая стационарной одномерной задачи (без источников теплоты) за­ пишем

Т р - Т Е

(3.8)

( 8 x ) e/ k p + (bx)eJ k E

Объединяя уравнения (3.6) —(3.8), получаем

(3.9)

Когда грань е расположена посередине между точками Р и Е, имеем fe = 0,5, тогда

k7l = 0,5 (kp1+ kEl); 1 ke = 2kPkEl(kp + kp). |

Из уравнений (3.10) видно, что ke представляет собой среднее гармоническое величин kP и kE вместо среднего арифметического, которое дает уравнение (3.5) при fe= 0,5.

40