книги / Экспериментальные методы определения напряжений и деформаций
..pdfтрудно автоматизировать. Нередко ценность методики онииаетоя введением предположений, которые на практике не подтверждают ся (предположение Хаара Кармана при определении напряжений в процессах ооеоиыметричного деформирования). Эти недостатки в значительной мере устраняются при сочетании метода измерения твердости о другими экспериментальными,методами.
Г Л А В А |
6 |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ТВЕРДОСТИ И ВОЛОКНИСТОЙ Ш Р О О Т У Г О Р Ь
Излагаемая ниже методика разработана в применении к ооеоии-
метркчным задачам пластичеокого деформирования. Ооеоимметричные задачи теории пластичности представляют
значительный интерес, Осесиьметричная деформация возникает тогда, хогда деформируемое тело имеет форму тела вращения, и нагрузки имеют общую о ним ооь симметрии (сжатие, растяжение цилиндрических тел, операции прессования, волочения, деформа ция, возникающая при внедрении в тело ооесишетричвого штампа). Обычно задача определения напряжений в таком случае рассмат
ривается в цилиндрической системе координат. Ооь ж |
цилин |
|
дрической системы координат 'г,2, |
совмещена о ооью |
|
симметрии. Цри этом |
компоненты нштяженвй не аавноят от во- |
||
яярного угла |
Тгу |
= 0 . |
Отличны от нуля компоненты |
|
Фг , б # , <5>а |
и 'Счи. |
|
С целью их определения проводится экспериментальное иссле |
|||
дование и последующая раопшфровка экспериментальных данных. Походными экспериментальными данными являются поде окружных деформаций, поле интенсивности напряжений и интенсивности дефрмаций. Поде окружных деформаций получают выявляя волокнистую макроотруктуру (естественную сетку) травлением меридиональной плоскости образца омесью ооляной кислоты со спиртом. Если в про цессе деформирования волокна совпадали с линиями тока, то после деформирования окружную деформацию в меридиональном сечении опре деляют по соотношению
(.е*)ь = ;е* )„ + е п . ^ |
(с,1 ) |
Поде интенсивности напряжений определяют по твердости. С этой це лью для исследуемого материала
путем испытания ва раотяженне, сжатие или вручение о промежу точными разгрузкамии намерениями твердости отроят тарировочвый график, связывающий интеноивнооть напряжений, твердость я интенсивность деформаций. Измерением твердости в исследуемой пюокоотн тела устанавливают раопределение твердости. Иопольвуя тарировочный график Н - б 1 -Вс г определяют поле пнтеноивности напряжений, соответствующее полю твердости. Наря
ду о янтеноивноотью напряжений, в предподопонии о единой нрп- ю й течения, определяют и интеноивнооть деформаций. При этом, как было показано, точнооть определения интенсивности цапряпе- ний достаточно высока при любых опоообах и путях нагружения. Удовлетворительная точнооть определения интенсивности деформа
ций измерением твердооти дооНзгаеТоя при пооледовашш пласти-
чеокой деформации величиной НИ |
0,03 и не более 0,4 в оду- |
чае, когда нагружение бЯйэКо а |
простому. |
Обоаначим черев <Э1 * ©ч ш<5ъ главные напряжения. Исполу еул иэввотйое соотношение дефб^фснйсй теоргш плаотсчноотп
|
|
|
|
|
|
<6 .2 ) |
подстановкой в него гидроотатичеьково давявтям |
|
|||||
|
6 |
_ |
С5х ^бч'+ б^ |
^ |
|
(6.3) |
|
|
|
|
|
|
|
получаем соотношение |
вида |
|
|
|
||
|
,5 ч |
= |
5 = Р + | |
|
(6 .4) |
|
Здеоь ^ |
Кч |
|
- экспериментально |
определяемая функция |
||
|
|
|
координат |
^ п |
2 |
|
Подставив (6 .4) |
в |
выражение интенсивности напряжений |
||||
(<51-<31)1+ (б ^ -б ^ + (6 1- б ^ )г = Яб1г и , г ) , |
(8.5) |
|||||
подучаем при |
|
(5ч > (5з |
|
|
|
|
|
6 1 - 6 5 |
= бо С'г.н ) |
|
|
(6.6) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уаховяе (6.6) цоано 8ап?са?$ в вода |
|
(б г-6г)г + 44:1* = бо* и.-г) |
(6. 8) |
Дифференциальные уравнения равновооня при ооеошшетрячиов да-
формацпд имеют вид |
|
|
|
|
|
- ъ т |
+ |
ЭИ |
. |
& г -6 |
= О |
" + |
а |
(6.3) |
|||
|
|
|
|
_ |
|
'дТ'га |
+ |
Ъ<5ъ |
+ |
|
|
|
|
ЭХ |
' Ъ - |
|
|
Совмеотшш решением спотеш |
уравнений (6.2)^(6,8) (6.9) |
||||
можно определить вое компоненты твнаора напряжений црн оооонмметрвчной шщотпчеокои деформации.
Иопольауя ооотношення |
|
|
|
|
|
||||
|
|
_ |
Л |
б*-6*. . 51ПН9 - |
Р |
— Зспй© |
|
||
|
|
• ~ |
и |
к |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
й + |
|
51н г(э» |
р +• |
%- $тге* |
(6.10) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Созйв = |
-^г-созге, |
|
||
переходим к новым неизвестным - среднему напряжвВЗД |
Р = |
|
|||||||
б углу |
О |
медду каоатольной к ляяие окольженод & |
V наврав- |
||||||
леквем |
2 |
. Лидии скольжения |
<*- и |
$> |
совпадают о траек |
||||
торией максимального касательного напряжения и двдоввяв .дох |
|||||||||
углом |
~ |
к траекториям главных напряжений, |
|
при |
|||||
чем направления |
|
и > |
фиксированы |
таким оор&иом, что |
|||||
образуют правую оистему координат, в которой касательное напря жение являбтоя положительным.
При подстановке (6ДО) в уравнение (6.6) |
оно оОращ&отад в |
|||
тождество. Уравнения (6.9) |
при этом запишутся в виде |
|||
- |
б»Сой г е |
Ц - |
- б 05>1п г е | |
| - - |
= 1- ^ |
Зшав |
- -Ъ $§* соайО * |
ип гв + 4- 5 |
|
6 о |
8 1 п 2 в - |^ - + б о С о з а © ^ - -■ |
(6.11) |
= - ^ ^ |
С о5а0- Т ^ *ч« г в - 1 1 - С о а а б |
|
Полученная система уравнений о двумя неизвестными Р ■ О отлкчаетоя от аналогичной системы, подученной А.Ю.Явлинским при исследовании ооеоишвтрнчного деформирования идеально плаотв ческого тела , лишь правой частью. Эта ожотема ОТНОСЯТ оя н кдвосу гиперболических. Характеристики ее ортогональны между собой и совпадают о линиями скольжения. Соотношения на характеристиках
С Я - б о й е - (-|-С о 5
- ( 4 ^ « а е +|% + ^ ^ - ) с 1 г = о ;
(6. 12)
с1Р+ев с !е + (^ - с о ь а е - ^ • ^ ) с ( 'г +
Запишем етя соотношения в криволинейной сиотеме координат, совмещенной о линиями окольиения :
с ) Р - б о а е - ( - |- с о 5 9 + |% 5 Ь 1 е - ^ : ^ - ) с 1 ^ = о ; |
|
||
с!р +б о а е + |
0 + Ь г Со59 + т |
(6 |
13 |
Ф = 0 * |
|
||
Здесь учтено, |
что |
|
|
(6 .1 4 '
Щ= | х З ы в н - ^ - С о з ©
Цроиктегрировав (6 Д 5 ) вдоль линий скольжения (здесь одедует
уч е сть , чтит 6о * соп&Ь |
) , |
окончательно получим |
|
Ъ ' О - Л ч |
& - * - * » , |
<6- ® |
|
А*-= ^|Х (4- С0 3 0 " |
^ ^ + 4 г ^ 1и ® ~ |
|
|
- в | ^ ) ^ + ч » м . ) ] :» |
(б л в ) |
||
5 1 г , е + ^ ^ + - ^ С о * 9 ~
- © 1 ^ ) ^ + ь с » ]
Здеоь 4*1 (А) , 4>гС^») - произвольные функции интегрирования, определяете по граничным условиям.
Нормальная и касательная составляющие напряжений на контуре овязанн о компонентами тензора напряжений соотношениями
бп = &*Со5Ч + бг 31пг^ +х-гг 51п5Ы» ;
(6.17)
'Сп=-^С6’1 - 6 * )5 1 и г Ч + 'С г а СозаЧ*
Подотав» (6.10) в (6.17)>получаем
бп = Р - % - 5 с и г ( в - ^ ) ,
(6.18)
% п =бо созг(.е-^) |
, |
откуда
0 = '^ ± о л с С о а ^ - + тДГ ,
(6.1»)
р = б * 1 % - ып г' С©-1-»)
В о л |
контур |
свободен от |
нагрузки ( бп = 0 • 'Гп = О |
, |
то |
|||
|
|
|
0 = ^ 1 |
$ . |
|
{6.20) |
||
|
|
|
р = 1 % |
|
|
|
||
Для выбора знака необходимы дополнительные уоловня, |
которые |
|||||||
могут быть подучены из постановки самой задачи. |
|
|
||||||
Таким образом, |
по |
соотношениям (6.19) (в .20) глопно опреде |
||||||
лить Р |
и |
О |
на границе исследуемой области, |
эояа |
па ной |
|||
веданы напряженйябп |
и |
Т и . |
|
|
||||
Црн расшифровке экспериментальных данных возникают различные |
||||||||
краевые задачи. Рассмотрим приемы их численного решепшь |
|
|||||||
Задача Коши возникает нри определения напряжений вблизи сво |
||||||||
бодного |
контура деформируемого тела. |
|
|
|||||
Цуоть вдоль |
гладкой дуги |
А ь , не имеющей характеристичес |
||||||
ких направлений и пересекаемой каедой характеристикой один раэ,
заданы функции |
Р й 9 . |
Требуется построить решение уравне |
|||
ний (6.16) , удовлетворяющее |
заданным значениям |
Р п 8 |
т. |
||
дуге |
АЬ . Решение существует и единственно в треугольной облас |
||||
ти, |
одной из сторон которой является данная дуга, двумя други |
||||
ми - |
линии скольжения, выходящие из ее концов. Разделим дугу на |
||||
ряд достаточно |
малых частей |
точками 1 ,2 ,3 ,.... |
(рис. 28 ), |
В оду- |
|
чае |
свободного |
контура, согласно (6.20) и (6.15) параметры |
|
||
и А> в рассматриваемых точках определяются следующим образом:
|
А ^ - 9 + 0 , 5 |
А ^ - 0 - 0 , 5 |
|
(6.21) |
||
По известному |
О графически, |
либо аналитически можно опреде |
||||
лить |
положение |
точек |
7 ,8 ,9 ... |
Для вычисления Ал |
а |
я точ |
ках |
этого ряда |
воспользуемся |
соотношением (6 .1 6 ), |
раопиоанным в |
||
конечных разностях |
|
|
|
|
||
—Е &-Т (бо)?
а
Рио. 28. Решение задачи Копя.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л?* - |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
(6. 22) |
||
Ь1- |
|
|
|
|
|
|
|
(5 о У -(6 о У |
■ ^ к . |
|
|
|
|
|
|
. |
||||
Обо}? ■ [ ^ 5 т в х + |
|
Все |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Здесь |
Ё1-7 |
, |
Ё1-7 |
- |
даоохоянже между точками |
I |
я 7, |
2 ■ 7, |
От- |
|||||||||||
ряакж |
аЬ |
|
ж |
е е |
|
периенджкудярнн ж 1-7 ж 2-7 |
в |
проходят червя |
||||||||||||
5х |
середину, |
|
причвм |
а с 1 = б Ь = -^ - |
(ржо. 28,6 |
) . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Из |
(б!б} |
одвдувт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Р = --^ г* (Ах + А>) ; 0 = 4 ; ( А а- А >) |
|
|
|
|
|
^ . 2 3 ) |
||||||||||||
Определяем |
|
Р |
|
1 |
О |
во вовх точках второго реда. Теперь яоход- |
||||||||||||||
а ш |
служит рдд точек |
7 ,8 ,9 ,Ю ЯП . Аналогично предыдущему можно |
||||||||||||||||||
построить следующий ряд и определить в |
его точках неизвестные ве |
|||||||||||||||||||
личины |
Р |
я |
|
0 |
|
и т .д . р пока не |
првдем к построению последней' |
|||||||||||||
точки области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Начальная характеристическая |
аадача. Пусть функции' |
Р |
|
■ 0 |
||||||||||||||||
заданы на двух дугах линий окодьхеняя равных семейств, |
выходя |
|||||||||||||||||||
щих ив |
одной |
точки. Требуется найти |
решение уравнений |
(6.16) |
||||||||||||||||
Решение существует в области криволинейного четырехугольника, |
||||||||||||||||||||
ограниченного двумя данными дугами |
и двумя линиями |
скольжения |
||||||||||||||||||
разных сема&отв, проходящими через их крайние точки. Разобьем |
||||||||||||||||||||
отрезки |
ОА |
|
и |
Ой |
на рдд достаточно малых точками |
1 ,2 ,3 , ... |
||||||||||||||
,10 (рио. 29,а ) . По соотношениям |
(б .22) |
определим в |
этих |
точках |
||||||||||||||||
значения |
А* |
и |
|
А> |
. Положение |
точки |
I I и |
значения в ней |
Р |
|||||||||||
О |
, |
Ал |
•, |
|
А р |
находим по известным |
Р |
01 |
, |
А * |
, |
Ад |
||||||||
в точках |
4 |
и 6, |
как |
и в |
случае задачи Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Рассмотрим также случай начальной характеристической задачи, когда линии скольжения одного семейства переоекаются в общей точке (рис. 29,в ) . Эт&'так называемы^ вырожденный случай на чальной характеристической задачи, который возникает, если грани ца тела имеет точки перелома иди нагружена сосредоточенной силой.
Цуоть |
Р и д |
заданы |
вдоль отрезка |
линий скольжения ОА' |
, |
||
положение последней на |
линий скольжения в узде О |
(иди угод |
раот- |
||||
пора в |
точке |
О |
) определяется обычно условием задачи. Требуется |
||||
найти |
решение |
системы (6.16) . Решение |
определено |
в области |
АДЕ. . |
||
В непосредственной близости.к точке |
О второе |
семейство |
(пред- |
||||
У
а . Решение начальной характеристической задачи
положим <А.) имеет вид дуг концептрпческдх ок&унностей, длина
которых |
по мере |
|
приближения к |
точке |
О |
отремитоя к нулю, |
||||||||||||||
т .е . радиуо кривизны |
^ |
|
линии &<*.-*■ О . |
Это означает, |
что |
|||||||||||||||
одна из величин |
|
А |
|
приближается к некоторому предельному |
||||||||||||||||
значению» |
общему для всех |
линий скольжения второго |
семейотва» |
|||||||||||||||||
проходящих через |
|
ату |
точку. Другая величина |
|
|
|
согласно |
|||||||||||||
(6 .23) |
терпит разрыв в точке |
|
О |
, |
приобретая ряд |
значений, |
||||||||||||||
зависящих.от угла |
6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разобьем отрезок |
ОА |
на ряд достаточно малых точками |
|
|||||||||||||||||
0 , 1 , 2 , . . ♦б, определим в этих точках |
|
Ак. |
и |
|
А л |
. Разделим |
||||||||||||||
угол |
АОС |
на ряд малых лучами 02, |
03, |
04. |
Определим углы |
©с , |
||||||||||||||
соответствующие |
этим лучам. По |
Ал. |
в |
точке |
О |
и углам |
© |
ез |
||||||||||||
соотношений (6Л 5) определим |
А> , |
соответствующее каждому лу |
||||||||||||||||||
чу. По известному |
01 |
в пересечении |
с дучом 02 находим положе |
|||||||||||||||||
ние точке 2. По соотношениям |
(6.22) |
определяем |
|
Аа |
и |
|
в |
|||||||||||||
точке |
2, |
по |
(6^2 3 / - |
Р |
и |
© |
. Аналогично |
определяем |
положе |
|||||||||||
ние точек |
3» 4 |
и |
Р |
и |
|
© |
|
для них. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В дальнейшем решение проводитоя такие л а к |
в |
общем случае на |
||||||||||||||||||
чальной характеристической |
задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Смешанная задача возникает, |
если |
в некоторой треугольной об- |
||||||||||||||||||
лаоти |
решена задача Коши, |
а |
через |
одну из |
вершин |
ое |
проходит |
|||||||||||||
прямая (например, ось симметрии), вдоль которой известен угол © .
Пусть на |
линии сколыкения |
0 6 |
заданы |
Р |
и |
9 |
, |
а на крп- |
|||||||
вой |
ОА |
, |
не |
имеющей характеристических направлений, |
известен |
||||||||||
угол |
0 |
(рио.29о). Делим отрезок крпвой ое> |
на ряд болео |
||||||||||||
мелких |
точками |
0 Д , 2 Р. . . |
Решение |
начинаем с |
точки |
I . |
Проводим |
||||||||
из нее луч под углом |
О =. — |
|
|
и в |
поросеченш |
его с ОА |
|||||||||
определяем положение |
точки |
6. Параметр |
Ар |
в |
ней |
определяем |
|||||||||
по известному |
|
в |
точке I . |
По известным |
|
|
и |
О, |
|||||||
определяем |
|
в |
затем, |
|
Р |
п точке 6. Положение |
тошен 7 и |
||||||||
неизвестные |
асущщии |
Р |
и |
© |
в ней |
определяем» |
кшс в |
слу |
|||||||
чае начальной характеристической задачи. Точка П |
определяется |
||||||||||||||
как |
точка 6 |
и так |
далее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Изложенная методика применена для анализа распределения налря- |
|||||||||||||||
яений в обойме при осадке .цилиндрического образца |
с подпором (4 0 ^ |
||||||||||||||
по этой методике |
определены напряжения при внедрении |
сферичес |
|||||||||||||
кого и |
конического штампов в |
сталь[з7| |
|
|
|
|
|
|
|||||||