2150

-9-

борочной совокупности. Проверка гипотезы проводится при помощи статистических критериев Смирнова, Романовского, Стьюдента и Ирвина в следующем порядке:

1.Результаты измерений в выборке располагаются порядке возрастания (или убывания) и определяются минимальный и максимальный результат, т.к.- именно они чаще всего вызывают подозрении, особенно если они резко отличаются по величине от других вариант выборки.

2.Формулируется нуль-гипотеза Н0, в соответствии с которой подозрительный результат статистически не отличается от других элементов выборки т.е. не является грубой ошибкой и принадлежит данной выборочной совокупности. Альтернативной гипотезой является гипотеза Н1, в соответствии с которой подозрительный результат имеет статистически значимые отличия от других элементов выборки, т.е. является грубой ошибкой и должен быть исключен из выборочной совокупности.

3.Выбирается критерий Cr проверки гипотез;

4.По результатам измерений вычисляется расчетное значение критерия Сr;

5.По справочным таблицам определяется табличное значение Cr пр числе степеней свободы f и уровне значимости α (обычно α=0,05).

6.Сравниваются величины расчетного и табличного значения Cr. Если Crр<Crтаб, то экспериментальным данным не противоречит гипотеза Н0. Если Сrр >Crтаб тo гипотеза Н0, отвергается и принимается альтернативная гипотеза Н1. Если в выборке есть несколько подозрительных результатов измерений, то такая проверка производится поочередно для каждого подозрительного результата. Грубая ошибка исключается из ряда измерений, а проверка следующего аномального результата осуществляется с использованием новой получившейся выборки объёмом (n - 1).

Расчетное значение критериев можно определить по формулам: а) критерий Смирнова:

-10-

Х и S вычисляются с использованием всех вариант выборки. Число степеней свободы при определении ς р равно f=n.

б) критерий Стьюдента:

При вычислении Rр средний результат и среднеквадратическое отклонение определяются по выборке без подозрительного результата. Число степеней свободы при определении Rтаб равно f=n.

г) критерий Ирвина:

Критерии Смирнова, Стьюдента и Романовского используются при статистической обработка сравнительно небольших выборок. При больших объемах выборки можно использовать критерий Ирвина, расчетное значение которого определяется по формуле:

а) если подозрительным результатом является последний член ранжи-

б) если подозрительным результатом является первый член выборки:

ней свободы f=n.

Примеры отбраковки грубой ошибки измерения и таблицы для определения табличных значений критериев приведены в приложениях к настоящим

-11-

"Методическим указаниям".

3. Доверительные интервалы. Интервальные оценки статистических характеристик.

Для данной выборочной совокупности точечные статистические характеристики являются вполне определенными числами, которые могут быть вычислены С любой точностью. Однако, как уже говорилось, получаемый при проведении испытаний результат всегда содержит некоторую ошибку. Вследствие этого точечные выборочные характеристики могут отклоняться В ту или другую сторону от генеральных характеристик, т.е. статистических характеристик генеральной совокупности, ИЗ которой получена выборка.

При многократном повторении при данном комплексе условий одинаковых серий измерений точечные выборочные характер. ТИКИ на числовой оси располагаются по обе стороны от значения генеральной характеристики. Интервал (θн<θ< θв) Б котором может находиться значение генеральной характеристики, с принятой доверительной вероятностью (Р) можно определить, используя распределение Стьюдента (t-распределение, t – критерий) и Пирсона (χ2- распределение, критерий Пирсона). Границы θн и θв называются нижней и верхней границей, а интервал (θв- θн) - доверительным интервалом.

Доверительный интервал математического ожидания (генерального среднего) может быть вычислен при объеме выборки n≤ 120 по формуле:

где: X - среднее арифметическое выборки с n≤ 120$

S - среднеквадратическое отклонение результата измерений, вычисляемое по формуле (5);

n - объем выборки ;

tα / 2 - критерий Стьюдента, определяемый по справочным таблицам при уровне значимости α/2, доверительной вероятности Р и числе степеней свободы f=n-1. Например, требуется определить доверительный интервал М(Х) с довери-

-12-

тельной вероятностью Р=0,95. Число степеней свободы f=n-1=11. Уровень значимости α/2=(1-Р)/2=(1-0,95)/2=0,025. Т.о. критерий Стьюдента по таблицам приложений настоящих "Методических указаний" надо определить при уровне значимости 0,025 и для этих условий он будет равен tα / 2 =2,72.

Доверительный интервал математического ожидания с доверительной вероятностью P=0,9973 можно определить используя правило трех сигм по формуле:

При необходимости проведения вероятностных расчётов прочности конструкций целесообразно пользоваться не выборочными точечными характеристиками механических свойств, а интервальными оценками. В частности, вместо выборочного среднего по прочности следует брать нижнюю границу доверительного интервала, а вместо выборочного среднеквадратичного отклонения и коэффициента вариации – верхнюю границу интервальной оценки.

-13-

Вопросы для повторения

1.Что такое генеральная и выборочная совокупность случайной величины?

2.Что такое репрезентативность выборочной совокупности?

3.Как обеспечивается репрезентативность выборочной совокупности?

4.Какими статистиками (статистическими характеристиками) характеризуется выборочная совокупность?

5.Что такое среднее арифметическое, дисперсия, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации? Каков физический смысл ука-

занных ВЕЛИЧИН

6.Какие ошибки возникают при проведении измерений?

7.Каким образом учитываются ошибки измерений при статистической обработке результатов измерений?

8.Каков порядок исключения грубой ошибки из ряда измерений (выборочной совокупности) с использованием одного из статистических критериев ?

9.Почему нельзя характеризовать свойства генеральной совокупности только точечными статистическими характеристиками, определенными по малой выборке?

10.Что такое доверительный интервал статистической характеристики?

11.Как определяется доверительный интервал генерального среднего, генерального среднеквадратического отклонения и генерального коэффициента вариации?

-14-

Приложение 1

Таблица случайных чисел от 00 до 99

-15-

-16-

-17-

-18-

Приложение 6

Критерий Пирсона