2150
.pdf
-19-
Приложение 7 Пример расчёта статистических характеристик выборочной совокупности
При определении прочности бетона получены следующие результаты:
1. |
20,0 |
5. |
23,8 |
9. |
24,1 |
2. |
23,5 |
6. |
24,0 |
10. |
24,15 |
3. |
23,6 |
7. |
24,05 |
11. |
24,20 |
4. |
23,8 |
8. |
24,10 |
12. |
24,20 |
С доверительной вероятностью Р=0,95 проверить не является минимальный и максимальный результаты грубыми ошибками измерений, вычислить статистические характеристики полученной выборки (среднее арифметическое, дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации) и определить доверительные интервалы.
Проверку гипотезы об ошибочности минимального и максимального результата измерений будем проводить по критерию Смирнова. Для отбраковки грубой ошибки измерения формулируется нулевая гипотеза Н0, в соответствии с которой подозрительный результат статистически не значимо отличается от других элементов выборки. Нуль-гипотеза Н0 не противоречит экспериментальным данным, если ξ р ξтаб . Если ξ р ξтаб , то с принятой доверительной ве-
роятностью нуль-гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза Н1, в соответствии с которой подозрительный результат имеет статистически значимые отличия от других элементов выборки, является грубой ошибкой измерений и должен быть исключён из выборочной совокупности.
Расчётное значение критерия Смирнова определим по формуле (7)
|
|
|
|
|
− хпод |
|
||
ξ р |
= |
Х |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
S × |
|
|
n − 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-20- |
где |
|
- |
среднее арифметическое, определяемое по формуле (2) с учётом всех |
Х |
|||
вариант выборки; |
|||
|
хпод - аномальный, подозрительный результат измерений в выборке; |
||
S |
- среднеквадратическое отклонение, определяемое по формуле (5) с |
||
учётом формулы (4); |
|||
n |
- число вариант в выборке. |
||
Проверим, не является ли результат Х1=20,00 МПа грубой ошибкой. Среднеквадратичное отклонение для данной выборки будет равно:
|
1 |
|
n |
2 |
|
1 |
|
12 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
80372,25 |
|
|
||||||||
S = |
|
|
∑ xi |
− |
|
× ∑(xi |
) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
6712,6 − |
|
|
|
= 1,165 МПа |
|||||||||||
n − 1 |
n |
12 |
|
|
|
|
|
12 |
|||||||||||||||||||||||
|
i =1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|||||||||||
Среднее арифметическое: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
283,5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∑ xi |
= |
|
= 23,63 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Расчётное значение критерия Смирнова: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
= |
|
23,63 − 20,00 |
|
|
= |
|
3,63 |
= 3,254 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
1,1154 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,165 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы f=12 табличное значение критерия Смирнова ζтаб=2,387. Т.к. ζр=3,254˃ ζтаб=2,387, то с принятой доверительной вероятностью гипотеза Н0 отвергается, а экспериментальным данным не противоречит гипотеза Н1, по которой Х1=20,00 МПа является грубой ошибкой и должен быть исключён из выборочной совокупности. Таким образом, выборка принимает вид:
1. |
23,8 |
5. |
24,1 |
9. |
24,15 |
2. |
23,5 |
6. |
24,0 |
10. |
24,20 |
3. |
23,6 |
7. |
24,05 |
11. |
24,20 |
4. |
23,8 |
8. |
24,10 |
|
|
Проверим, не является ли минимальный результат Х1=23,50 МПа грубой
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-21- |
|
|
|
|
|
|
|||
ошибкой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
263,5 |
= 23,96 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
Х |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S = |
1 |
|
|
− |
69432,25 |
|
= 0,244 |
|
|||||||||||
|
|
|
6312,62 |
|
|
|
|
|
|
|
МПа |
||||||||
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
11 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ξ |
= |
|
23,96 − 23,50 |
|
= 1,977 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
р |
0,244 |
11 − 1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При f=n=11 и α=0,05 ξтаб =2,343. Экспериментальным данным не противоречит гипотеза Н0, по которой результат Х1=23,50 МПа не является грубой ошибкой.
Проверим, не является ли грубой ошибкой максимальный результат
Х11=24,20 Мпа:
Х = 263,5 = 23,96 МПа 11
S = |
1 |
|
|
− |
69432,25 |
|
= 0,244 |
|
||||||||
|
|
|
|
6312,62 |
|
|
|
|
|
|
МПа |
|||||
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
11 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
23,96 − 24,20 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ξ = |
|
|
= 1,08 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
р |
0,244 |
|
11 − 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При f=n=11 и α=0,05 ξтаб =2,343. Экспериментальным данным не противоречит гипотеза Н0, по которой результат Х1=24,20 МПа не является грубой ошибкой.
После исключения грубых ошибок измерений выборочная совокупность
принимает вид: |
|
|
|
|
|
1. |
23,8 |
5. |
24,1 |
9. |
24,15 |
2. |
23,5 |
6. |
24,0 |
10. |
24,20 |
3. |
23,6 |
7. |
24,05 |
11. |
24,20 |
4. |
23,8 |
8. |
24,10 |
|
|
Для этой выборки среднее арифметическое равно Х = 23,96 Мпа, выборочная
дисперсия - S 2 = 0,06 (МПа)2 , среднеквадратическое |
отклонение S = 0,244 МПа , |
||
выборочный коэффициент вариации V= |
0,244 |
= 0,0102 |
или 1,02% |
|
|||
23,96
-22-
Доверительный интервал среднего арифметического определим по фор-
муле [12]. При f=n-1=11-1=10 и уровне значимости α/2=(1-0,95)/2=0,025 таб-
личное значение критерия Стьюдента равно tтаб=2,764.
23,96 − 2,764 0,244 ≤ М( Х ) ≤ 23,96 + 2,764 0,244
11 |
11 |
23,76 ≤ М( Х ) ≤ 24,16
Доверительный интервал среднеквадратичного отклонения определим по формуле [14]. Табличное значение критерия Пирсона при f=10 и α/2=0,025 χ2
χ2=21,2, а при f=10 и (1-α/2)=0,975 χ2(1-α/2)=3,06
0,244 × |
|
|
11 − 1 |
|
≤ σ ≤ 0,244 |
11 − 1 |
|
|
21.2 |
3,06 |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
0,168 ≤ σ ≤ 0,441 |
|
|
||||
Доверительный интервал коэффициента вариации:
0,0102 × |
11 |
≤ М(V ) ≤ 0,0102 × |
11 |
21,2(1 − 0.0102)2 − 11× 0,01022 |
3,06(1 − 0.0102)2 − 11× 0,01022 |
0,074 ≤ М(V ) ≤ 0,0193
Верхняя граница доверительного интервала среднеквадратичного отклонения и коэффициента вариации отстоит от оценки S=0,244 Мпа и V=0,0102 значительно дальше, чем нижняя граница вследствие асимметрии распределения.
-23-
Литература
1.Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии. – М.:Высшая школа, 1978. -319 с.
2.Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей. – М.:Металлургия,1968 -227 с.
3.Баженов Ю.М., Вознесенский В.А. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона. –
М.:Стройиздат, 1974. -192 с.
4.Вознесенский В.А. Статистические решения в технологических задачах. – Кишинёв:"Картя Молдовеняска",1969. – 232 с.
5.Статистический анализ в научных работах:Методическое пособие / Казаринова М.Е., Тепман Л.Н., Клепов В.И., Каплан И.Н. –
Брянск,1975. -69 с.
6.Полисюк Г.Б. Экономико-математические методы в планировании строительства. – М.:Стройиздат,1986. -272 с.
|
|
-24- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Содержание |
|
|
|
|
||
Введение …………………… |
…………………………………….. |
3 |
|
|
|
|
||
Цель работы………………………………………………………… |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Генеральная и выборочная совокупность. |
|
|
|
||||
|
Точечные выборочные статистические характеристики |
… 4 |
||||||
|
2. Исключение грубых ошибок из ряда измерений |
………… |
8 |
|||||
|
3. Доверительные интервалы. Интервальные оценки |
|
||||||
|
статистических характеристик |
……………………………. |
|
11 |
|
|
||
Вопросы для повторения ………………………………………..... |
13 |
|
|
|
|
|||
Приложения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Приложение 1. Таблица случайных чисел от 00 до 99 ……… |
14 |
||||||
2. |
Приложение 2. Критерий Смирнова |
………………………….. |
15 |
|
|
|||
3. |
Приложение 3. Критерий Стьюдента |
…………………………. |
16 |
|
|
|||
4. |
Приложение 4. Критерий Романовского |
…………………….. |
17 |
|
||||
5. |
Приложение 5. Критерий Ирвина |
……………………………... |
17 |
|
|
|||
6. |
Приложение 6. Критерий Пирсона |
|
……………………………. |
18 |
|
|
||
7. |
Приложение 7. Пример расчёта статистических |
|
|
|||||
|
характеристик выборочной совокупности |
……………………. |
19 |
|
||||
Литература ………………………………………………………….. |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
Н.М. Коннов
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАЛОЙ ВЫБОРОЧНОЙ СОВОКУПНОСТИ
Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям
(включая рекомендации по организации самостоятельной работы) для обучающихся по дисциплине "Статистическая обработка результатов исследования" направления подготовки 08.03.01 Строительство с профилем обучения «Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций»
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет"
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www.nngasu.ru, srec@nngasu.ru