Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2913

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

310.25 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

				-20-
									Приложение 4
Значение критерия Кохрена при уровне значимости α =0,05

Число степе-			Число степеней свободы числителя
ней свободы					f = (m − 1)
знаменателя
знаменателя	2	3	4	5		6	9	16		36	144
	2	3	4	5		6	9	16		36	144
к = n

2	0,975	0,939	0,906	0,877		0,853	0,801	0,734		0,660	0,581

3	0,871	0,798	0,746	0,707		0,677	0,317	0,547		0,475	0,403

4	0,768	0,684	0,629	0,590		0,560	0,502	0,437		0,372	0,309

5	0,684	0,598	0,544	0,507		0,478	0,424	0,365		0,307	0,251

6	0,616	0,532	0,480	0,445		0,418	0,368	0,314		0,261	0,212

7	0,561	0,480	0,431	0,397		0,373	0,326	0,276		0,228	0,183

8	0,516	0,438	0,391	0,360		0,336	0,293	0,246		0,202	0,162

9	0,478	0,403	0,358	0,329		0,307	0,266	0,223		0,182	0,145

10	0,445	0,373	0,331	0,303		0,282	0,244	0,203		0,166	0,131

12	0,392	0,326	0,288	0,262		0,244	0,210	0,174		0,140	0,110

15	0,335	0,276	0,242	0,220		0,203	0,174	0,143		0,114	0,089

20	0,271	0,221	0,192	0,174		0,160	0,136	0,111		0,088	0,068

24	0,235	0,191	0,166	0,149		0,137	0,116	0,094		0,074	0,057

30	0,198	0,159	0,138	0,124		0,114	0,096	0,077		0,060	0,046

40	0,158	0,126	0,108	0,097		0,089	0,075	0,060		0,046	0,035

60	0,113	0,090	0,077	0,068		0,062	0,052	0,041		0,032	0,023

120	0,063	0,050	0,042	0,037		0,034	0,028	0,022		0,017	0,012

			-21-
							Приложение 5
Значение критерия Фишера при уровне значимости α =0,05

Число степе-		Число степеней свободы числителя
ней свободы				f1
знаменателя
знаменателя	2	3	4	5	6	9	12
	2	3	4	5	6	9	12
f2
2	19,0	19,2	19,2	19,3	19,3	19,4	19,4

3	9,55	9,28	9,12	9,10	8,94	8,81	8,74

4	6,94	6,59	6,39	6,26	6,15	6,00	5,91

5	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,77	4,68

6	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,10	4,00

7	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,68	3,57

8	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,39	3,28

9	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,18	3,07

10	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,02	2,91

11	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	2,90	2,79

12	3,89	3,49	3,26	3,11	3,00	2,80	2,69

13	3,81	3,41	3,18	3,03	2,92	2,71	2,60

14	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,65	2,53

15	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,59	2,48

16	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,54	2,42

17	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,49	2,38

18	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,45	2,34

19	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,42	2,31

20	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,39	2,28

24	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,30	2,18

26	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,27	2,15

28	3,34	2,95	2,71	2,56	2,45	2,24	2,12

30	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,21	2,09

40	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,12	2,00

60	3,15	2,76	2,53	2,37	2,25	2,04	1,92

120	3,07	2,68	2,45	2,29	2,17	1,96	1,83

∞	3,00	2,60	2,37	2,21	2,10	1,88	1,75

-22-

							Окончание табл.

Число степе-		Число степеней свободы числителя
ней свободы				f1
знаменателя
знаменателя	15	20	30	50	100	200		∞
f2	15	20	30	50	100	200		∞
f2

2	19,4	19,4	19,5	19,5	19,5	19,5		19,5

3	8,70	8,66	8,62	8,58	8,55	8,54		8,53

4	5,86	5,80	5,75	5,70	5,66	5,65		5,63

5	4,62	4,56	4,50	4,44	4,41	4,39		4,36

6	3,94	3,87	3,81	3,75	3,71	3,69		3,68

7	3,51	3,44	3,38	3,32	3,27	3,25		3,23

8	3,22	3,15	3,08	3,02	2,97	2,95		2,93

9	3,01	2,94	2,86	2,80	2,76	2,73		2,71

10	2,85	2,77	2,70	2,64	2,59	2,56		2,54

11	2,72	2,65	2,57	2,51	2,46	2,43		2,40

12	2,62	2,54	2,47	2,40	2,35	2,32		2,30

13	2,53	2,46	2,38	2,31	2,26	2,23		2,21

14	2,46	2,39	2,31	2,24	2,19	2,16		2,13

15	2,40	2,33	2,25	2,18	2,12	2,10		2,07

16	2,35	2,28	2,19	2,12	2,07	2,04		2,01

17	2,31	2,23	2,15	2,08	2,02	1,99		1,96

18	2,27	2,19	2,11	2,04	1,98	1,95		1,92

19	2,23	2,16	2,07	2,00	1,94	1,91		1,88

20	2,20	2,12	2,04	1,97	1,91	1,88		1,84

24	2,15	2,07	1,94	1,86	1,80	1,77		1,73

26	2,11	2,03	1,90	1,82	1,76	1,73		1,69

28	2,04	1,95	1,87	1,79	1,73	1,69		1,65

30	2,01	1,93	1,84	1,76	1,70	1,66		1,62

40	1,92	1,84	1,74	1,66	1,59	1,55		1,51

60	1,84	1,75	1,65	1,56	1,48	1,44		1,39

120	1,75	1,66	1,55	1,46	1,37	1,32		1,25

∞	1,67	1,57	1,46	1,35	1,24	1,22		1,11

				-23-
								Приложение 6
Значение критерия Фишера при уровне значимости α =0,01

Число степе-			Число степеней свободы числителя
ней свободы					f1
знаменателя
знаменателя	2	3	4	5	6	8	12		24	∞
f2	2	3	4	5	6	8	12		24	∞
f2

2	99,2	99,3	99,3	99,3	99,4	99,4	99,4		99,5	99,5

3	30,8	29,4	28,7	28,2	27,9	27,5	27,1		26,6	26,1

4	18,0	16,7	16,0	15,5	15,2	14,8	14,4		13,9	13,5

5	13,3	12,1	11,4	11,0	10,7	10,3	9,9		9,5	9,0

6	10,9	9,8	9,2	8,8	8,5	8,1	7,7		7,3	6,9

7	9,6	8,5	7,9	7,5	7,2	6,8	6,5		6,1	5,7

8	8,7	7,6	7,0	6,6	6,4	6,0	5,7		5,3	4,9

9	8,0	7,0	6,4	6,1	5,8	5,5	5,1		4,7	4,3

10	7,6	6,6	6,0	5,6	5,4	5,1	4,7		4,3	3,9

11	7,2	6,2	5,7	5,3	5,1	4,7	4,4		4,0	3,6

12	6,9	6,0	5,4	5,1	4,8	4,5	4,2		3,8	3,4

13	6,7	5,7	5,2	4,9	4,6	4,3	4,0		3,6	3,2

14	6,5	5,6	5,0	4,7	4,5	4,1	3,8		3,4	3,0

15	6,4	5,4	4,9	4,6	4,3	4,0	3,7		3,3	2,9

16	6,2	5,3	4,8	4,4	4,2	3,9	3,6		3,2	2,8

17	6,1	5,2	4,7	4,3	4,1	3,8	3,5		3,1	2,7

18	6,0	5,1	4,6	4,3	4,0	3,7	3,4		3,0	2,6

19	5,9	5,0	4,5	4,2	3,9	3,6	3,3		2,9	2,4

20	5,9	4,9	4,4	4,1	3,9	3,6	3,2		2,9	2,4

24	5,6	4,7	4,2	3,9	3,7	3,3	3,0		2,7	2,2

26	5,5	4,6	4,1	3,8	3,6	3,3	3,0		2,6	2,1

28	5,5	4,6	4,1	3,8	3,5	3,2	2,9		2,5	2,1

30	5,4	4,5	4,0	3,6	3,5	3,2	2,8		2,5	2,0

40	5,2	4,3	3,8	3,5	3,3	3,0	2,7		2,3	1,8

60	5,0	4,1	3,7	3,3	3,1	2,8	2,5		2,1	1,6

120	4,8	4,0	3,5	3,2	3,0	2,7	2,3		2,0	1,4

∞	4,6	3,8	3,3	3,0	2,8	2,5	2,2		1,8	1,0

-24-

Приложение 7

Пример статистического анализа двух групп испытаний

При изучении влияния на прочность бетона добавки ускорителя тверден я проведены сравнительные испытания двух серий бетонных образцов, изготовленных по единой технологии из бетона без добавок (серия №1) и с добавкой 1,5% Na2SO4 от массы цемента. При проведении испытаний получены следующие результаты:

серия №1

Значения прочности бетона, МПа

1.		38,1	5.	38,2	9.	40,3	13.	40,3

2.		40,4	6.	40,6	10.	40,8	14.	42,2

3.		40,5	7.	40,7	11.	41,9	15.	46,1

4.		40,5	8.	40,7	12.	42,0

	серия №2

			Значения прочности бетона, МПа

1.		42,0	5.	42,4	9.	42,5	13.	42,8

2.		42,1	6.	42,5	10.	42,6	14.	46,5

3.		42,3	7.	42,5	11.	42,6	15.	47,6

4.		42,3	8.	42,5	12.	42,6

С доверительной вероятностью Р=0,95 провести проверку резко выделяющихся результатов (исключить грубые ошибки измерений), вычислить статистические характеристики, проверить гипотезу о статистическом равенстве средних результатов и дисперсий выборок. По результатам проверки гипотез о равенстве дисперсий и средних результатов решить вопрос о причинах различия прочности в сериях и о возможности объединения серий в одну выборочную совокупность.

1. Статистическая обработка результатов измерений серии №1

Исключение грубых ошибок измерений проводится по критерию Смирнова (ζ). а) принимаем за подозрительный результат Rпод=Rmax=46,1 МПа;

-25-

Средний результат:

	=	38,1 + 38,2 + 40,3 + 40,3 + 40,4 + 40,5 + 40,5 + 40,6 + 40,7 + 40,7 + 40,8 + 41,9 + 42,0 + 45,1 + 42,2	= 40,887 МПа
R

1	15

Дисперсия:

S12 =	1			−	613.32	= 3.396	(МПа)2
			25123.33

	15	− 1			15

Среднее квадратичное отклонение:

S = 3 . 396 = 1 . 8427

Расчётное значение критерия Смирнова:

ξ р	=	40.887 −			46.1	= 2.93

		1.8427	×	(15	− 1) / 15

При уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы f=15 табличное значение критерия Смирнова равно ζтаб=2,403.

Так как ζтаб=2,403< ζр=2,93 то с принятой доверительной вероятностью принимается гипотеза Н1, по которой подозрительный результат статистически значимо отличается от остальных элементов выборки и должен быть исключён из данной серии измерений.

б) принимаем за подозрительный результат в новой выборке

Rпод=Rmax=42,2 МПа

средний результат:

	1	=	567.4	= 40.51	МПа;			S 2′ = 1.417 ( МПа )2		S′ = 1.19 МПа
R	1		567.4
R
1		14						1		1
		14
				ξ	р	=	40,514 − 42,2		= 1,47
							40,514 − 42,2


							1,19	× (14 − 1) / 14
							1,19	× (14 − 1) / 14

ζтаб=2,461. Так как ζтаб=2,461˃ ζр=1,47, то с принятой доверительной вероятностью принимается основная гипотеза, в соответствии с которой результат Rпод=Rmax=42,2 МПа статистически не значимо отличается от других элементов, т.е. не является грубой ошибкой и принадлежит данной выборочной совокупности.

в) принимаем за подозрительный результат Rпод=Rмин=38,1 МПа

-26-

	1	=	567.4	= 40.51	МПа;			S 2′ = 1.417 ( МПа )2		S′ = 1.19 МПа
R	1		567.4
R
1		14						1		1
		14
				ξ		=	40,514 − 38,1		= 2,414
							40,514 − 38,1
					р

							1,19	× (14 − 1) / 14
							1,19	× (14 − 1) / 14

ζтаб=2,461. Так как ζтаб=2,461˃ ζр=1,47, то с принятой доверительной вероятностью принимается основная гипотеза, по которой минимальный результат не является грубой ошибкой и принадлежит данной выборке. таким образом выборка номер 1 принимает вид:

серия №1 после исключения грубых ошибок измерений:

Значения прочности бетона, МПа

1.	38,1	5.	38,2	9.	40,3	13.	40,3

2.	40,4	6.	40,6	10.	40,8	14.	42,2

3.	40,5	7.	40,7	11.	41,9

4.	40,5	8.	40,7	12.	42,0

Статистические характеристики серии измерений №1 после исключения грубых ошибок:

Среднее арифметическое		1	= 40.514
	R			МПа
Дисперсия	S12		= 1,417	( МПа )2
Среднее квадратичное отклонение	S1		= 1.19 МПа
Коэффициент вариации	V1		= 0,029

2. Статистическая обработка результатов измерений серии №2

а) принимаем за подозрительный результат Rпод=Rmax=47,5 МПа;

	1	= 43,05 МПа;	S 2′ = 2,171	( МПа)2 S′			= 1,648 МПа
R	1	= 43,05 МПа;	S 2′ = 2,171	( МПа)2 S′			= 1,648 МПа
2			2		2
		ξ р =	43,05 − 47 ,5			= 2,855
			43,05 − 47 ,5


			1,648 × (15 −	1) / 15
			1,648 × (15 −	1) / 15

При уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы f=15 табличное значение критерия Смирнова равно ζтаб=2,493. Так как ζтаб=2,493˃ ζр=2,855, то с принятой доверительной вероятностью принимается альтернативная гипотеза, по которой результат Rпод=Rmax=47,5 МПа статистически значимо отличается от других

-27-

результатов выборки и должен быть исключён из данной выборки. б) принимаем за подозрительный результат Rпод=Rmax=46,5 МПа;

1′ = 42,73

МПа; S 2′′ = 1,222

( МПа)2 S

′′ = 1,105 МПа

ξ р

42,73 − 46 ,5

= 3,54

1,105 × (14

−

1) / 14

При уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы f=14 табличное значение критерия Смирнова равно ζтаб=2,461. Так как ζтаб=2,461< ζр=3,54, то с принятой доверительной вероятностью принимается альтернативная гипотеза, по которой результат Rпод=Rmax=46,5 МПа грубая ошибка и должен быть исключён из выборочной совокупности.

в) принимаем за подозрительный результат Rпод=Rmax=42,8 МПа;

	1′′ = 42,44 МПа;	S 2′′′ = 0,048	( МПа )2 S		′′′= 0 ,219 МПа
R	1′′ = 42,44 МПа;	S 2′′′ = 0,048	( МПа )2 S		′′′= 0 ,219 МПа
2		2			2
	ξ р =	42,44 − 42,8		= 1,725
		42,44 − 42,8


		0 ,219 × (13 −	1) / 13
		0 ,219 × (13 −	1) / 13

При уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы f=13 табличное значение критерия Смирнова равно ζтаб=2,426. Так как ζтаб=2,426˃ ζр=1,725, то с принятой доверительной вероятностью принимается прямая гипотеза, по корой результат Rпод=Rmax=42,8 МПа не является грубой ошибкой и принадлежит данной выборке.

г) принимаем за подозрительный результат Rпод=Rмин=42,0 МПа;

1′′′ = 42,44

МПа; S 2′′′′

= 0 ,0475

( МПа )2 S′′′=′

0 ,218 МПа

ξ р

42,44 − 42,0

= 2,092

0 ,218

× (13 −

1) / 13

При уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы f=13 табличное значение критерия Смирнова равно ζтаб=2,426. Так как ζтаб=2,426˃ ζр=1,725, то с принятой доверительной вероятностью принимается прямая гипотеза, по корой результат Rпод=Rmax=42,0 МПа не является грубой ошибкой и принадлежит данной выборке.

-28-

Таким образом серия №2 после исключения грубых ошибок принимает вид:

Значения прочности бетона, МПа

1.	42,0	5.	42,4	9.	42,5	13.	42,8

2.	42,1	6.	42,5	10.	42,6

3.	42,3	7.	42,5	11.	42,6

4.	42,3	8.	42,5	12.	42,6

Статистические характеристики серии измерений №2 после исключения грубых ошибок:

Среднее арифметическое		2	= 42.44
	R			МПа
Дисперсия	S22		= 0 ,0475	( МПа)2
Среднее квадратичное отклонение	S2		= 0 ,218	МПа
Коэффициент вариации	V2		= 0 ,005

3. Сравнение двух групп ипытаний

3.1. Проверка статистического равенства дисперсий двух выборок Проверка гипотезы Н0 о статистическом равенстве дисперсий двух выборок

(Н0: S12 = S22 ) проводится по критерию Фишера, расчётное значение которого оп-

ределяется по формуле:

F		=	Sмак2		=	1,417	= 29,78
	р
			S	2	0 ,0475

				мин

Табличное значение критерия Фишера при принятом уровне значимости, числе степеней свободы числителя fч=n-1=14-1=13 и числе степеней свободы знаменателя fзн=13-1=12 равно Fтаб=2,69. Так как Fр = 29,78 Fтаб = 2,69 , то с принятой доверительной вероятностью принимается альтернативная гипотеза, по которой дисперсии выборок имеют статистически значимые отличия.

3.2. Проверка статистического равенства средних результатов двух выборок Проверка гипотезы о статистическом равенстве средних результатов двух се-

рий проводится по критерию Стьюдента. Поскольку подтверждено наличие статистически значимых различий между дисперсиями этих выборок, то расчётное

-29-

значение t-критерия определяется по формуле [6]

t р	=	40,514	− 42,44	= 5 ,942

		( 1,417 / 14 ) + 0 ,0475 / 13 )
		( 1,417 / 14 ) + 0 ,0475 / 13 )

Число степеней свободы t-критерия определится по формуле (8)

f =

− 1)× (n − 1)

C =

S 2

/ n

( n

− 1 ) × C 2 + ( n

− 1 ) × ( 1 − C )2

( S 2

/ n )

+ ( S 2

/ n )

C =

1,417 / 14

= 0 ,965

0, )475 / 13

1,417 / 14 +

f =

( 14 − 1 )( 13

− 1 )

= 13,438

f = 14

( 13 − 1 )

× 0,965 + ( 14 −

1 ) × ( 1 − 0,965 )

При α=0,05 и числе степеней свободы f=14 tтаб=2,145. Так как t р

= 5 ,942 ˃ tтаб=2,145,

принимается альтернативная гипотеза, по которой между средними результатами наблюдаются статистически значимые различия.

4. Выводы

Статистический анализ двух серий испытаний бетонных образцов подтвердил наличие статистически значимых отличий дисперсий и средних результатов. На основании этого с доверительной вероятностью 95% можно утверждать, что выборочная совокупности принадлежат к разным генеральным совокупностям и, следовательно, не могут быть объединены в одну выборку. На основании проведённого анализа можно утверждать, что отличия в прочности получены за счёт введения в бетон серии №2 добавки ускорителя твердения. Однако следует отметить, что на величину отличия прочности бетона серий №1 и №2 оказывает влияние не только введение добавки сульфата натрия, но и случайные величины (например, разная точность проведённых измерений, качество использованных для изготовления образцов форм и т.д), на что указывают статистически значимые отличия дисперсий этих выборок.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023309.66 Кб12909.pdf
#
21.11.2023106.5 Кб0291.pdf
#
21.11.2023309.73 Кб02910.pdf
#
21.11.2023309.83 Кб02911.pdf
#
21.11.2023309.89 Кб02912.pdf
#
21.11.2023310.25 Кб12913.pdf
#
21.11.2023310.3 Кб22914.pdf
#
21.11.2023310.46 Кб02915.pdf
#
21.11.2023310.53 Кб02916.pdf
#
21.11.2023310.81 Кб02917.pdf
#
21.11.2023310.81 Кб12918.pdf