3492

8.

Уравнение

x2

-

y 2

= -1 задает гиперболу, сопряженную к (10). Для

a 2

b2

сопряженной

гиперболы b – действительная полуось, a – мнимая

полуось.

Она

расположена

в

области

y

³ b .(на

рис. 6

изображена

пунктиром).

«Вырождения» гиперболы:

x

2

y 2

x

y x

y

x

y

x

y

-

= 0 ,

-

+

= 0 отсюда

-

= 0 и

+

= 0

b 2

a 2

a

b a

b

a b

a b

или

y =

b

x

и

y = -

b

x –

пара пересекающихся прямых.

a

a

Пример.

Точка M (6,-2

)

2

лежит на гиперболе, уравнения асимптот

которой y = ±

2

x . Составить уравнение гиперболы и построить ее.

3

Решение. Каноническое уравнение гиперболы

x2

-

y 2

=1, т.к.

a 2

b2

асимптоты y = ±

2

x , то

b

=

2

, b =

2

a . Подставим последнее в уравнение

3

a

3

3

x2

-

y 2

× 9 =1, далее т. M (6,-2

) лежит на гиперболе, т.е.

гиперболы:

2

a 2

4a 2

36

-

8 × 9

=1,

144 - 72

=1,

72 = 4a2 ,

a2 =18,

a = 3

2 ;

тогда

4a 2

a2

4a2

b =

2

× 3

= 2

. Итак, искомое уравнение

x2

-

y 2

=1.

2

2

3

18

8

- 3 2

3 2

x

Уравнение вида

y2

= −2 px

(14)

определяет параболу, для которой x ≤ 0 , т.е. график этой параболы:

y

M(x,y)

0

p

−

p

x

F

,0

2

2

Рис. 9.

Уравнения вида

x2

= 2 py

(15)

x2

= −2 py

(16)

задают параболы симметричные относительно оси oy :

p

y

N

y

2

p

0

x

F 0,

p

M

2

M

F 0,−

2

0

x

«Вырождения» параболы:

1.

x2

= −k 2 ,

y 2

= −k 2 . Эти уравнения не определяют никакого точечного

множества при k ¹ 0 .

2.

x2

= k 2 ,

y2

= k 2 , эти уравнения определяют пару параллельных

62 ¹ 2 p × (- 2), т.к. p > 0 .

62 = -2 p × (- 2)

36 = 4 p

p = 9

0

6

Значения коэффициентов A, B,C общего уравнения (1)

кривой II-го

порядка Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 определяют, к

какому типу

x = x′ × cosα - y′ × sinα

–

формулы преобразования координат т. M при

= x¢ × sinα + y¢ × cosα

y

повороте осей на угол α .

x′ = x × cosα + y × sinα

–

обратные формулы.

y¢ = -x × sinα + y × cosα

Пример 1. С помощью параллельного переноса осей координат

привести к простейшему виду уравнение кривой x2

+ 2 y2 − 4x + 8 y − 10 = 0 и

построить ее.

Решение.

AC - B2 = 2 > 0 –

кривая эллиптического типа. Преобразуем

данное уравнение – сгруппируем полные квадраты

x2 − 4x + 4 − 4 + 2(y 2 + 4 y + 4 − 4)− 10 = 0

(x - 2)2 + 2(y + 2)2 = 22

(x − 2)2

+ (y + 2)2

= 1.

22

11

Положим

x - 2 = x′

эта

система задает

формулы параллельного

= y¢

y + 2

переноса

осей

координат в т.O1 (2,−2). Получим уравнение эллипса:

x12

+

y12

=11,

a =

, b =

и

с

полуосями

22

11

центром симметрии в

22

11

т. O1 (2,−2).

y

0

by′

x

O1

-a

a

x′

x = x′ × cosα - y′ × sinα

= x¢ × sinα + y¢ × cosα

y

(x′cosα − y′sinα )(x′sinα + y′cosα ) = m

x

′2

cosα sinα − y

′

2

′ ′

2

α − sin

2

α ) = m

sinα cosα + x y (cos

cos2 α - sin2 α = 0 ,

cos 2α = 0 ,

2α = π ,

α = π .

при α = π

2

4

Итак,

мы избавились

в уравнении от

слагаемого,

4

содержащего произведение x′ × y′ и получили уравнение вида

x¢2

×

2

×

2

- y¢2 ×

2

×

2

= m

или

2

2

2

2

x′2

-

y′2

=1 – это уравнение гиперболы с полуосями a = b =

2m .

2m

2m

y′

y

x′

2

2

x + 2 = x¢

(x + 2)

= -3 y +

.Положим, что

+

2

= y¢

являются

формулами

3

y

3

параллельного переноса в т. O1

- 2,-

2

.

Получим уравнение:

x′2 = -3y′ –

3

2

парабола с вершиной в т. O1

- 2,-

и симметричная относительно оси oy′ .

3

y′

y

-2

x

O

O1

−

2

x′

-2

3

Пример 4. Построить кривую y =

x + 3

.

2x + 1

Решение. Перепишем уравнение 2xy - x + y - 3 = 0 , 2x + 1 ¹ 0 .

AC - B2 = -4 < 0 –

кривая гиперболического типа.

Преобразуем данное уравнение:

1

1

5

2 y x +

-

x

+

-

= 0

2

2

2

1

1

5

x +

y -

=

2

4

2

1

= x¢ . Получим x¢ × y¢ =

Положим x +

5

.

2

y -

1

= y¢

4

2

1

1

O¢ -

,

–

новое начало координат после параллельного переноса.

2

2

17

′

′

′

′

o

Повернем оси координат o x

и o y

на угол 45

(см. пример 2).

2

2

x′ = x′′

− y′′

2

2

2

2

y′ = x′′

2

− y′′

2

Получим уравнение (x¢¢)2 ×

1

- (y¢¢)2 ×

1

=

5

,

(x

′′ 2

′′

2

2

4

2

= 1 –

гипербола, где

a = b =

2,5 .

) − (y

)

2,5

2,5

y′

y

y′′

x′′

2,5

2,5

O′

1

2