Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3877

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

407.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

									3
	4		25− x2						3	x
	4		25− x2					4		x
2.01	∫ dx			∫ xydy			2.02	∫dx ∫(x 2 − xy)dy
	0			0				0		x2
								2		y2				2
	4	2						2		y2				2
2.03	∫dx ∫ x 2 ydy						2.04	∫dy ∫				e y			dx
2.03	∫dx ∫ x 2 ydy						2.04	∫dy ∫							dx
	1	0						0		0			y
	1	0						0		0
	π									2− y
	2	2 y						1		2− y
2.05	∫dy ∫sin(2x − 3y)dx						2.06	∫dy ∫e2 x− y dx
	0	0						0		0
		3− x						1
	2										y
	2							2			y
2.07	∫dx ∫ x3 ydy						2.08	∫ dy ∫ (4xy + x)dx
	0	0						0		y
	1	x2 +1							1 4−x2
2.09	∫ dx ∫ xe 2 y dy						2.10	∫ dx ∫ xe3 y dy
	0	0						0		0
	1	3− x						1,5		y+3
2.11	∫dx ∫			(3xy − 2 y)dy			2.12		∫ dy ∫ xy 2 dx
	0	2 x2						0			y
	ln 3	4			xy			π		2
2.13	∫ dy∫ ye					dx	2.14		∫ dy∫ y cos xy dx
2.13	∫ dy∫ ye				2	dx	2.14		∫ dy∫ y cos xy dx
	ln 2	2						π		1
								2
	ln 4	1						ln 3		8						xy
2.15	∫ dy ∫4 ye2 xy dx						2.16		∫ dy∫ ye								dx
2.15	∫ dy ∫4 ye2 xy dx						2.16		∫ dy∫ ye							4	dx
	ln 3	1		2				ln 2		4
				2
	π								π	2
	2	2						2		2
2.17	∫dy∫2 y cos 2xy dx						2.18		∫ dy∫4 y3 sin(xy2 )dx
	π	1						π		1
	4							4
	3π	1						1,5π		2
2.19	∫dy ∫ y cos(xy)dx						2.20		∫ dy ∫ y sin 2xy dx
	π	0,5							π	0,5
								2
	1	y						0		0								πxy
2.21	∫dy∫2 y 2e xy dx						2.22		∫dy ∫ y 2 cos									πxy	dx
2.21	∫dy∫2 y 2e xy dx						2.22		∫dy ∫ y 2 cos										dx
	0	0						−1		2 y				4
	0	0						−1		2 y

	0	0		2	2−x
2.23	∫dy ∫ y 2e−xy dx		2.24	∫dx ∫ x2dy
	−2	y		−2	0
		4
		2− y
	2	2− y		3		9−x2
2.25	∫ dy ∫(x2 + y 2 )dx		2.26	∫dx		∫2 ydy
	0	0		0	0
	1	2 y2 +1		1	x
2.27	∫dy	∫(1 − y 2 )dx	2.28	∫ dx ∫ xy 2 dy
	0	y2		0	x2
	3	5		1	2− y
2.29	∫dy ∫(x + 2 y)dx		2.30	∫dy ∫(x + y 2 )dx
	−3	y2 −4		0		y

§4. Изменение порядка интегрирования

вдвукратном интеграле

Величина двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования, поэтому

b ϕ2 ( x) d ψ 2 ( y )

∫ dx ∫ f (x, y)dy = ∫ dy ∫ f (x, y)dx .

a ϕ1 ( x) c ψ1 ( y)

Переход от одного повторного интеграла к другому называется изменением порядка интегрирования. При этом пределы интегрирования меняются существенным образом. Более того, вместо одного повторного интеграла можно получить несколько. И в этом случае нужно построить область интегрирования, восстановив ее по пределам интегрирования в заданном повторном интеграле.

Пример 1. Изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле

4 12 х

∫ dx ∫ f (x, y)dy

0 3x2

Решение. Область интегрирования ограничена следующими линиями:

х = 0, х = 4, у = 3х2, у = 12х.	х = 4, и у = 12х – прямые, у = 3х2 –
Построим область: х = 0,	х = 4, и у = 12х – прямые, у = 3х2 –
парабола, осью симметрии которой является ось Оу (рис. 5).
у	11
50 -	•	А
	•	А
40 -

	у = 3х2	с
Решая систему	, находим точки пересечения прямой у = 12х
у = 12х
параболой у = 3х2: О(0;0) и А(4;48).
Для горизонтали PQ “ точка входа” в область D есть точка Р(хР; у)		и

точка выхода – Q(xQ; y). Точка Р находится на прямой у = 12х, отсюда хР =

Точка Q находится на параболе у = 3х2, отсюда xQ =

. Следовательно, при 0

≤ у ≤ 48 переменная х изменяется от х

до

. Окончательно

получаем

∫dx ∫ f (x; y)dy = ∫dy ∫ f (x; y)dx .

3x2

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле

x+2

∫dx ∫ f (x, y)dy .

−1

Решение. Область интегрирования ограничена следующими линиями:

х = -1; х = 2; у = х2; у = х + 2.

у = х2 – парабола,

Построим область: х = -1,

х = 2 и

у = х + 2 – прямые,

осью симметрии которой является ось Оу (рис.6).

		у
				х = 2
				• В
	-1
	=		M	N
			M	N
	х		•	•
		•		y = x2
		•		D2
	A •	D1		Q
у =х+2		D1	•
у =х+2		•	•
		P
				x
		Рис.6

Точки А и В – это точки пересечения прямой у = х + 2 с параболой у =

х2. Их координаты находятся из решения системы							у = х + 2	.
х2. Их координаты находятся из решения системы							у = х2	.
							у = х2
х2 = х +2 х2 − х − 2 = 0 х		=	1	±	1	+ 2
х2 = х +2 х2 − х − 2 = 0 х		=		±		+ 2
	1,2	2			4
		2			4
х1 = 2,	у1 = 4 , х2 = −1, у2 = 1. Тогда					А(−1;1) , В(2;4) .

Слева область D ограничена частью параболы у = х2 и прямой у = х + 2, а справа - частью параболы у = х2, поэтому мы её разбиваем на две правильные области D1 и D2. Таким образом, данный интеграл будет равен двум двукратным (повторным) интегралам: один по области D1, а другой по области D2:

x+2

∫dx ∫ f (x; y)dy = ∫dy ∫ f (x, y)dx + ∫dy ∫ f (x, y)dx

−1

хР, хQ и xN находится из уравнения параболы у

= х2.

Отсюда х = ±

хР = −

хQ =

и хN =

следовательно

y .

хМ находится из

уравнения прямой у = х + 2.

Отсюда хМ = у – 2. Окончательно получаем:

x+2

∫dx ∫ f (x; y)dy = ∫dy ∫ f (x; y)dx + ∫ dy ∫ f (x; y)dx .

−1

−

1 y−2

Пример 3.

Изменить порядок интегрирования

1− y2

∫ dу∫ f

(x; y)dx + ∫ dy ∫ f (x; y)dx

Решение.

Область интегрирования D1 для первого двукратного

интеграла ограничена прямыми линиями:

у = 0;

у =

2 ;

х = 0; х = у.

Область интегрирования D2 для второго двукратного интеграла ограничена

линиями:

у =

2 ;

у = 1;

х = 0;

х =

1 − у2 .

у = 0, х = 0,

у =

2 ,

х = у – прямые, а х = 1 − у2

- дуга окружности х2 +у2

= 1 с центром в начале координат радиуса R = 1. Изобразим эти области на

чертеже (рис. 7).

Из чертежа видно, что области D1

и D2 вместе образуют область D

(нижней её границей является отрезок у = х, а верхней её границей является

дуга окружности

х2

+у2 = 1), поэтому

при

0 ≤ х ≤

переменная у

изменяется от уР = х до yQ =

1 − x2 .

х =

х2 + у2

= 1

•

у = х

•

х = 0

Рис.7

Окончательно получаем:

2					2
2				1− y2	2
	y	1				1−x2
2	y	1			2	1−x2
∫ dу∫ f (x; y)dx + ∫ dy ∫ f (x; y)dx = ∫ dx ∫ f (x; y)dy .
0	0		2	0	0	x

		2
				14

Задание №3

Изменить порядок интегрирования в интеграле. Область интегрирования изобразить на чертеже.

			3−х												3	y+3
	1		3−х									(x, y)dу		2		y+3							(x, y)dx
3.01	∫ dx ∫ f											(x, y)dу	3.02	∫dy ∫ f									(x, y)dx
	0		2 х2											0		2 y2
																				5 у
	4			25− x2										0
	4			25− x2										0				4
3.03	∫dx						∫ f (x, y)dу						3.04		∫dy					∫ f (x; y)dx
	0					3								−4		−
	0					3				x										9+ у2
			4							x										9+ у2
			4
	1 х2 +1											(x, y)dу		1		3− у							(x; y)dx
3.05	∫dx ∫ f											(x, y)dу	3.06	∫ dy ∫ f									(x; y)dx
	0		−1											0		2 у2
			3− х
	0		3− х									(x, y)dу		3				25− y2
3.07	∫dx ∫ f											(x, y)dу	3.08	∫ dy						∫ f (x; y)dx
	−	3	2 х2											0					3		у
	2																	4

	4			9+ y2										0		3−х
3.09	∫dy					∫ f (x; y)dx							3.10		∫dx ∫ f								(x, y)dу
	0				5			у						−1		2 х2
			4					у
			4

	4		7− х									(x, y)dу		4				25− y2
3.11	∫dx		1	∫ f								(x, y)dу	3.12	∫dy						∫ f (x; y)dx
	0		1	х+1										0				0
			2	х+1
			2

			2															25− х2
	2		2				y					(x; y)dx		4				25− х2
3.13	∫dy ∫ f											(x; y)dx	3.14	∫dx						∫ f (x, y)dу
	0		1	у			2							0				3
	0		1				2							0				3				х
			4															2				х
			4															2
	1 4−х2													4		3х
3.15	∫dx			∫ f (x, y)dу									3.16	∫dx ∫ f (x, y)dу
	0		2 х+1											0		2 х
			8−			1			у2							3	х+4
	4		8−						у2					4		2	х+4
	4		2											4		2
3.17	∫dy					∫ f (x; y)dx							3.18	∫dx				∫ f						(x, y)dу
	0		2−				1				у			0		1		х+1
			2−				2				у					2		х+1
							2									2
													15

	2	х2 +2		(x, y)dу		3		25− y2
3.19	∫dx		∫ f	(x, y)dу	3.20	∫ dy						∫ f (x; y)dx
	0		х2			0				9− у2
			4− у2				у
	2					8								12	4
	2					8	2							12	4
3.21	∫dy		∫ f (x; y)dx		3.22	∫dy∫ f (x; y)dx + ∫dy∫ f (x; y)dx
	0	4−2 у2				0	у							8	у
							3								3
	2	2 х2				3	0							4,5		3− у
3.23	∫ dx ∫ f (x, y)dу				3.24	∫dy ∫ f (x; y)dx + ∫ dy ∫ f (x; y)dx
	0		х2			0	−		у					3		−1,5
							−	2
								2

	3	4 х				4			y					8	2
3.25	∫dx ∫ f (x, y)dу				3.26	∫dy ∫ f (x; y)dx + ∫dy ∫ f (x; y)dx
	1		х			0				у				4			у

								2							2
			4− у			−3	−
	4		4− у	(x; y)dx		−3	−					х2 −9		0	0
3.27	∫dy ∫ f			(x; y)dx	3.28	∫dx ∫ f (x, y)dу + ∫ dx ∫ f (x, y)dу
	−2		у−4			−5					4		х	−3				4	х
		2						5					х		5				х
		2						5							5
	2 2 х+4			(x, y)dу		3	2( у−1)							7		7− у
3.29	∫dx ∫ f			(x, y)dу	3.30	∫dy				∫ f (x; y)dx + ∫ dy ∫ f (x; y)dx
	−2		х+2			1		0						3	0

§5. Двойной интеграл в полярных координатах

Сложность вычисления кратного интеграла во многом определяется видом области, по которой проводится интегрирование. Иногда удается соответствующей заменой переменных значительно упростить вычисление двойного интеграла. Так, если граница области состоит из дуг окружностей, имеет смысл перейти к полярным координатам:

x = ρcosϕ , y = ρ sinϕ .

В этом случае формула перехода к полярным координатам имеет вид:

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (ρ cosϕ; ρ sinϕ)ρ × dρ dϕ .

D D′

При этом, при переходе к повторным интегралам, внешний интеграл всегда будем брать по φ, тогда постоянные пределы внешнего интеграла указывают границы изменения угла φ, а пределы внутреннего интеграла находятся по виду области интегрирования.

Рассмотрим два случая:

	ρ = ρ2(φ)			ρ = ρ (φ)

ρ = ρ1(φ)

β		β
α			α
•	ρ	•	ρ
0	ρ	0	ρ
Рис.8			Рис.9

1)полюс не принадлежит области D (рис.8), и луч ϕ = const пересекает границу области D в двух точках, тогда

βρ2 (ϕ )

∫∫ f (ρ cosϕ; ρ sinϕ)ρ × dρ dϕ = ∫dϕ		∫ f (ρ cosϕ; ρ sinϕ)ρ dρ ;
D	α	ρ1 (ϕ )

2)полюс принадлежит области D (рис.9), тогда

βρ (ϕ )

∫∫ f (ρ cosϕ; ρ sinϕ)ρ dρ dϕ = ∫ dϕ ∫ f (ρ cosϕ; ρ sinϕ)ρ dρ ;

D α 0

Пример. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл ∫∫ x2 + y 2 dx dy , где D – область, ограниченная окружностью х2 + у2

= 4.

Решение. Преобразуем интеграл к полярным координатам:

x = ρ cosϕ , y = ρ sinϕ .

Тогда


∫∫	x2 + y 2 dx dy = ∫∫		ρ 2 cos2 ϕ + ρ 2 sin 2 ϕ ρ dρ dϕ = ∫∫ρ 2dρ dϕ .
D		D		D

Рассмотрим область интегрирования D (рис.10).

	φ
0	• 2	х

Рис.10

Уравнение её границы в полярных координатах примет вид:

ρ 2 cos2 ϕ + ρ 2 sin2 ϕ = 4 , т.е. ρ 2 = 4 , или ρ = 2

(предполагается, что полярная ось совпадает с положительным направлением оси абсцисс). В пределах данной области D полярный угол изменяется от 0 до 2π,а полярный радиус ρ от 0 до 2.

Следовательно,

	2π	2	2π	ρ 3		2π

∫∫ρ 2 dρ dϕ = ∫dϕ ∫ ρ 2 dρ = ∫					2 dϕ = ∫		8	dϕ =	8	ϕ
				3
D	0	0	0		0	0	3		3

2π

= 8 × 2π = 16π . 3 3

Задание №4

Вычислить с помощью перехода к полярным координатам двойные интегралы:

	∫∫D	dx dy		где область D ограничена окружностями х2 + у2 = 2х,
4.01			,
		(x2 + y 2 )2
	х2 + у2 = 4х и прямыми у = х, у = 2х.
4.02	∫∫(x2 + y2 )dx dy , где область D – круг х2 + (у + 2)2 ≤ 4.
	D
4.03	∫∫ уdx dy , где область D – верхний полукруг радиуса а с центром в точке (а,
	D
	0).
				18

4.04

∫∫arctg

dx dy , где область D –

часть круга х2 + у2 ≤ 1 лежащая в первом

квадранте.

2ax−x2

4.05

∫dx ∫dy .

∫∫D

dx dy

х2 + у2

4.06

, где область D

ограничена окружностями

= 4у,

(x2 + y 2 )2

х2 + у2 = 8у и прямыми у = х,

у =

х.

4.07

∫∫e x2 + y2 dx dy , где область D –

четверть кольца 1 ≤ х2 + у2 ≤ 4, лежащая в

первом квадранте.

4.08

∫∫arctg

dx dy , где область D ограничена окружностями х2 + у2

= 1,

х2 + у2 = 4 и прямыми у = х,

у =

х.

a2 −x2

4.09

∫dx

∫

х2 + у2

dy .

∫∫

dx dy , где область D – круг радиуса R=1

4.10

R − х2 − у2

с центром в

начале координат.

∫∫

dx dy , где область D

4.11

х2 + у2

задана неравенствами х2 + у2 ≤ а2,

х ≥

4.12

∫∫(х + у)dx dy , где область D ограничена окружностью х2 + у2 = R2.

4.13

∫∫(x2 + y2 )dx dy , где область D ограничена линиями х2 + у2 - 6х = 0, у ≥

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023406.98 Кб13872.pdf
#
21.11.2023407.05 Кб03873.pdf
#
21.11.2023407.2 Кб03874.pdf
#
21.11.2023407.24 Кб13875.pdf
#
21.11.2023407.48 Кб13876.pdf
#
21.11.2023407.49 Кб03877.pdf
#
21.11.2023407.63 Кб03878.pdf
#
21.11.2023407.95 Кб03879.pdf
#
21.11.2023115.53 Кб0388.pdf
#
21.11.2023407.95 Кб13880.pdf
#
21.11.2023408.09 Кб03881.pdf