3877
.pdf
|
Вычислить |
интеграл |
∫∫∫ f (x, y, z) dx dy dz , |
где |
V |
– |
область, |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
ограниченная параболоидом |
вращения z = x2 + y2, координатными |
|||||||
плоскостями и плоскостью х + у = 2. |
|
|
|
|
|
|||
8.07 |
∫∫∫(x2 + y 2 ) dx dy dz |
8.08 |
∫∫∫(2x + 3y) dx dy dz |
|
|
|
||
|
V |
|
|
V |
|
|
|
|
8.09 |
∫∫∫(x2 y 2 ) dx dy dz |
8.10 |
∫∫∫(x2 + z 2 ) dx dy dz |
|
|
|
||
|
V |
|
|
V |
|
|
|
|
8.11 |
∫∫∫yz dx dy dz |
|
8.12 |
∫∫∫xy dx dy dz |
|
|
|
|
|
V |
|
|
V |
|
|
|
|
|
Вычислить |
интеграл |
∫∫∫ f (x, y, z) dx dy dz , |
где |
V |
– |
область, |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
ограниченная параболическим цилиндром z = 9 – x 2 |
и плоскостями x = 0, |
|||||||
y = 0, z = 0, 2x + y = 6 (x ≥ 0) |
|
|
|
|
|
|
||
8.13 |
∫∫∫(x + y) dx dy dz |
8.14 |
∫∫∫ yz dx dy dz |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
V |
|
|
|
|
8.15 |
∫∫∫( y + z) dx dy dz |
8.16 |
∫∫∫x2 y2 dx dy dz |
|
|
|
||
|
V |
|
|
V |
|
|
|
|
8.17 |
∫∫∫z 2 x dx dy dz |
8.18 |
∫∫∫yx2 dx dy dz |
|
|
|
||
|
V |
|
|
V |
|
|
|
|
|
Вычислить |
интеграл |
∫∫∫ f (x, y, z) dx dy dz , |
где |
V |
– |
область, |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
ограниченная параболическим цилиндром z = 1 y2 и плоскостями 3x + y -
|
|
|
3 |
6 = 0, x = 0, y = 0, z = 0 |
|
|
|
8.19 |
∫∫∫(xy + z) dx dy dz |
8.20 |
∫∫∫(x + z 2 ) dx dy dz |
|
V |
|
V |
8.21 |
∫∫∫xz dx dy dz |
8.22 |
∫∫∫x2 y dx dy dz |
|
V |
|
V |
8.23 |
∫∫∫(x2 + z) dx dy dz |
8.24 |
∫∫∫(x2 + z 2 ) dx dy dz |
|
V |
|
V |
|
|
40 |
|
Вычислить |
интеграл |
∫∫∫ f (x, y, z) dx dy dz , |
где |
V – |
область, |
|||||
|
|
V |
у = |
|
|
|
у = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ограниченная параболическими цилиндрами |
|
х |
, |
|
х |
и |
||||
плоскостями |
z |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
и |
x + z = 9
8.25 |
∫∫∫x2 y dx dy dz |
8.26 |
∫∫∫(x2 + y) dx dy dz |
|
V |
|
V |
8.27 |
∫∫∫yz dx dy dz |
8.28 |
∫∫∫( y3 + z) dx dy dz |
|
V |
|
V |
8.29 |
∫∫∫(x + y3 ) dx dy dz |
8.30 |
∫∫∫x2 z 2 dx dy dz |
|
V |
|
V |
§9 Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
Для вычисления тройного интеграла часто используются так
называемые цилиндрические координаты.
Положение точки M(x, y, z) в пространстве Oxyz можно определить заданием трёх чисел ρ, φ, z, где
ρ– длина радиуса-вектора проекции точки М на плоскость Оху, ρ ³ 0 ;
φ– угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ох, ϕ [0,2π ];
z – аппликата точки М, z R (рис. 20).
Эти три числа (ρ, φ, z) называются цилиндрическими координатами точки
М.
z
M(x,y,z)
|
|
• |
M(ρ,φ,z) |
|
|
|
|
|
|
|
z |
φ |
ρ |
|
y |
|
|
||
x |
|
• |
|
Рис.20 41
Цилиндрические координаты точки связаны с её декартовыми координатами следующими соотношениями:
|
|
x = ρ cosϕ |
|
|
|
|
|
y = ρ sinϕ |
|
|
|
|
|
z = z. |
Тогда |
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (ρ cosϕ, ρ sinϕ, z)× ρ × dϕ dρ dz . |
|
|
V |
V |
К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти в случае, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.
Пример 1. Вычислить ∫∫∫z x2 + y 2 dx dy dz , если V – цилиндр
V
х2 + у2 = 2х , ограниченный плоскостями z = 0 , z = a (рис.21).
z
z = a
x
y
Рис.21
x = ρ cosϕ
Решение Перейдём к цилиндрическим координатам = ρ ϕ
. : y sin
=
z z
Уравнение цилиндрической поверхности примет вид:
ρ 2 cos2 ϕ + ρ 2 sin2 ϕ = 2ρ cosϕ , т.е. ρ = 2cosϕ , где ϕ меняется от - π до
2
+ π , а ρ меняется от ρ = 0 до |
ρ = 2cosϕ . |
||||
2 |
|
|
|
|
|
∫∫∫z |
|
dxdydz = ∫∫∫z |
|
|
× ρ dϕ dρ dz = |
x2 + y 2 |
ρ 2 cos2 ϕ + ρ 2 sin 2 ϕ |
||||
V |
|
V |
|
|
|
42
|
|
π |
|
|
|
|
2 cosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
2 cosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
π |
|
2 cosϕ |
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
a |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= ∫ dϕ ∫ ρ 2 dρ ∫ z dz = ∫ dϕ ∫ ρ 2 dρ |
|
|
|
|
= ∫ dϕ ∫ |
ρ 2 dρ × |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− |
π |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|
− |
π |
0 |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cosϕ |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
a |
2 |
|
2 |
|
|
|
ρ |
3 |
|
|
4a |
2 2 |
|
|
|
|
|
4a |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
∫ dϕ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∫cos3 ϕ dϕ = |
|
|
|
∫cos2 ϕ × cosϕ dϕ = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
− |
π |
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
3 |
|
|
− |
π |
|
|
|
3 |
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
(1 - sin 2 ϕ )d sinϕ = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
4a |
2 |
|
2 |
4a |
|
|
sin |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
∫ |
|
|
sinϕ |
- |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4a2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
16a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
− |
|
− 1 + |
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сферическими координатами точки M(x,y,z) пространства Oxyz называется тройка чисел ρ, θ, φ, где
ρ – длина радиуса-вектора точки М, ρ ³ 0 ,
|
|
|
|
|
|
|
θ – |
угол отклонения радиуса-вектора ОМ от оси Oz, 0 ≤ θ ≤ π , |
|||||
|
|
|
|
|||
φ – |
угол, образованный проекцией радиуса-вектора ОМ на плоскость |
|||||
|
Ох и осью Ох, 0 £ϕ £ 2π , |
(рис.22). |
||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
M(x,y,z) |
|||
|
θ |
• M(ρ,φ,θ) |
||||
|
ρ |
|||||
|
φ |
|
|
у |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
• |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.22 |
|||||
Сферические координаты ρ, φ, θ связаны с декартовыми x, y, z |
||||||
соотношениями: |
|
|
|
|
|
|
|
x = ρ sinθ cosϕ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ρ sinθ sinϕ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z = ρ cosθ ; |
|||||
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (ρ cosϕ sinθ , ρ sinϕ sinθ , ρ cosθ )ρ 2 sinθ dρ dϕ dθ . |
||||||
V |
V |
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
Переходить к сферическим координатам удобно, когда область интегрирования есть шар или его часть, а также, если подынтегральная
функция имеет вид f (x2 + y 2 + z 2 ) .
Пример 2. Вычислить ∫∫∫xyz dxdydz , |
если область V – часть сферы |
|
V |
|
|
x2 + y 2 + z 2 = R 2 , расположенная в I октанте. |
|
|
z |
|
|
• R |
|
|
0• |
• |
y |
|
R |
R • x
Рис.23
Решение. Для вычисления интеграла перейдём к сферическим координатам:
x = ρ sinθ × cosϕ y = ρ sinθ × sinϕ , z = ρ cosθ
где |
0 ≤ ρ ≤ R , 0 £ ϕ £ π , 0 £ θ £ π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
π |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
2 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫∫xyz dxdydz = ∫dθ ∫dϕ ∫ ρ 3 sin 2 θ × cosϕ sinϕ cosθ × ρ 2 sinθ dρ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
V |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
||
2 |
|
2 |
R |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= ∫dθ ∫dϕ ∫sin3 θ cosθ sinϕ cosϕ × ρ 5dρ = ∫dθ ∫sin3 θ cosθ sinϕ cosϕ dϕ |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
0 |
|||||
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
θ |
|
π |
|
|
|
ϕ |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
6 |
2 |
|
2 |
|
R |
6 |
|
sin |
4 |
|
2 |
|
sin |
2 |
|
2 |
|
R |
6 |
|
1 |
|
1 |
|
R |
6 |
|
|
|
|
|||
= |
|
∫sin3 θ d sinθ |
∫sinϕ d sinϕ = |
|
× |
|
|
× |
|
|
= |
|
× |
× |
= |
|
.. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
6 |
0 |
|
0 |
6 |
4 |
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
6 |
4 |
|
48 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
Задание № 9
Тело V задано ограничивающими его поверхностями, μ – плотность. Найти массу тела.
9.1 |
64(x2 + y 2 )= z 2 , |
x2 + y 2 = 4 , |
|||||||||
|
y = 0 , z = 0 ( y ³ 0, z ³ 0) ; |
||||||||||
|
μ = 5(x2 + y 2 )/ 4 . |
|
|
|
|||||||
9.2 |
x2 + y 2 + z 2 = 4 , |
x2 + y 2 = 1 , |
|||||||||
|
(x2 + y 2 ≤ 1), |
x = 0 (x ³ 0); |
|||||||||
|
μ = 4 |
|
z |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9.3 |
x2 + y 2 = 1 , |
x 2 + y 2 = 2z , |
|||||||||
|
x = 0, y = 0, z = 0 (x ³ 0, y ³ 0); |
||||||||||
|
μ = 10x . |
|
|
|
|
||||||
9.4 |
x2 + y 2 = |
16 |
z 2 , |
x2 + y 2 = |
4 |
z , |
|||||
|
|
||||||||||
|
49 |
|
|
7 |
|
||||||
|
x = 0, y = 0 (x ³ 0, y ³ 0); |
||||||||||
|
μ = 80 yz . |
|
|
|
|
||||||
9.5 |
x2 + y 2 + z 2 = 1, |
x2 + y 2 = 4z 2 , |
|||||||||
|
x = 0, y = 0, (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0); |
||||||||||
|
μ = 20z . |
|
|
|
|
||||||
9.6 |
36(x2 + y 2 )= z 2 , |
x2 + y 2 = 1 , |
x = 0, z = 0 (x ³ 0, z ³ 0);
μ= 5 (x2 + y 2 ). 6
9.7 |
x2 + y 2 + z 2 = 16 , |
x2 + y 2 = 4 , |
||||
|
(x2 + y 2 ≤ 4); |
|
||||
|
μ = 2 |
|
z |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
9.8 |
x2 + y 2 = 4 , x2 + y 2 = 8z , |
|||||
|
x = 0, y = 0, z = 0 (x ³ 0, y ³ 0); |
|||||
|
|
|
|
|
|
45 |
μ = 5x .
9.9 |
x2 + y 2 = |
4 |
z 2 , |
x2 + y 2 = |
2 |
z , |
|||||
|
|
||||||||||
|
25 |
|
5 |
|
|||||||
|
x = 0, y = 0 (x ³ 0, y ³ 0); |
||||||||||
|
μ = 28xz . |
|
|
|
|
||||||
9.10 |
x2 + y 2 + z 2 = 4 , |
x2 + y 2 = z 2 , |
|||||||||
|
x = 0, y = 0 (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0); |
||||||||||
|
μ = 6z . |
|
|
|
|
||||||
9.11 |
25(x2 + y 2 )= z 2 , |
x2 + y 2 = 4 , |
|||||||||
|
x = 0, y = 0, z = 0 (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0); |
||||||||||
|
μ = 2(x2 + y 2 ). |
|
|
|
|||||||
9.12 |
x2 + y 2 + z 2 = 9 , |
x2 + y 2 = 4 , |
|||||||||
|
(x2 + y 2 ≤ 4), |
y = 0, (y ³ 0,); |
|||||||||
|
μ = |
|
z |
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9.13 |
x2 + y 2 = 1 , |
x 2 + y 2 = 6z , |
|||||||||
|
x = 0, y = 0, z = 0 (x ³ 0, y ³ 0); |
||||||||||
|
μ = 90 y . |
|
|
|
|
||||||
9.14 |
x2 + y 2 = z 2 / 25 , |
x2 + y 2 = z / 5 , |
|||||||||
|
x = 0, y = 0 (x ³ 0, y ³ 0); |
||||||||||
|
μ = 14 yz . |
|
|
|
|
||||||
9.15 |
x2 + y 2 + z 2 = 4 , |
x2 + y 2 = 9z 2 , |
|||||||||
|
x = 0, y = 0 (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0); |
||||||||||
|
μ =10z . |
|
|
|
|
||||||
9.16 |
9(x2 + y 2 )= z 2 , |
x2 + y 2 = 4 , |
x = 0, y = 0, z = 0 (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0);
μ = 5(x2 + y 2 )/ 3 .
9.17x2 + y 2 + z 2 = 4 ,
x2 + y 2 = 1 , (x2 + y 2 ≤ 1);
46
μ = 6 z .
9.18 |
x2 + y 2 = 1 , |
x2 + y 2 = z , |
|||||
|
x = 0, y = 0, z = 0 (x ³ 0, y ³ 0); |
||||||
|
μ = 10 y . |
|
|
||||
9.19 |
x2 + y 2 = z 2 / 49 , |
x2 + y 2 = z / 7 , |
|||||
|
x = 0, y = 0 (x ³ 0, y ³ 0); |
||||||
|
μ =10xz . |
|
|
||||
9.20 |
x2 + y 2 + z 2 = 4 , |
x2 + y 2 = 4z 2 , |
|||||
|
x = 0, y = 0 (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0); |
||||||
|
μ =10z . |
|
|
||||
9.21 |
16(x2 + y 2 )= z 2 , |
x2 + y 2 = 1 , |
|||||
|
x = 0, y = 0, z = 0 (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0); |
||||||
|
μ = 5(x2 + y 2 ). |
|
|||||
9.22 |
x2 + y 2 + z 2 = 16 , |
|
|||||
|
x2 + y 2 = 4 (x2 + y 2 ≤ 4); |
||||||
|
μ = |
|
z |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
9.23 |
x2 + y 2 = 4 , |
x 2 + y 2 = 4z , |
|||||
|
x = 0, y = 0, z = 0 (x ³ 0, y ³ 0); |
||||||
|
μ = 5 y . |
|
|
||||
9.24 |
x2 + y 2 = z 2 , |
x2 + y 2 = z , |
|||||
|
x = 0, y = 0 (x ³ 0, y ³ 0); |
||||||
|
μ = 35 yz . |
|
|
||||
9.25 |
x2 + y 2 + z 2 = 1, |
x2 + y 2 = z 2 , |
|||||
|
x = 0, y = 0 (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0); |
||||||
|
μ = 32z . |
|
|
||||
9.26 |
x2 + y 2 = z 2 , |
x2 + y 2 = 4 , |
|||||
|
x = 0, y = 0, z = 0 (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0); |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
μ = 5(x2 + y 2 )/ 2 . |
|
|
9.27 |
x2 + y 2 + z 2 = 9 , |
x2 + y 2 = 4 , |
|
|
(x2 + y 2 ≤ 4), |
z = 0 (z ³ 0); |
|
|
μ = 2z . |
|
|
9.28 |
x2 + y 2 = 1 , |
x2 + y 2 = 3z , |
|
|
x = 0, y = 0, z = 0 (x ³ 0, y ³ 0); |
||
|
μ =15x . |
|
|
9.29 |
x2 + y 2 = 4z 2 / 49 , |
x2 + y 2 = 2z / 7 , |
|
|
x = 0, y = 0 (x ³ 0, y ³ 0); |
||
|
μ = 20xz . |
|
|
9.30 |
x2 + y 2 + z 2 = 16 , |
x2 + y 2 = 9z 2 , |
|
|
x = 0, y = 0 (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0); |
||
|
μ = 5z . |
|
|
9.31 |
4(x2 + y 2 )= z 2 , |
x2 + y 2 = 1 , |
y = 0, z = 0 (y ³ 0, z ³ 0);
μ = 10(x2 + y 2 ).
48
Литература
1.Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа/ А.Ф. Бермант. −
М.: Наука, 1964. −663 с.
2.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я Кожевникова. — М.: Высшая школа, 1980. —365 c.
3.Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике/В.П. Минорский. - М.: Наука, 2004г. - 336 с. с илл.
4.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.2/Н.С. Пискунов. — М.: Наука, 1970. — 310 c.
49