4163
.pdf0
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А.В. Бесклубная, В.Н. Неймарк, П.В. Столбов
ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
Учебно-методическое пособие
по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.03 Геодезия и дистанционное
зондирование, профиль Инфраструктура пространственных данных
Нижний Новгород
2016
1
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А.В. Бесклубная, В.Н. Неймарк, П.В. Столбов
ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
Учебно-методическое пособие
по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.03 Геодезия и дистанционное
зондирование, профиль Инфраструктура пространственных данных
Нижний Новгород ННГАСУ
2016
2
УДК 517.9
Бесклубная А. В. / Основные приемы интегрирования (Неопределенный интеграл) [Электронный ресурс]: учеб.- метод. пос. / Бесклубная А.В., Неймарк В.Н., Столбов П.В; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 52 с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)
В учебно-методическом пособии приведены основные определения, таблица интегралов, свойства неопределенного интеграла; рассматриваются основные приемы интегрирования; на многочисленных примерах освещаются основные виды интегрируемых функций, предложены варианты контрольных заданий.
Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.03 Геодезия и дистанционное зондирование, профиль Инфраструктура пространственных данных.
© А.В. Бесклубная, В.Н. Неймарк, П.В.Столбов, 2016
© ННГАСУ, 2016.
3
§ 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Определение 1. Функция F( x) называется первообразной для функции
f ( x) на отрезке [a,b] , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство:
|
|
F( x ) ′ |
= f ( x ) |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
Любые две первообразные F( x) |
и F1 ( x ) для одной и той же функции f ( x) |
||||
отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, т.е. |
|
||||
|
|
F( x) = F1 ( x) + C, |
|
||
где C — |
произвольная постоянная. |
|
|
|
|
Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f ( x) |
|||||
назовем неопределённым интегралом или интегралом от f ( x) и обозначим |
|||||
|
|
∫f ( x) dx = F( x) + C, |
(2) |
||
где ∫ |
— знак |
интеграла, f ( x) |
— |
подынтегральная функция, f ( x) dx — |
|
подынтегральное |
выражение, x |
— |
переменная |
интегрирования, С — |
произвольная постоянная, F( x) — некоторая первообразная для функции f ( x) .
Пример 1.1. Пусть f ( x) = 3x2 — подынтегральная функция, тогда интеграл
от этой функции запишется в виде:
∫3 × x2dx = x3 + C .
Функция F( x) = x3 + C является первообразной для функции f ( x) = 3x2 , так как условие (1) выполняется т.е.
(x3 + C )′ = 3x2 .
Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие свойства:
|
|
(∫ |
f ( x )dx |
) |
|
|
= F'( x )dx = f ( x)dx , |
|
a) |
d |
|
|
= d F( x ) + C |
(3) |
4
т.е. знаки d и ∫ |
, когда первый помещен перед вторым, взаимно уничтожаются. |
|
b) ∫d F( x) = ∫F'dx = F( x) + C |
(4) |
|
т.е. знаки d и ∫ |
, стоящие перед F( x) уничтожаются и тогда, когда d стоит |
|
после ∫ , но |
только к функции F( x) |
нужно прибавить произвольную |
постоянную C . |
|
|
§ 2. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. |
∫ xn × dx = |
|
xn+1 |
|
+ C (n ¹ -1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n +1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
∫ |
1 |
× dx = ∫ |
dx |
|
= ln |
|
x |
|
+C |
|||||
|
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
∫ a x × dx = |
a x |
|
+ C |
|||||||||||
ln a |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.∫ex × dx = ex + C
5.∫sin xdx = -cos x + C
6.∫ cos xdx = sin x + C
7. |
∫ |
|
1 |
|
|
dx = |
∫ |
|
dx |
|
|
= ∫sec2 x dx = tg x + C |
||||||||||||||||||
cos2 x |
cos2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2 |
|||||||||
8. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∫cosеc x dx = -ctg x + C |
|||||||||||
sin |
2 |
|
sin |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. ∫ |
|
|
|
1 |
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
= arctg x + C |
|||||||||||||||
1 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10. ∫ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx = |
1 |
|
arctg |
x |
|
|
+ C |
|||||||||||||
|
a |
2 |
+ x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11. ∫ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
= ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
= arcsin x + C |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
- x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 - x2 |
5
12. |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= arcsin |
x |
+ C |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 − x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13. ∫ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx = ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
x + x2 |
± a2 |
|
+ C |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 ± a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 ± a2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14. |
∫ |
|
|
dx |
= |
1 |
ln |
|
x - a |
|
+ C |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x2 |
- a 2 |
|
2a |
|
x + a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Справедливость формул, приведённых в таблице, легко проверяется по равенству (1) с помощью дифференцирования. Действительно, производная от правой части любого равенства в этой таблице равна подынтегральной функции. Например, для случая табличных интегралов под номерами (1) и (13), получим:
|
|
|
|
|
|
|
x |
n+1 |
|
' |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(n +1) xn = xn |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( |
ln |
x + x2 |
± a2 |
+ C |
) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× 2x |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
x |
|
|
± a |
|
|
|
|
|
2 x |
|
± a |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x2 ± a2 |
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x + |
x |
2 |
± a |
2 |
|
× |
|
|
x |
2 |
± a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
± a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Таким образом, производная от правых частей равна соответствующим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подынтегральным функциям. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
На примерах покажем, как пользоваться таблицей. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. 2.1. Найти интеграл ∫ x5dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
В таблице находим интеграл ∫ xndx = |
xn+1 |
|
|
|
+ C , |
который при n = 5 совпадает |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
с искомым интегралом. Тогда, согласно таблице, запишем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ x5dx = |
x5+1 |
+ C = |
1 |
x6 + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Пример. 2.2. Найти интеграл ∫ |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем интеграл к табличному виду |
∫ |
dx |
|
=∫ x−4 × dx , т.е. показатель |
|||||||
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
степени n = −4 . Тогда искомый интеграл равен: |
|
|
|
|
|
||||||
∫ x−4 × dx = |
x−3 |
+ C = - |
1 |
x−3 + C = - |
1 |
+ C . |
|||||
|
3 |
3 |
|||||||||
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
3x |
§3. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
1.Постоянный множитель выносится из-под знака интеграла:
∫a f ( x)dx = a∫f ( x)dx ,
где a — произвольное число.
Пример 3.1. Найти интеграл ∫5sin xdx .
Согласно свойству (1), полагая a = 5 , f ( x) = sin x , получим:
∫5sin xdx = 5∫sin xdx .
Значение интеграла находим в таблице основных интегралов (равенство 6)
∫5sin xdx = 5(-cos x + C1 ) = -5cos x + C ,
где C = 5C1 .
2.Неопределённый интеграл от суммы (разности) двух или нескольких функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
( x)dx ± |
∫ |
g ( x)dx |
||||
f |
( x) ± g ( x) dx = |
|
f |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.2. Найти интеграл |
|
|
+ cos x dx . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Согласно свойству (2), полагая f ( x) = |
1 |
, |
g ( x) = cos x , получим |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
1 |
|
|
|
|
|
∫ |
1 |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ cos x |
dx = |
|
|
|
dx |
+ |
|
cos xdx . |
7
По таблице основных интегралов (равенства 4 и 7, соответственно) находим:
|
|
|
∫ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx = ln |
x |
+ C , |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
∫cos xdx = sin x + C2 . |
|||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ cos x dx = ln |
|
x |
|
+ sin x + C , |
|||||
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
где C = C1 + C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
Пример 3.3. Найти интеграл |
|
|
|
|
|
+ 3sin t dt . |
|
|
|
|
|||
|
∫ |
|
t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом примере переменной интегрирования является t . Согласно свойству (2) интеграл запишется
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
∫ |
6 |
3 |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3sin t dt = |
|
|
|
|
|
dt + |
|
|
3sin tdt . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вынося из-под знака интеграла постоянный множитель (свойство 1), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
2 |
|
|
− |
1 |
|
||||||||
∫ |
|
|
dt = 6∫ |
= 6∫ |
= 6∫t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dt = 6 |
|
|
|
|
+ C1 |
= −12t |
2 |
+ C2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
− |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫3sin tdt = 3∫sin tdt = 3(− cost + C3 ) = −3cost + C4 , где C2 = 6C1, C4 = 3C3 .
|
|
6 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
+ 3sin t dt = − |
|
|
|
− 3cost + C , где C = C |
2 |
+ C |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫ |
|
t |
3 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При вычислении неопределённых интегралов бывает полезно знать следующее правило.
3. Если ∫f (u )du = F(u ) + C , то ∫f (ax + b)dx = 1 F(ax + b) + C . a
8
Пример 3.4. Найти ∫sin 3xdx .
Согласно таблице основных интегралов запишем:
∫sin udu = -cosu + C .
Тогда при ax + b = 3x |
(a = 3, |
b = 0) согласно правилу (3), получим: |
||||||||||||||
|
∫sin 3xdx = - |
1 |
cos3x + C . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||
Пример 3.5. Найти ∫e2 x+5dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По таблице: ∫eu du = eu + C |
|
|
и по |
правилу |
(3) при ax + b = 2x + 5 |
|||||||||||
(a = 2, b = 5) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e2 x+5dx = |
1 |
e2 x+5 + C . |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
Пример 3.6. Найти интеграл ∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
8x + 7 |
|
|
||||||||||
Известен интеграл |
∫ |
du |
= ln |
|
u |
|
+ C . |
Полагая, |
ax + b = 8x + 7 , находим |
|||||||
|
|
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = 8, b = 7 . Тогда, согласно правилу (3), получим:
∫ |
dx |
= |
1 |
ln |
|
8x + 7 |
|
+ C . |
|
|
|||||||
8x + 7 |
8 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПУТЁМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
Пусть требуется найти интеграл ∫f ( x)dx , причем непосредственно по таблице подобрать первообразную для f ( x) не удаётся.
Выполним замену переменной интегрирования, положив x = ϕ (t ) , где
ϕ (t ) имеет обратную функцию t =ψ (x) и непрерывную производную. Тогда подынтегральное выражение запишется в виде
f ( x)dx = f (ϕ (t ))dϕ (t ) = f (ϕ (t )) ×ϕt′dt
9
Замена выбрана удачно, если для подынтегральной функции f (ϕ (t )) ×ϕt'
первообразная является табличной, т.е.
∫f (ϕ (t ))×ϕt′dt = F(t ) + C .
Найденная первообразная F = F(t ) при выполнении обратной замены переменной t =ψ ( x) , является первообразной для искомой функции f ( x) , т.е.
∫f ( x) dx = F(ψ ( x)) + C .
Продемонстрируем метод замены переменных на примерах.
Пример 4.1. Найти интеграл ∫ x2 + 5 .
Выполним |
замену |
переменной |
по формуле x2 + 5 = t . Дифференцируя |
||||||||||||
левую часть равенства t = x2 + 5 по t , а правую — по x , находим dt = 2xdx . |
|||||||||||||||
Подынтегральное выражение, |
в соответствии с заменой переменной |
||||||||||||||
|
2xdx |
= |
dt |
или ∫ |
2xdx |
= ∫ |
dt |
||||||||
запишется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
x |
2 |
+ 5 |
t |
x |
2 |
+ 5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||||||
Значение интеграла |
∫ |
dt |
|
находим по таблице основных интегралов, т.е. |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
∫ dtt = ln t + C .
Выполняя обратную замену переменных по формуле t = x2 + 5 , получим
∫ |
2xdx |
= ln |
|
t |
|
+ C = ln |
|
x2 |
+ 5 |
|
+ C |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x2 + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
2xdx |
= ln |
|
x2 |
+ 5 |
|
+ C . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.2. Найти ∫cos(7x + 4)dx .
Выполним замену переменной по формуле u = 7x + 4 . Дифференцируя обе
части равенства u = 7x + 4 , получим du = 7dx или dx = du . 7