4663

21

R4: aR4b « a³b2;

R5: aR5b « НОД( a,b)=1;

1.10 Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности.

Бинарное отношение R на А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Рассмотрим несколько примеров.

Пусть N есть множество натуральных чисел. Пусть x,y N. Будем считать,

что xRy, если x и y при делении на 5 дают один и тот же остаток. Обычно это за-

писывается так: x=y(mod 5). Очевидно, что введенное отношение R является от-

ношением эквивалентности на множестве натуральных чисел.

На рис.2 представлены 2 графа с тремя вершинами. Будем считать, что вер-

шина с номером i находится в отношении G к вершине с номером j, если они соединены дугой. Нетрудно видеть, на 2-ом графе отношение G является отно-

шением эквивалентности, а на 1-ом графе отношение G не является отношением эквивалентности, т.к. не выполняется свойство транзитивности: имеем дугу из вершины 1 в вершину 2, дугу из вершины 2 в вершину 3, но отсутствует дуга из вершины 1 в вершину 3.

Рис.2

Пусть М есть множество точек на плоскости с введенной на ней декартовой системой координат OXY и пусть точка Р1(х1,у1) и точка Р2(х2,у2)

находятся в отношении D друг к другу, если они находятся на одном и том же расстоянии от прямой 2х+3у=6. Очевидно, отношение D есть отношение эквива-

лентности.

22

Пусть на множестве M задано отношение эквивалентности R. Пусть а неко-

торый элемент из М. Элемент х из М будем называть эквивалентным элементу а,

если аRx. Пусть С(а) есть множество, состоящее из элемента а и всех эквива-

лентных ему элементов из M. Рассмотрим множество M\C(a). Если оно не пусто,

то выберем из него любой элемент b и образуем множество С(b), состоящее из элемента b и всех эквивалентных ему элементов из M и т.д. до тех пор, пока в оставшейся части множества M не останется ни одного элемента. Полученная система подмножеств является разбиением множества M и называется системой

классов эквивалентности по отношению к бинарному отношению R. Мощ-

ность этой системы, т.е. количество классов эквивалентности, называется ин-

дексом разбиения.

Например, введенное выше отношение x=y(mod 5) разбивает все множество натуральных чисел на 5 классов эквивалентности. Отношение эквивалентности

G, определенное 2-ым графом на рис.2 разбивает вершины графа на два под-

множества : {1} b {2.3}.

Классом эквивалентности для отношения D, веденного выше на плоскости,

является любая прямая, параллельная прямой 2х+3у=6, и, следовательно, плос-

кость разбивается на бесконечное число классов эквивалентности.

1.11 Отношение порядка

Бинарное отношение R на А называется отношением порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Обычно отношение порядка обо-

значают знаком “ ≤”. Используя этот знак, условия рефлексивности, антисим-

метричности и транзитивности могут быть записаны так:

1)x≤x для любого x А (рефлексивность);

2)из того, что x≤y и y≤x следует, что x=y (антисимметричность);

3)из того, что x≤y и y≤z следует, что x≤z (транзитивность).

Множество, для которого определено отношение порядка, называется множе-

ством, упорядоченным этим отношением.

Если для двух элементов x и y множества А справедлив факт, что x≤y , то го-

ворят, что x “ предшествует” y. Если для двух элементов x и y множества А или

23

x≤y, или y≤x, то говорят, что x и y сравнимы между собой. Рассмотрим два при-

мера.

Путь R множество вещественных чисел и отношение порядка задается обыч-

ным неравенством x≤y. Заметим, что для любых двух чисел x и y выполняется тот факт, что, либо x≤y, либо x≤y, т.е. любые два числа сравнимы между собой.

Если отношение порядка на множестве А обладает тем свойством, что любые два элемента сравнимы между собой, то такое отношение называется отноше-

нием линейного порядка, а множество А называется линейно упорядоченным. Таким образом, множество действительных чисел линейно упорядоченно отношением ≤.

Пусть теперь А есть множество точек Р(x,y) на плоскости с фиксированной декартовой системой координат. Отношение порядка зададим так. Будем считать, что точка Р1(x1,y1) “ предшествует” точке Р2(x2,y2)тогда и только тогда,

когда одновременно x1≤y1 и x2≤y2 (здесь обычный знак неравенства для веще-

ственных чисел). Например, точка Р1(3,5) “ предшествует” точке Р2(8,9). Введен-

ное отношение порядка на множестве А не является отношением линейного по-

рядка, т.к., например, точки Р1(3,5) и Р1(5,3) между собой несравнимы.

2 Элементы математической логики

2.1 Введение.

Согласно одному из самых распространенных определений, логика есть ана-

лиз методов рассуждений. Изучая эти методы, логика в первую очередь интере-

суется формой, а не содержанием доводов в том или ином рассуждении. Иначе говоря, логика интересуется лишь одним аспектом рассуждений, а именно, пра-

вильно ли делается вывод (заключение) из предварительно проведенных рассуж-

дений, т.е. вытекает ли истинность заключения данного рассуждения из истинно-

сти его посылок. Рассмотрим два примера.

1. Все мужчины, пришедшие на презентацию, в красных галстуках. Госпо-

дин Х пришел на презентацию. Следовательно, он в красном галстуке.

2. Все целые числа, оканчивающиеся на 4 делятся на 2. Число а делится на 2,

следовательно, оно оканчивается на 4.

24

Несмотря на схожесть рассуждений, в первом рассуждении сделанное заклю-

чение истинно, а во втором рассуждении сделанное заключение не является ис-

тинным.

Математическая логика занимается изучением математических рассуждений.

Главная ее цель дать точное и адекватное определение понятия «математическое доказательство». Особый интерес к логике и, прежде всего, математической про-

явился, когда были открыты парадоксы, т.е. рассуждения, приводящие к проти-

воречиям.

Парадокс лжеца. Некто говорит «Я лгу». Если при этом он лжет, то сказан-

ное им есть ложь и он не лжет. Если же он при этом не лжет, то сказанное им есть истина, и, следовательно, он лжет. В любом случае оказывается ,что он лжет и не лжет одновременно.

Парадокс Бери 1906г. Существует лишь конечное число слогов в русском языке. Следовательно, существует лишь конечное число таких фраз русского языка, которые содержат не более пятидесяти слогов. Поэтому с помощью таких фраз можно охарактеризовать только конечное число натуральных чисел. Пусть

K есть наименьшее из натуральных чисел, которые нельзя охарактеризовать

никакой фразой русского языка, которая содержит не более 50 слогов. Но не-

трудно видеть, что сама эта фраза, которая характеризует число K, содержит ме-

нее 50 слогов.

Анализ парадоксов привел к различным планам их устранения. При любом подходе к проблеме парадоксов, следует (и в этом состоит одна из задач матема-

тической логики) сперва исследовать язык логики и математики, чтобы разо-

браться, какие исследуемых ситуациях употребляются символы, как из этих сим-

волов составляются формулы, утверждения и доказательства, что может быть доказано из тех или иных аксиом с использованием тех или иных правил вывода.

В данной методической разработке мы познакомимся лишь с самыми началь-

ными шагами исследований в данном направлении.

27

и л л

ли л

лл и

Любая теорема в математике может быть представлена в виде импликации

А→В, где высказывание А является условием теоремы (что дано), а высказыва-

ние В является заключением теоремы (оно вытекает из условий, заключенных в высказывании А). При этом высказывание В называется необходимым условием высказывания А, а высказывание А называется достаточным условием для суще-

ствования факта, заключенного в высказывании В.

Рассмотрим, например, следующее утверждение: «Если сумма цифр в деся-

тичной записи целого положительного числа делится на 9, то и само число делит-

ся на 9». Это утверждение можно записать в виде импликации А→В, где А есть высказывание: «сумма цифр в десятичной записи целого положительного числа делится на 9», а В есть высказывание: «число делится на 9».

2.1.2 Правильно построенные формулы алгебры высказываний

С помощью введенных операций можно строить из простейших высказываний более сложные высказывания в виде формул алгебры высказываний.

Причем это построение можно осуществить по следующим правилам.

1. Две буквы И и Л есть формулы. Их истинностные значения есть и и л со-

ответственно.

2. Отдельно взятая буква латинского алфавита (возможно с натуральными ин-

дексами), под которой понимается некоторое высказывание, является формулой.

Такую формулу будем называть атомарной или пропозициональной перемен-

ной. Истинностное значение такой формулы совпадает с истнностным значени-

ем высказывания, которое подразумевается под данной буквой.

выражения (U &V), (U V), (U→V),(U↔V). Истинностные значения полученных

28

формул зависят от истинностных значений формул U и V в соответствии с табли-

цами истинностн операций, участвующих в их построении.

Замечание. Часто при написании формул скобки опускаются. При этом при-

держиваются следующих правил. Сначала выполняется операция отрицания, за-

тем конъюнкции, затем импликации, затем дизъюнкции. Например, формулу

Ā&В→С D следует понимать так (((Ā&В)→С) D).

Рассмотрим пример. Пусть А,В,С пропозициональные переменные. Построим из них следующую формулу U: ((Ā&В)→С) и найдем истинностные значения этой формулы в зависимости от истинностных значений входящих в нее атомар-

ных формул А, В, С (см.таблицу).

А В С ((Ā&В)→С)

Разберем, например, 3-ю и 5-ую строки этой таблицы. В 3-ей строке пропози-

циональные переменные А, В, С принимают соответственно истинностные зна-

чения л,и,л. В этом случае формула (Ā&В) принимает истинностное значение

и(см. таб. 1 и 2). В этом случае формула U принимает значение л(см. таб. 4).

В 5-ой строке пропозициональные переменные А, В, С принимают соответ-

ственно истинностные значения и,л,л. В этом случае формула (Ā&В) принимает истинностное значение л(см. таб. 1 и 2). В этом случае формула U принимает значение и(см. таб. 4).

Две формулы U и V алгебры высказываний будем называть эквивалентными или равносильными, (записывать U≡V )если при всех истинностных значениях набора пропозициональных переменных, входящих в эти формулы, эти формулы

30

Эквивалентности 4),5),6) в таблице 6 показывают, что для любой формулы

алгебры логики, содержащей операции импликации и эквиваленции, можно найти равносильную ей формулу, содержащую только операции конъюнкции,

дизъюнкции и отрицания. Найдем, например, такую формулу для формулы

(A→B)→(B→A). Для этого воспользуемся строчками 5),6) таблицы 5. Имеем:

(A→B)→(B→A)≡(A→B) (B→A)≡(A&B) (B A) (1)

Используя закон двойного отрицания и законы де Моргана, можно записать следующие последовательности эквивалентных формул:

A B ≡ A B ≡ A & B , A & B ≡ A & B ≡ A B

которые показывают, что для произвольной формулы алгебры высказываний можно записать эквивалентную формулу, которая использует лишь операции от-

рицания и конъюнкции или операции отрицания и дизъюнкции. В частности по-

следовательность эквивалентных формул (1) можно продолжить двумя способа-

ми

(A→ B)→(B → A)≡ (A&B) ( B A)≡ (A B) ( B A)

(A→ B)→(B → A)≡ (A&B) ( B A)≡ (A&B) ( B & A) ≡ (A& B) &(B & A)

Вопрос. Можно ли для любой формулы алгебры высказываний составить эквивалентную ей формулу, содержащую лишь операции дизъюнкции и конъ-

юнкции? В частности, можно ли для формулы (A→B)→(B→A) найти эквива-

лентную формулу, содержащую лишь операции дизъюнкции и конъюнкции?

Естественно, что отрицательный ответ на этот частный вопрос означает от-

рицательный ответ и на общий поставленный вопрос. А ответ на частный вопрос будет отрицательным. Действительно. Формула(A→B)→(B→A) содержит