4663

41

местный предикат, а записи R(x1, x2) или S(x1, x2,…, x n) обозначают двуместный и n-местный предикаты соответственно. Множество М будем называть предметной областью, а переменные, от которых зависит предикат, будем называть предмет-

ными переменными.

а2,…, аn) =0, то будем говорить, что на наборе (а1, а2,…, аn) предикат P(x1, x2,…, xn) ложен.

Областью истинности n-местного предиката, определенного на множестве

М будем называть совокупность наборов из Мn, на которых предикат истинен.

Если P(x) одноместный предикат на множестве М, то можно сказать, что он определяет некоторое свойство элементов этого множества, которым обладают только те элементы, на которых P(x) истинен.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Пусть М-множество натуральных чисел. Пусть предикат P(x) истинен в слу-

чае, если х является простым числом, и ложен, в противном случае. Словесно этот предикат можно задать так: Р(х)=«х-простое число». Аналогично, предикат

R(x)= « х-кратно 5» выделяет в множестве натуральных чисел числа, нацело де-

лящиеся на 5.

2. Пусть М множество действительных чисел. Пусть двуместный предикат

P(x.у) истинен в случае, когда х+у≤1, и ложен противном случае. Таким образом,

этот предикат выделяет множество точек на плоскости, которые лежат на прямой

х+у=1 или ниже ее. Кратко это можно записать:

P(x.у)=« х+у≤1 ».Аналогично, трехместный предикат R(x,y,z)=« х2+у2+z2=1»

истинен на тех точках трехмерного пространства, которые лежат на сфере ради-

уса 1.

Из приведенных примеров можно сделать вывод о том, что каждое уравнение или система уравнений с n неизвестными, каждое неравенство или система не-

равенств задает соответствующий n-местный предикат.

42

, если их Определение. Пусть P(x1, x2,…, x n) некоторый n-местный предикат.

Этот предикат называется: 1) тождественно истинным на множестве М, если он

истинен на любом наборе значений его аргументов; 2) выполнимым на мно-

жестве М, если он истинен на некотором наборе значений его аргументов; 3)

тождественно ложным на множестве М, если на всех наборах его аргументов он ложен.

Отметим, что свойство предиката быть тождественно истинным, выпол-

нимым или тождественно ложным существенно зависит от множества М.

Так, например, предикат Р(х)= « х-простое число » является тождественно ис-

тинным на множестве M={2,5,7,11}, выполнимым на множестве всех целых чисел и тождественно ложным на множестве всех целых четных чисел, больших чем 2.

Определение. Пусть P(x1, x2,…, x n) и R(x1, x2,…, x n) два n-местных предиката зависящие от одних и тех же предметных переменных и заданные на одном и том же множестве М. Эти предикаты называются равносильными истинностные зна-

чения на одних и тех же наборах переменных совпадают. Этот факт обозначается так: P(x1, x2,…, x n) ºR(x1, x2,…, x n).

Так, например, предикаты Р(х,у)= « х2_у2 ³ 0» и Q(x.y)= « (х_у)(x+y) ³0 » на множестве действительных чисел равносильны, т.е Р(х,у) ºQ(x,y).

Понятие n- местного предиката P(x1, x2,…, x n) на множестве М можно обоб-

щить на случай, когда предметные переменные x1, x2,…, x n могут принимать зна-

чения из разных предметных областей. А именно, пусть имеется n множеств М1,

М2,…, Мn и пусть имеется n- местная функция P(x1, x2,…, x n), которая для каждо-

го набора значений переменных {а1, а2,…, аn} такого, что аi Мi (i=1,…, n) при-

нимает лишь два значения 0 или 1. Тогда эту функцию мы будем называть n-

местным предикатом P(x1, x2,…, x n), определенным на декартовом произведе-

нии множеств М1, М2,…, Мn (которое обозначается так: М1×М2×… ×Мn ).

Пусть, например, Z есть множество целых числе, а R являются множеством действительных чисел. На множестве Z×R×R определим 3-х местный предикат

Р(x, у,z) следующим образом:

43

. Р(x, у,z) = « целое число х, является решением уравнения ух=z » .

2.3.2 Операции алгебры высказываний над предикатами.

Пусть P(x1, x2,…, x n) некоторый n-местный предикат на множестве М и пусть

{а1, а2,…, аn} некоторый набор значений соответствующих переменных Тогда с

рассматривать как высказывание, истинность которого зависит от конкретного набора значений переменных x1, x2,…, x n.

С другой стороны, обычную пропозициональную переменную алгебры вы-

сказываний можно рассматривать как нульместный предикат, который является тождественно истинным на любом множестве, если она принимает значение «ис-

тина», и тождественно ложным, если она принимает значение «ложь».

Всвязи со сказанным, к предикатам можно применять те же операции, что и

квысказываниям. В результате будут получаться новые предикаты. При этом множества, на которых будут определены результирующие предикат, и их пе-

ременные существенно будут зависеть от тех предикатов, к которым операции применяются.

Определение. Пусть P(x1, x2,…, x n) n-местный предикат на множестве М

(или на множестве М1×М2×… ×Мn ). Тогда посредством записи

¬P(x1, x2,…, x n) (или P(x1, x2 ,..., xn ))

будет определен новый предикат, который называется отрицанием предиката

P(x1, x2,…, x n) и который истинен на тех наборах переменных, на которых ложен

44

( здесь {i1, i1,…, i k} некоторое подмножество множества { 1,2,…,n}) называется набор элементов {ai1 , ai 2 ,..., ai k } .

Определение. Пусть имеются n-местный предикат P и m-местный предикат Q

и z1, z2,…, z p общий список переменных, входящих в эти предикаты, причем пе-

ременная zi (i=1,…, p) может принимать значения из множества Мi. Пусть преди-

от переменных z j1 , z j2 ,..., z jm из этого списка. Тогда:

zp , который на наборе {а1, а2,…, аp} значений этих переменных из множества

zp , который на наборе {а1, а2,…, аp} значений этих переменных из множества

М1×М2×… ×Мp принимает значение «ложь» только в том случае, когда преди-

Используя приведенные операции, можно из имеющихся предикатов и пропо-

зициональных переменных строить сложные формулы по правилам аналогичным правилам построения формул в исчислении высказываний.

Рассмотрим несколько примеров.

1.Пусть предикат R(x)= «x>1» определен на множестве натуральных чисел.

Этот предикат истинен для всех натуральных чисел, больших 1. Предикат

¬R(x)=¬«x>1» является отрицанием предиката R(x) и он будет истинен только для x=1.

2.Пусть даны двуместные предикаты Q(x,y)=«x≤y» и R(x,y)=«(x+y>5», опреде-

ленные на множестве натуральных чисел. Тогда двуместный предикат

S(x,y)=Q(x,y)&R(x,y) является их конъюнкцией, а двуместный предикат T(x,y)=

Q(x,y) R(x,y) является их дизъюнкцией. Они оба определены на множестве нату-

ральных чисел. Например, высказывание S(3,5) будет истинным, высказывание

R(8,3) будет ложным, а высказывание T(8,3) будет истинным. Предикат

U(x,y)=Q(x,y)→ R(x,y) является результатом применения операции импликации к предикатам Q(x,y) и R(x,y). Высказывание U(1,2) является ложным., а высказы-

вания U(2,1), U(2,4) и U(4,2) являются истинными.

3.Пусть T- множество точек в 3-х мерном пространстве, L- множество прямых

в3-х мерном пространстве, P – множество плоскостей в 3-х мерном пространстве.

Рассмотрим три двуместных предиката:

Q(t,l) определен на множестве T×L и означает «точка t лежит на прямой l»;

R(l,p) определен на множестве L×Р и означает «прямая l лежит на плоскости p»;

S(t,p) определен на множестве T×Р и означает «точка t лежит на плоскости p.

В таком случае трехместный предикат Q(t,l)&R(l,p)→S(t,p) определен на множестве T×L×Р и означает «из того, что точка t принадлежит прямой l, а

46

прямая l принадлежит некоторой плоскости p , следует, что точка t принад-

лежит плоскости p». При этом очевидно, что на множестве T×L×Р этот преди-

кат является тождественно истинным.

2.3.3 Кванторы общности и существования.

Наряду с операциями алгебры высказываний, в логике предикатов существует

еще две операции, которые называются: операция навешивания квантора

общности по некоторой переменной и операция навешивания квантора су-

ществования по некоторой переменной. Символом.( x) обозначается квантор общности по переменной x, а символом .( x) обозначается квантор общности по переменной x. Дадим определения этих операций.

Определение. Пусть P(x1, x2,…, x i-1, xi, xi+1,..,xn) n-местный предикат на множестве М1×М2×… × Мi-1, Мi, Мi+1 ×… ×Мn. Тогда запись

( xi ) P(x1, x2,…, x i-1, xi, xi+1,..,xn)

(читается: «для всех xi P(x1, x2,…, x i-1, xi, xi+1,..,xn)») означает (n-1)-местный

предикат R(x1, x2,…, x i-1, xi+1,..,xn) , который не зависит от переменной xi и кото-

рый на наборе значений переменных {a1, a2,., ai-1, ai+1,..,an} принимает значение

«истина» в том и только в том случае, когда одноместный предикат Q(xi)=P(a1, a2,…, a i-1, xi , ai+1,..,an) является тождественно истинным на множестве Мi. (

Очень часто знак « » в обозначении квантора общности упускается, т.е. вместо

( xi ) делается запись (xi )).

Будем говорить, что R(x1, x2,…, x i-1, xi+1,..,xn) получен из предиката

P(x1, x2,…, x i-1, xi, xi+1,..,xn) путем навешивания квантора общности по перемен-

ной xi. Будем также говорить, что переменная xi в формуле(№) является связан-

ной, а все остальные переменные являются свободными.

Из данного определения следует, что если P(x) есть одноместный предикат на множестве М, то R= ( x)P(x) представляет собой просто некоторое высказыва-

ние, которое истинно в случае, если P(x) тождественно истинен на множестве М и ложно в противном случае.

Рассмотрим несколько примеров.

47

Пусть предикаты Р(x,y)= «(x+y>5» и Q(x,y)= «(x+y=5».определены на

множестве положительных чисел. Рассмотрим одноместный предикат R(x)=( y)

P(x,y). Очевидно, при x³5 он будет истинен, а при x<5. будет ложен. Предикат

S(x,z)=( у)Р(x,y)® Q(x,z) будет двуместным. Он будет

тождественно истинным на множестве положительных чисел. Действительно, из того, что истинен предикат R(x)=( y) P(x,y) следует, что x³5, а следовательно.

для всех положительных чисел z неверным будет равенство x+z =5.

Если снова T, L ,Р-множества точек, прямых и плоскостей в трехмерном про-

странстве соответственно, а

Q(t,l) =«точка t лежит на прямой l»;

R(l,p)= «прямая l лежит на плоскости p»;

S(t,p) =«точка t лежит на плоскости p»,

то формула ( t)( l)( p)(Q(t,l)&R(l,p)®S(t,p)) является истинным высказывани-

ем.

{a1, a2,., ai-1, ai+1,..,an} принимает значение «истина» в том и только в том случае,

когда одноместный предикат Q(xi)=P(a1, a2,…, a i-1, xi , ai+1,..,an) является выпол-

нимым на множестве Мi.

Будем говорить, что R(x1, x2,…, x i-1, xi+1,..,xn) получен из предиката

P(x1, x2,…, x i-1, xi, xi+1,..,xn) путем навешивания квантора существования по пе-

ременной xi. Будем также говорить, что переменная xi в формуле(№1) является

связанной, а все остальные переменные являются свободными.

48

Для примера рассмотрим два предиката, определенные на множестве нату-

ральных чисел: P(x)=«x -простое число'', Q(x, y))=«x меньше чем y». Тогда фор-

мула

( х)( P(x)&Q(x, y))

будет соответствовать одноместному предикату с переменной y, который истинен для всех натуральных чисел, кроме 1 и 2 . А формула

(y)( х)(P(x)&Q(y ,x))

фактически соответствует нульместному предикату, т.е. высказыванию, которое утверждает, что для всякого натурального числа найдется простое число, которое его больше. Так как этот факт имеет место, то данное высказывание является ис-

тинным.

Пусть R(x,y,z,n)= «xn + yn = zn»- 4-х местный предикат, в котором переменные x,y,z принимают значения на множестве целых чисел, а переменная n принимает значения на множестве положительных целых чисел больших 2. Тогда великая теоремы Ферма состоит в определении истинностного значения следующего высказывания

Не так давно теорема Ферма была доказана, т.е. было доказано, что это вы-

сказывание принимает значение «истина».

2.3.4 Интерпретация формулы логики предикатов. Равносильные фор-

мулы

Всякая формула логики предикатов содержит символы высказываний, (про-

позициональные переменные), символы предикатов (предикатные переменные) и

символы предметных переменных. Причем символы предметных переменных могут быть как связанными некоторыми кванторами, так и свободными.. Напри-

мер, в формуле (№+1) имеются два символа предикатов (P и Q ) и два символа предметных переменных (х и y). Переменная x является связанной (квантором существования), а переменная y является свободной.

Под интерпретацией формулы логики предикатов понимается: 1) набор ис-

тинностных значений пропозициональных переменных (если таковые при-

сутствуют в формуле), 2) набор конкретных предикатов, определенных на не-

49

которых предметных областях, для каждой входящей в формулу предикат-

ной переменной. Если задана интерпретация, то формула определяет новый предикат, зависящий от входящих в формулу свободных переменных, прини-

мающих значения на соответствующих предметных областях. В частности, если свободных переменных нет, то формула определяет некоторое высказывание, ис-

тинность которого соответствует некоторому свойству заданной интерпретации.

В формулах (№+1) (№+2) мы имели дело с конкретной интерпретацией:

P(x)=«x -простое число'', Q(x, y))=«x меньше чем y».

Если в этих формулах задаться другой интерпертацией, например:

P(x)=«x делится на 5», а Q(x, y)=«y=3х»,

то определяемый формулой (№+1) предикат будет истинным только для тех у,

которые делятся на 15, а высказывание, определяемое формулой (№+2), будет ложным.

Если в формуле (№+3) переменная n будет принимать значения на множестве всех натуральных чисел, то высказывание, определяемое этой формулой будет ложным.

Определение. Две формулы U и V логики предикатов, содержащие одни и те же наборы пропозициональных, предикатных и свободных предметных перемен-

ных, называются равносильным (обозначение U≡V), если при совпадающих ин-

терпретациях они определяют равносильные предикаты.

Следующие равносильности довольно очевидны:

1)(x)P(x) ≡ ( x)P(x)

2)( x)P(x) ≡ (x)P(x)

3)( x)(F(x)&G(x)) ≡ ( x)F(x)&( x)G(x)

4)( х)(F(x) G(x)) ≡ ( х)F(x) ( х)G(x)

5)( x)(F(x) G(y)) ≡ ( x)(F(x)) G (y)

6)( х)(F(x)&G(y)) ≡ ( х)(F(x))&G(y)

Первые две формулы устанавливают связь между кванторами общности и существования. Если неверно, что для всех элементов предметной области пре-

50

дикат P(x) истинен, то существует такой элемент, на котором этот предикат ло-

жен. Если неверно, что существует такой элемент из предметной области, кото-

рый обладает свойством P(x), то на всех элементах предикат P(x) является лож-

ным.

Приведем рассуждения, показывающие справедливость равносильности , за-

писанной под номером 3. Пусть имеются две формулы:

U= ( x)(F(x)&G(x)) и V=( x)F(x)&( x)G(x).

Истинность формулы U означает, что на предметной области, где определе-

ны предикаты F(x) и G(x), предикат F(x)&G(x), будет тождественно истинным.

Но это означает, что и предикат F(x), и предикат G(x) также будут на ней тожде-

ственно истинными. А это, в свою очередь, означает, что оба высказывания

( x)F(x), ( x)G(x) и вместе с ними формула V являются истинными. Истинность формулы V означает, что на предметной области, где определены предикаты F(x)

и G(x), оба эти предиката являются тождественно истинными. А это означает,

что предикат F(x)&G(x) также будет на ней тождественно истинным и, следова-

тельно, формула U является истинной.

Если же рассмотреть пару формул

U=(x)(F(x) G(x)) и V=( x)F(x) ( x)G(x),

то из истинности формулы V будет следовать истинность формулы U, а вот

из истинности формулы U истинность формулы V в общем случае не следует.

Рассмотрим, например, следующую интерпретацию этих формул. Пусть пред-

метная область состоит из двух элементов М={a,b} и пусть предикаты F(x)и

G(x) на этом множестве определены так: F(а)=1, F(b)=0, G(а)=0, G(b)=1. Не-

трудно видеть, что при этой интерпретации формула U будет истинной, а фор-

мула V будет ложной.

2.3.5 Определение математических понятий посредством формул логики

предикатов.

Как уже говорилось в начале данной главы, язык логики предикатов является

более выразительным по сравнению с алгеброй высказываний. Многие матема-