4758

ɺɺ

ɺ

2

x = f (t).

(2.1)

x

+ 2hx + k

Полученное уравнение

относится к классу так

называемых

y′′ + a1(x) y′ + a0 (x) y = f (x).

(2.2)

В них неизвестная функция y(x) и ее производные y′(x),

y′′(x)

входят линейно. В качестве коэффициентов уравнения a0 (x),a1(x)

и f (x)

могут рассматриваться любые функции, непрерывные в интервале

(a,b).

удовлетворяющее

заданным

начальным

условиям

y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y1 ,

x0 (a,b).

Если правая часть уравнения (2.2) равна нулю:

y′′ + a1(x) y′ + a0 (x) y = 0,

(2.3)

следующем утверждении.

Если

y1(x) и

y2 (x) – два каких-либо

непропорциональных

друг

другу

решения

уравнения (2.3), т.е.

y2 (x) ≠ λ y1 (x) ,

то

общее

решение

yoo (x)

однородного

дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

yoo (x) = C1 y1(x) + C2 y2 (x),

y′′ + a1 y′ + a0 y = 0 .

(2.4)

Такое

уравнение

называется

линейным

однородным

дифференциальным уравнением второго

порядка

с постоянными

y′′ − 3y′ + 2y = 0 .

Подставив

в

него функцию

y = eλ x , а также ее

производные

y′ = (eλx )′ = λ eλx

и

y′′ = (λ eλx )′ = λ2 eλx , получим

eλ x (λ2 − 3λ + 2) = 0.

Поскольку eλx ≠0, функция y = eλ x

будет решением, если

λ – корень

квадратного уравнения

λ2 − 3λ + 2 = 0,

дифференциального

уравнения.

Его

корни

λ1 = 1

и

λ2 = 2, поэтому

непропорциональные функции

y

= ex

и

y

2

= e2 x

формируют

общее

1

решение этого

уравнения

y

oo

= C

ex + C

e2 x .

В

общем

виде

1

2

λ2 + a λ + a

0

= 0.

(2.5)

1

Если

a 2

/4 − a

0

> 0,

то

уравнение (2.5)

имеет два

различных

1

действительных корня

λ1 и λ2 , которые определяются формулой

λ

= −

a

±

a

2

− a .

1

1

1,2

2

4

0

При

этом

непропорциональные

решения

уравнения

y = eλ1x

и

1

y

2

= eλ 2 x формируют общее решение уравнения (2.4) в виде

y

oo

(x) = C

eλ1x + C

2

eλ 2 x .

1

Рассмотрим дифференциальное

уравнение

y′′ − 4y′ + 4y = 0. Его

общее

решение

дифференциального

уравнения

получается

в

виде

y

oo

= C

e2x

+ C

2

xe2 x .

1

В

целом

можно

сказать,

что

если

выполняется

условие

a

2

/4 − a = 0,

то

характеристическое

уравнение

(2.5)

имеет

кратный

1

0

корень

λ = −a1 /2 ,

а

общее

решение

yoo (x)

однородного

дифференциального

уравнения

второго

порядка

имеет

вид

y

oo

= C

eλ x + C

2

xeλ x =

(C

1

+ C

2

x)e−a1x / 2 .

1

Если же характеристическое уравнение (2.5) имеет комплексные

корни λ

1,2

=α ± βi , то можно убедиться, что функции y

= eα x

cos

β x и

1

y

2

= eα x sin β x

образуют пару непропорциональных

решений уравнения

(2.4), а его общее решение имеет вид

y

oo

(x) = eα x (C

1

cosβ x + C

2

sin β x).

Такая ситуация возникает, если

a 2

/4 − a

< 0 , при этом α = −a / 2,

1

0

1

β = a

− a 2 /4 .

0

1

Рассмотрим,

например,

дифференциальное

уравнение y′′ + 4y = 0.

Его характеристическое уравнение

λ2 + 4 = 0 имеет комплексные корни

λ1,2 = ±2i ,

а

общее

решение,

тем

самым,

приобретает

вид

yoo (x) = C1 cos2x + C2 sin2x .

Для

уравнения

y′′ + 2y′ + 5y = 0

также

корни

λ1,2 = −1± 2i

позволяют

записать

общее

решение

дифференциального уравнения в виде y

oo

(x) = e− x (C

1

cos2x + C

2

sin2x) .

Вернёмся теперь к механическим колебаниям. Отсутствию

возмущающей силы соответствует уравнение (2.1), в котором

f (t) = 0:

ɺɺ

ɺ

2

x = 0.

(2.6)

x

+ 2hx + k

Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид

λ2 + 2hλ + k2 = 0.

(2.7)

Свободные

колебания

в среде без сопротивления

описываются

уравнением

ɺɺ

2

x = 0 . В этом случае характеристическое уравнение

x + k

λ2 + k2 = 0

имеет

мнимые

корни λ = ±ik , ему соответствует общее

обозначения. Умножив и разделив на С2

+ С2

, получим

1

2

C1

C2

2

2

xoo = C1

+C2

C2

+C2

coskt +

C2

+C2

sinkt

.

1

2

1

2

C1

= sinϕ,

C2

= cosϕ ,

C2

+ C2

= A,

+ C2

1

2

C2

+ C2

C2

1

2

1

2

положенияравновесия

время

отклонение от

жесткости пружины.

Свободные колебания в среде с сопротивлением описываются

уравнением

(2.6).

Если

h2 − k2 > 0 (h > k) ,

то

характеристическое

уравнение

(2.7)

имеет

два различных

действительных корня

λ

= −h ±

h2 − k2

. В модели движения груза

на

пружинке указанное

1,2

условие означает,

что сила сопротивления среды

больше силы упругости

приобретает вид x

oo

(t) = (C

1

+ C

2

t)e−ht

. При малых значениях

t

основную

«роль» играет первый множитель, линейный относительно

t ,

а затем с

увеличением

t

материальная точка будет стремиться к положению

равновесия.

Если же

h2 − k2 < 0

(то есть

h < k - упругая сила

пружины

λ

= −h ± k2 − h2 i.

1,2

Общее решение

x

oo

(t) = e−ht (C

1

cos k2 − h2 t + C

2

sin

k2 − h2 t) = Ae−ht sin(

k2 − h2 t +ϕ)

описывает

затухающие

гармонические

колебания

с

периодом

T = 2π / k2 − h2 ,

частотой

k2 − h2 и

амплитудой Ae−ht ,

убывающей

с

увеличением

t . Вид графика решения:

отклонение

время

наличие сопротивления (h > 0)

видоизменяет характер колебаний: пока

сопротивление сравнительно

невелико

(h < k), движения остаются

периодическими, затухая с увеличением

t , при большом сопротивлении

получения второго слагаемого - частного решения yчн (x).

Будем

рассматривать

правую

часть

f (x) уравнения

(2.2) в

специальном виде

f (x) = Q (x)eα x cosβ x

или

f (x) = Q (x)eα x sin β x ,

n

n

где Q (x) = q

n

xn + q

n−1

xn−1 +…+ q x + q

– заданный многочлен степени n.

n

1

0

Назовем параметром таких функций комплексное число γ =α + iβ .

Прежде чем решать неоднородное уравнение со специальной правой

частью, нужно сравнить параметр

γ =α + iβ

функции из правой части с

параметр γ

не совпадает ни с одним из корней характеристического

уравнения,

то считаем k = 0. При совпадении γ с корнем

Начнем с рассмотрения

функции f (x) = Q (x)eα x

(параметр γ

n

имеет

действительное

значение, поскольку

β = 0).

В

этом случае

y

чн

(x) = xk P (x)eα x , то

есть

частное решение

ищут

в

виде функции

n

части, умножая

ее на

xk . При этом,

как отмечалось, возможны

три

варианта: k = 0,

k =1

или

k = 2. Конкретные

числовые значения

коэффициентов

многочлена

P (x) = p xn + p

xn−1 +…+ p x + p

n

n

n−1

1

0

y′′ − 3y′ + 2y = 4xe3 x .

Функция в его правой части

f (x) = 4xe3 x

имеет степень n =1 и параметр

γ = 3, не совпадающий с корнями

λ1 = 1 и λ2 = 2 характеристического

уравнения, то есть

k = 0. Поэтому частное решение такого уравнения

имеет вид

y

чн

(x) = x0 P (x)e3 x

= ( p x

+ p )e3 x . Для определения числового

1

1

0

значения коэффициентов

p0

и

p1 найдем

производные функции

указанного

вида

(( p1 x + p0 )e

3 x

′

= p1e

3 x

+ (3 p1 x + 3 p0 )e

3 x

,

)

(( p1 x + p0 )e

3 x ′′

3 x

+ (9 p1 x + 9 p0 )e

3 x

и подставим в уравнение:

)

= 6 p1e

(6 p

+ 9 p x +

9p

−

3 p

− 9 p x

− 9 p

+ 2 p x

+ 2p )e3 x = 4xe3 x .

1

1

0

1

1

0

1

0

самым,

p0 = −3

и

p1 = 2 дают нужные значения коэффициентов для

частного решения: y

чн

(x) = (2x − 3)e3 x . С учетом найденного ранее общего

решения

однородного

уравнения,

получаем

y

oн

(x) = C

ex + C

2

e2 x

+ (2x − 3)e3 x .

1

y′′ − 3y′ + 2y = e2 x ,

то степень функции

f (x) = e2 x будет

n = 0, а параметр γ = 2 совпадет с

одним из корней характеристического уравнения, то есть

k =1. Частное

решение

следует искать

теперь в

виде

y

чн

(x) = xP (x)e2x = p xe2 x .

0

0

Находим

производные

( p0 xe

2 x

′

2x

+ 2 p0 xe

2 x

и

) = p0e

( p0 xe

2x

′′

= 4 p0e

2 x

+ 4 p0 xe

2x

. Подставим их в уравнение:

)

4 p e2 x +

4 p xe2 x − 3 p e2 x −

6p xe2 x

+

2 p xe2 x

= e2 x .

0

0

0

0

0

Равенство

обращается в

тождество, если

p0 = 1,

следовательно,

y

чн

(x) = xe2x и y

oн

(x) = C

ex + C

e2x + xe2 x .

1

2

Для неоднородного уравнения

y′′ − 4y′ + 4y = 8e2 x

функция

f (x) = 8e2 x

степени n = 0 имеет параметр γ = 2, совпадающий с

Частное

решение

в

этом

случае

приобретает

вид

чн (x) = x

2

P0 (x)e

2 x

2

2x

. Производные

2

2x

′

+ 2p0 x

2

)e

2x

y

= p0 x

e

( p0 x

e

) = (2p0 x

и

2

e

2x

′′

= (2 p0 + 8p0 x + 4 p0 x

2

)e

2 x

подставим в уравнение:

( p0 x

)

(2 p +

8 p x +

4 p x2

− 8p x

− 8p x2

+ 4p x2 )e2x = 8e2x .

0

0

0

0

0

0

Равенство

обращается

в

тождество,

если

p0 = 4 ,

следовательно,

y

чн

(x) = 4x2e2 x и y

oн

(x) = C

e2x + C

2

xe2 x + 4x2e2 x .

1

В случае комплексного значения параметра γ

функции специального

вида (β ≠ 0) частное решение неоднородного уравнения

ищут в

виде

y

чн

(x) = xkeα x (P (x)cosβ x + R (x)sin β x) .

Здесь

P (x)

и

R (x)

-

n

n

n

n

многочлены

той

же степени

n, что и в правой части, k

- кратность

совпавшего

с параметром

γ

корня в

характеристическом

уравнении.