Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4758

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

504.63 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

умножается на многочлен со своими коэффициентами. Коэффициенты

многочленов снова нужно определять, подставляя в исходное уравнение функцию, в виде которой записано частное решение.

В качестве примера рассмотрим уравнение (2.1), описывающее вынужденные колебания в случае, если на систему воздействует

периодическая внешняя сила, имеющая синусоидальный характер:

ɺɺ		ɺ			2	x = M sinωt .
x	+ 2hx + k					x = M sinωt .
В отсутствии сопротивления уравнение упрощается:
	ɺɺ	+ k	2	x	= M sinωt .		(3.1)
	x	+ k		x	= M sinωt .		(3.1)

Свободные колебания были уже рассмотрены, необходимо теперь записать вид частного решения неоднородного уравнения. Параметр функции в правой части γ =ωi , степень n = 0. Если частота вынуждающей

силы не совпадает с частотой	собственных				колебаний		(ω ≠ k ),	то
xчн (t) = p0 cosωt + r0 sinωt . После		дифференцирования и					подстановки
такой функции в уравнение (3.1) получим значения коэффициентов p0								= 0
и r = M /(k2 − ω 2 ) . Тем самым,	x		(t) =	M		sinωt .
				k2 − ω2
0		чн

Общее же решение уравнения вынужденных колебаний в среде без сопротивления является наложением двух гармонических колебаний с разными частотами:

(t) = Asin(kt + ϕ) +

sinωt .

(3.2)

oн

− ω2

При совпадении частоты возмущающей

силы

частотой

собственных колебаний (ω = k ) движение описывается уравнением

ɺɺ

x = M sinkt ,

(3.3)

x + k

а частное решение имеет вид

xчн (t) = t( p0 coskt + r0 sin kt) . Подставляя

такую функцию в уравнение (3.3), получим

p0 = − M / 2k

и r0 = 0 .

Видим, что частное решение x

(t) = −

t coskt описывает колебания с

чн

неограниченно возрастающей амплитудой. Общее решение тогда является наложением этих колебаний и обычных гармонических колебаний:

x		(t) = Asin(kt + ϕ) −	M	t coskt .
	oн
			2k

Таким образом,		если в среде без сопротивления частота

возмущающей силы совпадает с частотой собственных колебаний, то амплитуда вынужденных колебаний Mt / 2k может стать неограниченно большой даже тогда, когда M невелико. Иначе говоря, возможно

получение сколь угодно больших амплитуд при малых возмущающих силах. Это явление называется резонансом. Если учитывать

сопротивление среды, то при совпадении частот	явление	резонанса
проявляется в более «мягком» виде.
Впрочем, в действительности точное совпадение этих частот не
является необходимым. При близости частот	ω и k	амплитуда

M /(k2 − ω 2 ) решения (3.2) для вынужденного колебания может быть очень большой, хотя и ограниченной.

Возможностью создания колебаний со значительной амплитудой часто пользуются в различных усилителях, например в радиотехнике. С другой стороны, во многих случаях появление больших амплитуд является вредным, ибо может приводить к разрушению конструкций (скажем, мостов или перекрытий).

§ 4. Числовые ряды

Пусть задана последовательность чисел a1,a2 ,...,an ,.... Если ее члены ai , i =1,2,... соединить знаками "+", то получится выражение вида

∞

a1 + a2 + a3 +...+ an +... = ∑an , которое называют числовым рядом.

n=1

Числа a1,a2 ,...,an ,... называются членами ряда, an называется общим

членом ряда.

Ряд считается заданным, если задано правило, позволяющее по известному номеру k его члена записать этот член ряда ak . Чаще всего ряд задается формулой общего члена an = f (n).

∞

Например, формула

задает ряд ∑

, то есть выражение

n=1

вида

+...+

+...

(4.1)

Подставляя в эту формулу конкретное натуральное число, можно записать любой член ряда:


при	n =1	a =				1			=			1			–	1-й член ряда (4.1);

		1			21					2
при	n = 2	a			=		1			=			1		–	2-й член ряда (4.1);
			2
					22					4
при	n = 3	a			=			1			=			1	–	3-й член ряда (4.1) и т.д.
				3
					23					8

Аналогично, если задан ряд вида

							∞
							∑3n = 3 + 9 + 27 +...+ 3n +...,		(4.2)
							n=1
для которого				a	n	= 3n	- формула общего члена, поэтому
					n
при	n =1	a = 31 = 3						– 1-й член ряда (4.2);
		1
при	n = 2	a	2	= 32 = 9				– 2-й член ряда (4.2);
			2

при n = 3 a3 = 33 = 27 – 3-й член ряда (4.2) и т.д.

∞
Для ряда ∑an	введем обозначения:
n=1
S1 = a1 ;	S2 = a1 + a2 ;	S3 = a1 + a2 + a3 ; …,

Sn = a1 + a2 + ...+ an = ∑ai и т.д.

i=1

∞

Сумма Sn называется n- ой частичной суммой ряда ∑an .

n=1

Если существует конечный предел последовательности частичных

		∞
сумм limSn = S ,	то ряд	∑an называется сходящимся,		а число S
n→∞		n=1
			∞
называется суммой ряда. В этом случае пишут			∑an	= S . Таким
			n=1
	∞
образом, символом	∑an	обозначается не только сам ряд, но и (в случае

n=1

сходимости) его сумма. Ряд называется расходящимся, если предел

последовательности частичных сумм

limSn

не существует или равен

n→∞

бесконечности.

∞

Исследуем для примера числовой ряд

∑

. Составим частичную

n=1

сумму S

этого ряда

= a + a

+ ...+ a

+ ...+

. Здесь

суммируются числа, образующие геометрическую прогрессию со

знаменателем q =	1	< 1 и первым членом	a =	1	. Из школьного курса

2			1	2

математики известна формула суммы n первых членов геометрической

прогрессии: S =	a (1− qn )
	1	. В нашем случае
	1− q	. В нашем случае
n	1− q
n


		1				1		n
				1	−
				1	−
			2			2
S		=	2			2			= 1−	1	.
S	n	=					1		= 1−		.
	n			1−						2n
										2n
						2
						2

Найдем предел последовательности частичных сумм Sn

limSn	=lim 1−	1	=lim1–lim	1	=1− 0 =1.

n→∞	n→∞	2n	n→∞ n→∞ 2n

Видим, что предел Sn существует и конечен. Следовательно, данный ряд

∞ 1

сходится и его сумма равна 1. Записываем ∑ = 1.

n=1 2n

∞

Рассмотрим числовой ряд ∑3n . Для него частичная сумма Sn имеет

n=1

вид S

= a + a

+ ...+ a

= 3+ 32 + ...+ 3n

. Здесь

суммируются

числа,

образующие геометрическую прогрессию со знаменателем q = 3 > 1

первым членом

a1 = 3. Тогда

a1 (1− qn )

3(1− 3n )

(3n −1).

1− 3

1− q

Находим предел

limS

=lim

(3n −1)=lim

3n –lim

=+ ∞ −

= ∞ .

n→∞

n→∞ 2

Следовательно, данный ряд расходится.

процессе исследования числовых рядов бывает

удобно

пользоваться свойствами сходящихся рядов:

Если сходится

ряд

u1 + u2 +…+ un +…,

то

сходится

ряд

um+1 + um+2 +…+ un + ...,

получаемый

из

данного

ряда

отбрасыванием

первых

m членов (этот последний

ряд называют

m-ым остатком

исходного ряда) и наоборот – из сходимости m -го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.

2. Если сходится ряд u1 + u2 +…+ un + ..., и суммой его является

число S , то сходится и ряд au1 + au2 +…+ aun + ..., полученный из

исходного умножением на ненулевое число a, причем					сумма последнего
ряда равна aS .
3. Если сходятся ряды	u1 + u2 +…+ un		+ ... и	v1 + v2 +…+ vn		+ ...,
имеющие, соответственно,	суммы S	и	σ ,	то	сходится и	ряд
(u1 + v1 )+ (u2 + v2 )+ ...+ (un	+ vn )+ ...,	причем сумма			последнего	ряда
равна S +σ .

Основным вопросом при изучении числовых рядов является вопрос об

их сходимости или расходимости. Формулу для n- ой частичной суммы

можно записать далеко не всегда, поэтому нужны утверждения, позволяющие решить этот вопрос. Начнем с необходимого условия сходимости числового ряда:

	∞
Если числовой ряд	∑an . сходится, то предел его общего члена				an при
	n=1
n → ∞ равен нулю, т.е.		liman = 0.
		n→∞
			∞	∞
Действительно, если данный нам ряд ∑an				сходится и∑an	= S , то
			n=1	n=1
an = Sn − Sn−1 . Поэтому
liman	= lim(Sn − Sn−1 )= limSn		− limSn−1 = S − S = 0.
n→∞	n→∞	n→∞	n→∞

∞ n2 + 3

Например, для числового ряда ∑

n=1 n

+ 3

liman

= lim

= lim n +

= ∞ + 0 = ∞ ≠ 0.

n→∞

n→∞ n

n→∞

Видим, что необходимый признак не выполняется, следовательно, ряд расходится.

∞

Рассмотрим далее ряд ∑ln 1

. Для него необходимый

n=1

признак сходимости выполняется, поскольку liman

= limln 1+

= 0.

n→∞

n +1

= ln(n +1)− ln n. Отсюда

С другой стороны, ln 1

= ln

Sn = a1 + a2 + ...+ an =

= (ln 2 − ln1)+ (ln3− ln 2)+ ...+ (ln(n +1)− ln n)= ln(n +1).

Следовательно, при

n → ∞

последовательность частичных

сумм

∞

Sn → ∞ , а это означает, что ряд ∑ln 1+

расходится.

n=1

Рассмотренный пример иллюстрирует важность понимания того, что необходимый признак не является достаточным – сходимости он не обеспечивает. Поэтому вопрос о сходимости числовых рядов, для которых необходимый признак сходимости выполнен, будем решать с помощью достаточных признаков сходимости. Этот вопрос проще всего решается для рядов с неотрицательными членами.

Признаки сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными

членами

∞
∑an =a1	+ a2	+ ...+ an	+ ...	(1)
n=1
∞
∑bn =b1	+ b2	+ ...+ bn	+ ... ,	(2)

n=1

			∞
где an > 0, bn	> 0,n =1,2,...	Признак сравнения 1. Если ряд ∑bn сходится и
			n=1
			≥ an , n = 1,2,..., то ряд	∞
выполняется	неравенство	bn	≥ an , n = 1,2,..., то ряд	∑an также
				n=1
	∞
сходится; если ряд ∑bn			расходится и выполняется	неравенство
	n=1
		∞
bn ≤ an , n = 1,2,..., то ряд		∑an также расходится.

n=1

Сходимость или расходимость ряда с неотрицательными членами устанавливают сравнением исследуемого ряда с "эталонным" рядом, относительно которого заведомо известно, сходится он или нет.

В качестве "эталонных" рядов будем использовать следующие ряды:

Расходящиеся ряды a) гармонический ряд

∞	1		1		1		1
∑		=1+		+		+...+		+...;
∑	n	=1+	2	+	3	+...+	n	+...;
n=1	n		2		3		n

б) обобщенный гармонический ряд

∞	1		1		1		1
∑		=1+		+		+...+		+..., при	p <1;
∑	np	=1+	2p	+	3p	+...+	np	+..., при	p <1;
n=1	np		2p		3p		np

в) ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

∞

∑aqn =a + aq + aq2 + ...+ aqn + ..., при q ≥1;

n=0

Сходящиеся ряды

а) обобщенный гармонический ряд

∞

∑

=1+

+...+

+..., при

p >1;

n=1

б) ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

∞

∑aqn

=a + aq

+ aq2

+ ...+ aqn + ..., при

<1;

n=0

∞

Например,

для ряда

∑

в качестве ряда сравнения

(n +1)3n

n=1

∞ 1

выбираем ряд, составленный из членов геометрической прогрессии ∑ .

n=1 3n

Он является сходящимся, т.к. знаменатель прогрессии							q =	1	<1. Кроме

							3
того, справедливо неравенство a		=	n	<	1	= b	для		всех n ≥1.
			(n +1)3n		3n
	n					n

∞	n
Следовательно, по первому признаку сравнения ряд ∑		тоже

n=1	(n +1)3n

сходится.

Сформулируем еще один признак сравнения (в предельной форме). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами

∞

∑an =a1 + a2 + ...+ an + ...,

n=1

∞

∑bn =b1 + b2 + ...+ bn + .... Если существует

n=1

	an		∞
конечный и отличный от нуля предел lim		= k ≠ 0, то ряды	∑an и

n→∞

bn	n=1

∞

∑bn сходятся или расходятся одновременно.

n=1

Предельным признаком сравнения удобно пользоваться, если общий член an некоторого числового ряда есть дробно-рациональная функция,

т.е. an =

u (n)

ul (n)

vm (n) - многочлен

, где

- многочлен степени

l, а

v (n)

∞

степени

m. При этом если

m > l, то в качестве ряда сравнения ∑bn

n=1

∞

следует брать ряд

∑

, где

= m

− l .

n=1

∞

n +1

Например,

для

исследования

на сходимость

ряда

∑

n=1

4n3 −1

∞

качестве

ряда сравнения ∑b

выберем

ряд

∑

. Он

сходится, т.к.

n=1

n=1 n2

p = 2 > 1. Рассмотрим предел отношения

lim

= lim

(n +1) n2

=lim

+ n2

∞ =

(4n

−1)

−1

n→∞

∞

lim

(n3 + n2 )/n3

= lim

1+1/ n

≠ 0.

−1/n3

n→∞ (4n3 −1)/ n3

n→∞ 4

∞

n +1

Согласно

второму

признаку

сравнения

получаем, что ряд

∑

4n3 −1

n=1

сходится.

Для исследования рядов с положительными слагаемыми,

общий

член

которых

содержит либо

показательное выражение

вида

an , (a > 0,a ≠ 1),

либо факториал

n! удобно использовать признак

∞

Даламбера. Пусть дан числовой, знакоположительный ряд ∑an , и пусть

n=1

существует предел отношения

lim

an+1

= p. Тогда

n→∞ a

если

p <1,

то данный ряд сходится;

если

p >1 или p = ∞,

то данный ряд расходится;

если

p =1,

то признак Даламбера ответа не дает (ряд может

оказаться как сходящимся, так и расходящимся).

∞

n +1

Исследуем по

признаку

Даламбера сходимость ряда

∑

n=1

Здесь

n +1

;

an+1 =

n + 2

. Находим предел отношения

2n+1

p = lim

an+1

= lim

(n + 2)2n

lim

n + 2

lim

1+ 2/n

n→∞ a

n→∞ 2n 2(n +1)

2 n→∞ n +1 2 n→∞ 1+1/n 2

∞

n +1

Так как

p =

< 1, то ряд ∑

сходится.

n=1

∞

(2n)!

Далее исследуем на сходимость ряд

∑

n=1

Здесь

= (2

n)!;

= (2(

n +1))!.

= lim (2

(n +1))!

= lim

(2n +

2)!

Находим

p = lim

an+1

n→∞ a

n→∞

n +1 (2n)! n→∞ n +1 (2n)!

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023503.64 Кб04753.pdf
#
21.11.2023503.9 Кб04754.pdf
#
21.11.2023504.23 Кб04755.pdf
#
21.11.2023504.25 Кб04756.pdf
#
21.11.2023504.28 Кб04757.pdf
#
21.11.2023504.63 Кб14758.pdf
#
21.11.2023504.73 Кб04759.pdf
#
21.11.2023122.83 Кб0476.pdf
#
21.11.2023504.82 Кб14760.pdf
#
21.11.2023504.86 Кб14761.pdf
#
21.11.2023505 Кб04762.pdf