5133
.pdf
|
|
|
40 |
|
|
F |
3 |
|
Q = 3qa |
P |
М |
|
|
||||
α |
|
E |
|
H |
|
|
A |
B |
|
C |
D |
F |
|
X A |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
2a |
a |
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
R |
A |
R |
|
|
R |
RD |
|
|
||||||||
A |
|
B |
|
|
C |
|
||
|
|
|
|
0.5a |
|
1.5a |
|
|
|
|
|
|
|
»y, и изобразим на |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Удалим опору A, заменив ее неизвестной реакцией |
||||||||
рисунке виртуальные перемещения элементов системы.
Сумма работ внешних сил на этих перемещениях равна нулю в соответствии с принципом возможных перемещений. Составим
соответствующее уравнение:
»y V ½• % -√3 ∙ 2V ½• 0, откуда
»y % 2-√3 0, »y 2-√3 2 ∙ 20 ∙ 1.732 69.28 кН.
F 
3
′ |
|
Q |
|
P |
A |
δϕ1 |
|
||
|
|
H |
М |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
A |
E |
B |
C |
D |
|
|
YA |
|
|
0.5a |
1.5a |
|
|
a |
|
|
|
a |
a |
a |
|
2a |
a |
a |
a |
|
||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Удалим опору B, заменив ее неизвестной реакцией w•, и изобразим на рисунке виртуальные перемещения элементов системы.
F |
3 |
E′ |
B′ |
|
Q |
|
|
P |
|
|
A |
δϕ1 |
|
|
|
H |
|
М |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
δϕ2 |
|
|
|
|||
δϕ1 |
|
B |
|
|
C |
|
D |
||
|
RB |
0.5a |
1.5a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a |
|
|||
|
a |
a |
a |
|
2a |
a |
a |
a |
|
Составим соответствующее уравнение: |
|
|
|
||||||
41 |
|
-√3V ½• w• 2V ½• % º 1.5V ½• 0. |
½• 3½• |
Учитывая, что ¾¾¿ V ½• 3V ½• получим, что |
|
-√3 V 3½• w• 2V ½• % º 1.5V ½• 0. откуда |
3- 2w• % |
1.5º 0, |
|
w• k1.5º % 3-√3o $1.5 ∙ 30 % 3 ∙ 20 ∙ 1.732& %29.46 кН.
4.Удалим опору C, заменив ее неизвестной реакцией wƒ, и изобразим на рисунке виртуальные перемещения элементов системы.
F |
3 |
|
|
|
Q |
H ′ |
C′ |
P |
|
|
|
δϕ1 |
|
|
|
δϕ2 |
H |
|
δϕ3 |
D |
М |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
δϕ2 |
B |
|
|
C |
|
δϕ3 |
|
|
δϕ |
E′ |
0.5a |
1.5a |
RC |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
a |
|
a |
|
2a |
a |
a |
a |
a |
|
Составим соответствующее уравнение: |
|
|
|
%-√3 V ½• % º ∙ 0.5V ½• wƒ 2V ½• % ’V ½• |
½• |
0. |
|
Учитывая, что ¾¾¿ V ½• V ½• |
получим, что |
½• ½• . |
|
Учитывая, что ÀÀ¿ 2V ½• 3V ½• получим, что |
½• ½• |
||
1.5½• . |
|
|
½• 0. |
%-√3 V 1.5½• % º ∙ 0.5V 1.5½• wƒ 2V ½• % ’V ½• |
|||
откуда %-√3 V 1.5 % º ∙ 0.75V wƒ 2V % ’V |
0. |
|
|
wƒ j k1.5-√3 V 0.75ºV ’V % |
o |
|
|
∙ $1.5 ∙ 20 ∙ 1.732 ∙ 1 0.75 ∙ 30 ∙ 1 40 ∙ 1 % 25& 44.73 кН.
5.Удалим опору D, заменив ее неизвестной реакцией w†, и изобразим на рисунке виртуальные перемещения элементов системы.
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
F |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
P |
D′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A |
δϕ |
E′ |
δϕ2 |
|
Q |
|
δϕ3 |
|
М |
|
1 |
|
|
|
H |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
δϕ |
|
|
E |
B |
δϕ2 |
δϕ3 |
C |
|
D |
|
|
|
|
|
RD |
||||||
1 |
|
|
|
|
0.5a |
1.5a |
H ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||
a |
|
a |
|
a |
|
2a |
a |
a |
a |
|
Составим соответствующее уравнение: |
|
|
-√3 V ½• º ∙ 0.5V ½• % ’V ½• wƒ 2V ½• % |
½• 0. |
|
Учитывая, что ¾¾¿ V ½• V ½• |
получим, что |
½• ½• . |
Учитывая, что ÀÀ¿ 2V ½• V ½• |
получим, что |
½• ½• |
2½• . |
|
2½• 0. |
-√3 V ½• º ∙ 0.5V ½• % ’V 2½• wƒ 2V 2½• % |
||
откуда -√3V º ∙ 0.5V % 2’V |
4wƒ V % 2 0. |
wƒ #j k%-√3V % 0.5ºV 2’V 2 |
o |
#∙ $%20 ∙ 1.732 ∙ 1 % 0.5 ∙ 30 ∙ 1 2 ∙ 40 ∙ 1 2 ∙ 25& 20.09 кН.
6.Для проверки спроектируем все силы системы на ось Y:
∑ »] »y w• wƒ w† % -√3 % º % ’
69.28 % 29.46 44.73 20.09 % 20 ∙ 1.732 % 30 % 40 0.00
Проверка выполняется.
задача решена
3.3. Уравнение Лагранжа 2-го рода
ЗАДАЧА 3
Механическая система движется под действием сил тяжести и пары сил с моментом М. Определить линейное (или угловое) ускорение согласно заданной на схеме (линейной или угловой) обобщенной координате.
При решении задачи считать, что качение колес происходит без проскальзывания. Колеса считать однородными дисками, нити - нерастяжимыми, а блок В – невесомым. Массы нитей и силы трения не
43
учитывать. Решение выполнить с помощью уравнения Лагранжа II
рода.
Дано: ¨ 10¨; ¨ 2¨; ¨ 3¨; ¨# ¨; š 1; š 2; š 1.5;
¸ • $обобщенная координата&; 2¨° w ; V 10см;
ϕ2
r3 = k3 × a |
α |
|
|
R3 = k2 × a |
ε2 − ? |
R2 = k1 × a |
|
R |
|
|
|
M |
vD D |
ϕ2 |
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
vE |
E |
|
ω2 |
|
R |
|
|
|
v3 |
|
||
|
|
|
||
|
P |
|
C |
R |
|
|
3 |
v4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ω3 |
α |
|
|
|
P3 |
|
|
|
|
|
P4 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
v1 |
|
|
P
1
решение
1.Принимая за обобщенную координату показанный на схеме угол поворота • , запишем уравнение Лагранжа II рода:
XX ÂÄÂÃAY % ÂÄÂÃY ºÄY.
2. Определим угловые и линейные скорости тел системы:
Тело 2 совершает вращательное движение с угловой скоростью
z •A;
Тело 1 совершает поступательное движение со скоростью
@ @† z w •Aw ;
Тело 3 совершает плоскопараллельное движение с угловой скоростью
gŠ |
g‡ |
|Y |
z |[m›[ |
|[m›[ |
•A |[m›[ |
и линейной скоростью (скорость точки С3)
44
@ z v •A ||[Ym››[[;
Тело 4 совершает поступательное движение со скоростью
|
|
|
|
|Y›[ . |
|
|
|
|
|
|
@# @ •A |[m›[ |
|
|
|
|
||||
3. |
Определим обобщенную силу ºÄY, соответствующую обобщенной |
||||||||
|
координате • , при условии, что |
½• Å 0. Для этого вычислим |
|||||||
|
работу, совершаемую активными силами на перемещении ½• : |
||||||||
|
½‘$• & ’ ∙ ½• ∙ w |
∙ ½• % ’ ∙ sin D ∙ ½• ∙ |
|||||||
|
|Y›[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|[m›[ % |
|
|
|
w v |
|
|
||
|
|
%’# ∙ sin D ∙ ½• ∙ w |
v |
|
|
||||
|
Найдем значение обобщенной силы: |
|
|
|
|
||||
|
ºÄY ’ ∙ w |
% $’ ’#& ∙ sin D ∙ ||[Ym››[[ |
|||||||
|
10¨° ∙ 10 2¨° ∙ 10 % 4¨° ∙ 0.5 ∙ |
|
10 ∙ 15 |
111.43 ¨°. |
|||||
|
|
35 |
|
||||||
4. |
Вычисляем моменты инерции колес: |
|
|
|
|
||||
|
© ¨ w ∙ 2¨ ∙ V ¨V ; |
|
|
||||||
|
© ¨ |
|[Y‹m›[Y‹ |
|
∙ 3¨ ∙ V ∙ Y‹m.xY‹ |
5.06¨V . |
||||
|
|
| m› |
|
|
m .x |
|
|
||
|
|
[ [ |
|
|
|
|
|
|
|
5.Выражаем кинетическую энергию системы Т через скорость обобщенной координаты •A:
Кинетическая энергия равна сумме § § § § §#, где
|
§ |
¨ @ |
|
|
∙ 10¨ ∙ |
$•Aw & |
500¨•A |
||||||
Тело 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
§ |
© z ¨V |
$•A& 50¨•A |
|
|||||||||
Тело 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
|
|
|
; |
|
|||||||
|
|
¨ @ |
|
© z |
∙ 3¨ •A |[m›[ |
+ |
|||||||
Тело 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|Y›[ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
|
|
|
|
∙ 5.06¨V |
|
|
|
|Y |
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
•A |[m›[ |
|
69.63¨•A |
|
||||||||
|
|
§ |
¨ @ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∙ 1¨ ∙ •A |[m›[ |
9.18¨•A |
|||||||||||
Тело 4: |
|
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|Y›[ |
|
. |
|
|
|
|
|
# # |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
$ |
500 50 69.63 9.18&¨•2 |
628.81 ¨•2. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
A |
|
6.Вычисляем производные, входящие в левую часть уравнения Лагранжа II рода:
X ÂÃ |
|
|
ÂÃ |
0. |
|
|
X ÂÄAY 1257.62 ¨•W; |
ÂÄY |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
7. Формируем уравнение Лагранжа II рода и, решаем его: |
|
|
||||
|
¨•W 111.43 ¨°, |
|
|
|
||
1257.62 |
|
•2 |
|
|
|
|
|
™ |
xq.ˆ 0.0886 ° 0.869 ! |
|
. |
||
откуда получаем, что |
W |
.# ³ |
|
|
||
задача решена
46
Список литературы
1.Айзенберг Т.Б. Руководство к решению задач по теоретической механике / Т.Б. Айзенберг, И.М. Воронков, В.М. Осетский. – М.: Наука, 1968, и последующие издания. – 392 с.
2.Бутенин Н.В. , Лунц Я.Л. , Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т.1, СПб, 2002.
3.Бать М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах ч.1 / М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. – М.: ФН, 1961, и последующие издания. – 472 с.
4.Диевский В.А. Теоретическая механика: Учебное пособие – СПб.: Издательство «Лань», 2005.-320 с.
5.Диевский В.А. , Малышева И.А. Теоретическая механика. Сборник заданий: Учебное пособие. – СПб.: Издательство
«Лань», 2007.-192 с.
6.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учеб. пособие / И.В. Мещерский. – М.: Наука,1986. - 448 с.
7.Сборник задач по теоретической механике: Учеб. пособие для втузов / Под ред. К.С. Колесникова. – М.: Наука, 1989. – 448 с.
8.Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике / Под ред. А.А. Яблонского. – М.: Высшая школа, 1985. – 367 с.
9.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики / С.М. Тарг. –
М.: наука, 1995. – 478 с.
10.Яблонский А.А. Курс теоретической механики. ч.1 / А.А. Яблонский, В.И. Никифорова. – М.: Высшая школа, 1984. – 360 с.
Юдников Сергей Георгиевич Ведяйкина Ольга Ивановна
ВЫПОЛНЕНИЕ КУРСОВЫХ РАБОТ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Учебно-методическое пособие
по подготовке к выполнению курсовых работ по дисциплине «Теоретическая механика» для обучающихся по специальности 08.05.01 Строительство уникальных зданий и сооружений Специализация Строительство гидротехнических сооружений повышенной ответственности
=====================================================================
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» 603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.
http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru