5135

9.Свойства градиента

1.Производная функции z = f (x, y) по направлению l равна

скалярному произведению градиента grad z и единичного вектора e = {cosα , cos β}, задающего направление l :

∂

¶l = grad z × e .

2.Модуль градиента grad z функции z = f (x, y) в данной точке –z

это «скорость» изменения функции в направлении вектора e наибольшего возрастания функции в данной точке, причем

линии уровня, проходящей через данную точку.

Пример. Найти градиент функции z =3x4 - xy + y3 в точке М(1,2).

Решение. Находим

f x/ = 12x3 − y , f x/ (x0 , y0 ) = f x/ (1,2) = 12 ×13 - 2 = 10 ,

f y/ = -x + 3 y 2 , f y/ (x0 , y0 ) = f y/ (1,2) = -1+ 3× 22 =11.

Следовательно, grad z(1,2) = {10, 11}.

20

§2. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.Частные производные высших порядков. Экстремумы функции двух переменных

Если частные производные f x/ и f y/ функции z = f (x, y) сами

являются дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка, то есть

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков. Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если частные производные второго порядка функции

f xy// (x0 , y0 ) = f yx// (x0 , y0 ) .

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

z = 3x4 − xy + y3 .

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной.

Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности

точки (х0 , у0 ) . Точка (х0 , у0 ) называется точкой максимума (минимума)

21

функции z = f (x, y) , если существует такая δ - окрестность точки

(х0 , у0 ) , что во всех ее точках (х, у) , отличных от (х0 , у0 ) , выполнятся неравенство f (x, y) < f (x0 , y0 ) ( f (x, y) > f (x0 , y0 ) ).

что в точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности,

изображающей функцию z = f (x, y) , параллельна плоскости Оху, так

как уравнение касательной плоскости есть z = z0 .

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы

22

Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой

окрестности стационарной точки (х0 , у0 ) функция z = f (x, y) имеет

непрерывные частные производные до второго порядка включительно

Тогда:

1)если (x0 , y0 ) > 0 , то функция z = f (x, y) в точке (х0 , у0 )

имеет экстремум: максимум, если A < 0 , и минимум, если A > 0 ;

2)если (x0 , y0 ) < 0 , то функция z = f (x, y) в точке (х0 , у0 )

экстремума не имеет;

3)если (x0 , y0 ) = 0 , то экстремум в точке (х0 , у0 ) может

быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

производные не определены отсутствуют.

2) Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем две точки: М1 (6,3) и М2 (0,0) .

3) Находим частные производные второго порядка данной функции:

24

значения. Следовательно, в точке М2 (0,0) функция экстремума не имеет.

z

y

z = −x3

x

z = −y4

Рис. 12

25

2.Наибольшее и наименьшее значение функции

взамкнутой области

Пусть функция z = f (x, y) определена и непрерывна в ограниченной области D . Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = f (x, y) :

1)Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них;

2)Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y)

на границах области; 3) Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них

наибольшее и наименьшее.

1)Находим все критические точки:

Решением системы являются точки (0,0) , (−1,0) , (0,−1) , (− 1 ,− 1). Ни

3 3

одна из найденных точек не принадлежит области D .

26

(см. рис. 13). При x = 1 функция z(y) = y 2 + 2 y является функцией одного

z(1) =12 + 2 ×1 =1 + 2 = 3 .

Следовательно, наименьшее значение функции z на отрезке AB

y

28

− 4,5

Рис. 16

29