5849
.pdf
50
Определить скорости и ускорения точек А, В, С, Р, расположенных на ободе колеса.
Решение:
1. Определение скоростей МЦС колеса – точка Р. Относительно точки Р колесо вращается по часовой стрел-
ке. Соединим точку Р с точками А, В, С и покажем направления скоростей в сторону вращения по перпендикуляру к отрезкам АР, ВР, СР.
|
Угловую скорость колеса получим из формулы, которая связывает угловую ско- |
|||||
рость со скоростью центра колеса: |
L € ∙ , |
из которой получается, что € |
||||
L |
M. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модули скоростей получим по формуле Эйлера L ’ € D ’: |
м |
||||
|
м |
|
м |
; |
|
|
|
L € ∙ √ √ с ; |
L‚ € ∙ с |
L’ € ∙ √ √ с. |
|||
2. Определение ускорений Расстояние от точки О до МЦС (точки Р) всегда постоянно. Кроме того точка О
движется прямолинейно. В этом случае угловое ускорение можно найти следующим |
||||||||||||||
образом: • €, |
\ |
} |
L” |
~ L,” ”. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\I |
” |
• |
” |
|
|
м |
радс . |
|
|
|||||
То есть в данный момент времени: |
с |
|
|
|||||||||||
|
|
м |
R |
|||||||||||
B |
|
|
|
|
|
B |
vB |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
vA |
|
R |
|
A |
O |
C |
A |
O |
vO |
C |
|
|
|
||||
|
R |
|
|
|
||
|
R |
|
|
|
|
|
|
aO |
vO |
|
|
|
|
R vC
P P
Рис.2.12
Выберем в качестве полюса центр колеса (точку О) и используем для определения
ускорения произвольной точки М теорему о сложении ускорений:
(! (!” (! ” (!” (!P ” (!H ”.
51
Вращательные ускорения точек A, B, C, P во вращении колеса относительно полюса О по модулю будут одинаковы и направлены перпендикулярно к соответствующему радиусу в сторону углового ускорения:
P ” P ” P‚” P’” • ∙ M ∙ м Mм .
Нормальные ускорения точек A, B, C, P во вращении колеса относительно полю-
са О по модулю будут одинаковы и направлены к центру колеса:
H” H” H‚” H’” € ∙ M ∙ м Mм .
Суммируя |
|
в |
|
каждой точке три вектора ускорения по формуле |
|||
(! (!” (!P |
” |
(!H |
”, получим, что |
||||
’ |
|
м |
и |
|
А В √ √ |
м |
. |
|
с |
|
с |
||||
Если на середине отрезка СР отметить точку Q, то можно заметить, что: Ускорения в точках, расположенных на одинаковых расстояниях от точки Q
(точках Р, О, С) одинаковы по величине;
Ускорения в точках, расположенных на разных расстояниях от точки Q пропор-
циональны расстояниям до этих точек }” ” √ ~;
Ускорения в точках A, B, C, P направлены таким образом, что составляют одинаковый угол — с отрезками, соединяющими эти точки с точкой Q;
Ускорение в самой точке Q при этом равно нулю.
|
R |
aτBO |
|
B |
aO |
B |
β
a |
τ |
aBOn |
R |
AO |
|
aA |
|
|
|
|
A |
O |
|
C |
A |
β |
O |
|
R |
|
|
|
||
R |
n |
|
R |
|
β |
|
aO |
aO |
an |
|
|||
aAO |
a |
|
||||
|
|
|
CO |
O |
|
|
ε |
aPOn |
aCOτ |
|
β |
|||
|
aτ |
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a |
|
aP |
|
|
|
|
PO |
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R aB
R
aO C
β 
R aC
Q |
aQ = 0
P |
|
P |
|
|
|
Рис.2.13
Точка тела Q, ускорение которой в данный момент равно нулю, называется мгновенным центром ускорений.
52
Существуют правила, по которым можно найти положение мгновенного центра ускорений (МЦУ), после чего определение ускорение других точек тела сильно упрощается.
Задача решена
Задача 2.12. Плоскопараллельное движение твердого тела В некоторый момент времени, движущийся плоский механизм находится в по-
ложении, показанном на рисунке. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью € радс . Длина звена ОА =50 см. Определить угловую скорость звена AD и ско-
рости точек A и D.
|
D |
|
D |
|
|
|
v D |
A |
ω |
A |
O |
|
O |
|
|
|
|
v A |
ω1 =ω |
Рис.2.14
Решение:
1.Механизм состоит из трех тел: звеньев ОА и AD и ползуна D. Пронумеруем их
ирассмотрим их движение.
2.Звено 1 (элемент ОА). Движение вращательное.
Центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть P1=0. Угловая скорость задано, то есть € € радс .
Определяем скорость точки А.
Скорость L(! направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА. Ее модуль определяется по формуле Эйлера: L € ∙ |” | ∙ смс .
3. Звено 2 (элемент ОD).
Направление скорости точки D определяется направляющими ползуна. Следовательно, вектора L(! и L(!˜ параллельны.
Таким образом, мгновенный центр скоростей Р2 находится в бесконечности. Скорости точек A и D одинаковы, то есть L L˜ мм.
Движение звена AD является мгновенно поступательным.
53
Угловая скорость звена равна нулю: € .
Ответ: L L˜ мм , € .
Задача 2.13. Плоскопараллельное движение твердого тела В некоторый момент времени, движущийся плоский механизм находится в по-
ложении, показанном на рисунке. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью
€ радс .
Даны размеры элементов механизма: OA = 50 см, АВ = 80см, R=40 см, r=20 см. Определить угловую скорость звена AВ и колеса В, а также скорости точек A,
В и С.
ω1
O |
A |
C |
|
|
|
R |
3 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
r |
|
|
B |
|
Рис.2.15
Решение:
1. Механизм состоит из трех тел: звеньев ОА и AВ и колеса В. Пронумеруем их и рассмотрим их движение.
ω1
O |
v A |
|
ω2 |
|
|
v C |
|
C = P2 |
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
R |
3 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
r |
|
|
v B |
|
B |
|
|
|
ω3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P3 |
|
Рис.2.16
2. Звено 1 (элемент ОА). Движение вращательное.
Центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть ” . Угловая скорость задано, то есть € € радс .
54
Определяем скорость точки А.
Скорость L(! направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА. Ее модуль определяется по формуле Эйлера: L € ∙ |”| ∙ смс .
3. Звено 2 (элемент ОD). Движение плоскопараллельное.
Заметим, что ‚ , следовательно, U .
Линия действия скорости точки B направлена горизонтально (параллельно плос-
кости, по которой катится колесо В). Восстанавливая перпендикуляры к направле- |
||||||||||
нию скоростей вектора L(! |
и L(!‚, получаем МЦС звена 2 (точку P2). Направление |
|||||||||
скорости L(! показывает, что вращение звена 2 относительно точки P2 направлено |
||||||||||
против часовой стрелки, следовательно, скорость L(!‚ направлена влево. Угловая |
||||||||||
скорость звена 2 определяем с помощью формулы Эйлера: |
|
|
||||||||
L € ∙ | |, где |
‚ ‚ |
√ . см. |
|
|||||||
Получаем, что € |
L |
. . радс . |
|
|
||||||
| | |
|
|
||||||||
Также по формуле Эйлера определяем скорость точки В: |
|
|
||||||||
L‚ € ∙ |‚ | . ∙ . |
смс . |
|
|
|||||||
4. Элемент 3 (колесо В). Движение плоскопараллельное. |
|
|
||||||||
Мгновенным центром скоростей колеса является точка P3 ( точка соприкоснове- |
||||||||||
ния колеса и поверхности). Направление скорости L(!‚ показывает, что угловая ско- |
||||||||||
рость € направлена против часовой стрелки, а ее величина определяется с помо- |
||||||||||
щью формулы Эйлера: L‚ € |
∙ |‚ |. |
|
|
|
|
|||||
Отсюда получаем, что |
€ |
|
L‚ |
LD‚ . . радс . |
|
|||||
|‚ | |
|
|||||||||
По формуле Эйлера определяем скорость точки С: |
|
|
||||||||
L’ € ∙ | ’| € ∙ " |
D$ . ∙ . смс . |
|
||||||||
Скорость направлена в сторону вращения перпендикулярно к отрезку ’. |
L’ |
|||||||||
Ответ: € . радс , |
€ . радс , |
|
L смс , |
L‚ . смс , |
||||||
. смс . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.14. Плоскопараллельное движение твердого тела В некоторый момент времени движущийся плоский механизм находится в поло-
жении, показанном на рисунке. Кривошип ОА в данный момент времени имеет угловую скорость € радс . Длины звеньев равны: ОА = АС = СВ = СD = 50 см.
Определить угловую скорость звеньев AB и CD, а также скорости точек A, B, C
и D.
55
D
|
30° |
|
|
A |
|
|
60° |
|
ω |
C |
|
B |
||
|
||
|
30° |
|
|
O |
Рис.2.17
Решение:
1.Механизм состоит из пяти тел: звеньев ОА, AB, CD и ползунов В и D. Пронумеруем их и рассмотрим их движение.
2.Звено 1 (элемент ОА). Движение вращательное.
Центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть P1=0. Угловая скорость задана, то есть € € радс .
Определяем скорость точки А.
Скорость (!L направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА. Ее модуль определяется по формуле Эйлера: L € ∙ |” | ∙ смс .
3. Звено 2 (элемент АB).
Направление скорости точки В определяется направляющими ползуна. Движение ползуна В поступательное. Вектор L(!‚ имеет вертикальное направле-
ние. Восстанавливая перпендикуляры к направлению скоростей вектора L(! и L(!‚, получаем МЦС звена 2 (точку P2). Она совпадает с точкой О. Направление угловой скорости звена 2 определяется вектором скорости L (против часовой стрелки относительно точки О). Следовательно скорость ползуна В направлена вверх.
56
D |
v D |
|
90° |
v A |
|
A |
30° |
|
ω 4 |
||
|
|
E |
|
|
90° |
v C |
|
|
60° |
|
|
|
|
|
|
|
|
30° |
P4 |
|
|
90° |
|
|
|
v B |
|
|
|
C |
|
ω1 |
|
|
90° |
ω 2 |
|
30° |
B |
|
O = P = P |
||
|
|
||
|
1 |
2 |
|
Рис.2.18
Угловая скорость звена 2 определяется с помощью формулы Эйлера: L € ∙ | |. Получаем, что € | L | радс .
Также по формуле Эйлера определяем скорость точки В:
L‚ € ∙ |‚ | € ∙ | ‚| ∙ MNF ∙ ∙ √ смс .
Скорость точки С направлена по перпендикуляру к отрезку СР2 в сторону вращения звена 2 относительно точки Р2 (рис. 2.18). Поскольку треугольник АСО равносторонний, то СР2=ОА=50см.
Тогда LС € ∙ |С | ∙ смс . 4. Звено 3 (элемент ОB).
Направление скорости точки D определяется направляющими ползуна. Движение ползуна D поступательное. Вектор L(!˜ имеет горизонтальное направ-
ление.
Восстанавливая перпендикуляры к направлению скоростей вектора L(!’ и L(!˜, получаем МЦС звена 4 (точку P4). Поскольку треугольник CDP4 равнобедренный, то
CP4 = DP4. Отсюда следует, что скорости точек C и D по модулю равны: L˜ L’ смс .
Направление угловой скорости звена 4 определяется вектором скорости L’ (по часовой стрелке относительно точки P4 ). Следовательно, скорость ползуна D направлена вправо.
Угловая скорость звена 4 определяется с помощью формулы Эйлера:
57
LС € ∙ |С |, |
|
где ’ |
’š |
|
|
|
MNF |
√ ⁄ |
|||||
Получаем, что € |
LС |
. . радс . |
||||
|С | |
||||||
Ответ: € радс , |
€ . радс , L L’ |
|||||
. . см.
L˜ смс , L‚ смс .
Задача 2.15. Плоскопараллельное движение твердого тела В некоторый момент времени движущийся плоский механизм находится в поло-
жении, показанном на рисунке.
D
A |
45° |
ω |
C |
|
B |
||
|
O
Рис.2.19
Кривошип ОА в данный момент времени имеет угловую скорость € радс .
Длины звеньев равны: ОА = АС = СВ = 50 см.
Определить угловую скорость звеньев AB и CD и скорости точек A, B, C и D.
Решение:
1.Механизм состоит из пяти тел: звеньев ОА, AB, CD и ползунов В и D. Пронумеруем их и рассмотрим их движение
2.Звено 1 (элемент ОА). Движение вращательное.
Центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть P1=0. Угловая скорость задана, то есть € € радс .
Определяем скорость точки А.
Скорость (!L направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА. Ее модуль определяется по формуле Эйлера: L € ∙ |”| ∙ смс .
3. Звено 2 (элемент АB).
58
Направление скорости точки В определяется направляющими ползуна. Движение ползуна В поступательное. Вектор L(!‚ имеет горизонтальное направление и параллелен вектору L . Отсюда следует, МЦС звена 2 находится в бесконечности, а
движение звена 2 является мгновенно поступательным. Все точки звена 2 имеют одинаковые скорости и (!L (!L‚ (!L’
|
|
ω4 |
90° |
5 |
|
|
|
||
|
|
P4 |
45° |
D |
|
|
|
|
|
v A |
A |
4 |
|
v D |
|
|
|||
|
90° |
45° |
|
|
|
90° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
1 |
|
30° |
|
|
v C |
C |
|
|
ω1 |
|
|
||
|
2 |
|
B |
|
|
|
30° |
||
|
|
|
|
|
|
O = P |
|
v B |
3 |
|
1 |
|
Рис.2.20
4. Звено 4 (элемент CD).
Направление скорости точки D определяется направляющими ползуна. Движение ползуна D поступательное. Вектор L(!˜ имеет вертикальное направление. Восстанавливая перпендикуляры к направлению скоростей вектора L(!’ и L(!˜, получаем МЦС звена 4 (точку P4). Легко заметить, что фигура CEDP4 представляет собой
квадрат со стороной, равной ’š ’‚ ∙ MNF ∙ √
√ . см. Сле-
довательно, CP4 = DP4=43.3 см.
Направление угловой скорости звена 4 определяется вектором скорости L’ (по часовой стрелке относительно точки P4). Следовательно скорость ползуна В направлена вверх.
Угловая скорость звена 4 определяется с помощью формулы Эйлера:
LС € ∙ |’ |. Получаем, что € | L’ | . рад.
’ . с
Также по формуле Эйлера определяем скорость точки В:
Так как CP4 = DP4, то скорости точек C и D равны: L˜ L’ € ∙ |’ | € ∙
|˜ | смс .
59
Ответ: € радс , € . радс , L L‚ L’ L˜ смс .
Задача 2.16. Плоскопараллельное движение твердого тела В некоторый момент времени движущийся плоский механизм находится в поло-
жении, показанном на рисунке. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью € радс . Длина звена ОА = AD = 50 см. Размер a = 25см. Радиус колеса R = 20 см.
Определить угловые скорости звеньев AD , ВС и колеса D, скорость ползуна С, а также скорости точек A, D, Е и F.
Решение:
1.Механизм состоит из пяти тел: звеньев ОА, BC, AD и ползуна C и колеса D. Пронумеруем их и рассмотрим их движение.
2.Звено 1 (элемент ОА). Движение вращательное.
Центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть P1=0. Угловая скорость задана, то есть € € радс .
Определяем скорость точки А.
|
2a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
F |
|
B |
O |
ϕ1 |
30° |
30° |
|||
|
D |
|
|
ω1 |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
2a |
C |
Рис.2.21
Скорость (!L направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА. Ее модуль определяется по формуле Эйлера: L € ∙ |”| ∙ см.
Скорость (!L‚ также направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезкус ОА. Ее модуль равен: L‚ € ∙ |”‚| ∙ смс .