6200
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А. Я Лахов
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие
по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» для обучающихся по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии,
направленность (профиль) Информационные системы и технологии
Нижний Новгород
2022
0
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
А. Я Лахов
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие
по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» для обучающихся по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии,
направленность (профиль) Информационные системы и технологии
Нижний Новгород ННГАСУ
2022
1
УДК 681.3 (075)
Лахов, А. Я А. Вычислительная математика : учебно-методическое пособие / А. Я. Лахов, Нижегородский государственный архитектурно-
строительный университет. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2022. – 33 с. : ил. – Текст : электронный.
В методических указаниях представлены задания и пояснения к выполнению лабораторных работ, охватывающих основные разделы численных методов и алгоритмов решения задач в рамках курса «Вычислительнаяматематика».
Предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине «Вычислительная математика» по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии, направленность (профиль) Информационные системы и технологии.
А. Я. Лахов, 2022ННГАСУ. 2022.
2
Введение
Настоящие методические указания ориентированы на работу в сетях персональных ЭВМ под управлением операционной системы Windows с использованием языка программирования Visual Basic и офисных приложений.
Вметодических указаниях содержатся задания по основным темам курса «Вычислительная математика», а также методические указания к их выполнению.
Задания по каждой лабораторной работе направлены на закрепление теоретического материала и приобретения навыков использования методов вычислительной математики для практических целей. Поэтому они содержат перечень практических заданий и теоретических вопросов.
Взависимости от выбранного уровня исполнения студент может все вычисления проводить на основе готовых алгоритмов и программ (см. [1]), а также использовать собственные программные разработки на основе консольных приложений среды Visual Basic (см. [2]). Параллельность изучения курсов «Информатика», «Технологии обработки информации» и «Вычислительная математика» позволяет студенту дополнить исследование математических моделей на основе офисного приложения MS EXCEL.
Используемый теоретический материал изложен в книге [1]. При этом в заданиях даются постраничные ссылки на соответствующие разделы книги, что облегчает работу студента и приучает его к самостоятельной работе с учебником и научной литературой.
3
Требования к выполнению работ
При подготовке к лабораторной работе студенту необходимо изучить соответствующие разделы лекционного курса. В ходе выполнения каждой лабораторной работы студент должен подготовить письменный отчет, включающий:
номер, тему и цель лабораторной работы;
перечень заданий работы;
входные и выходные данные для каждого задания;
блок-схему программы;
текст программы;
таблицу и графики с результатами вычислений;
общие выводы по результатам лабораторной работы.
4
Лабораторная работа №1
Тема: Решение нелинейных уравнений
Задание: Найти корень нелинейного уравнения f(x) = 0 на отрезке [а, b]
(с заданной точностью ) двумя методами:
1.Методом половинного деления (бисекций) (см. [1] стр. 37-40);
2.Методом итераций (см. [1] стр. 40-46).
Значения для конкретных вариантов представлены в таблице 1 заданий к расчѐтным работам.
Порядок выполнения работы
1. Отделить корни заданного уравнения графически (вручную или в
Excel).График представить в отчѐте. Рекомендуется в качестве отрезка,
содержащего отделенный корень, выбрать интервал монотонного изменения функции f(x).
2.Уточнить корень на отделѐнном отрезке методом половинного деления при = 0.01; 0.001; 0.0001:
a)Выполнить расчѐты вручную;
b)Решить задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу
2, стр. 39);
c)Результаты занести в отчетную таблицу 1.
3.Уточнить корень на выделенном отрезке методом итераций при = 0.01; 0.001; 0.0001:
a)Преобразовать уравнение к нормальному виду;
b)Проверить условие сходимости итерационного процесса;
c)Выполнить расчѐты вручную;
d)Решить задачу на ПК с помощью программы(см. [1] программу
3, стр. 46);
5
Результаты занести в отчетную таблицу 1.
Таблица 1
Метод |
|
Корень x* |
Значение функции в |
Число |
|
корне f(x*) |
итераций |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0,01 |
|
|
|
|
МПД |
|
|
|
|
|
0,001 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0,0001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,01 |
|
|
|
|
МИ |
|
|
|
|
|
0,001 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0,0001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Правильность полученных результатов проверить в табличном процессоре Excel, используя надстройку «Подбор параметра».
5.Сделать вывод об эффективности использованных методов решения задачи. В качестве критерия сравнения методов использовать число итераций при заданной точности.
Контрольные вопросы
1.Запишите нелинейное уравнение в общем виде (см. [1] стр.30).
2.Запишите данное нелинейное уравнение в нормальном виде (см. [1]
стр.40).
3. Как перейти от общего вида уравнения к уравнению в нормальном
виде?
4. По какой формуле можно определить число шагов, необходимых для достижения требуемой точности вычислений по методу половинного деления
(см. [1] стр. 38)?
5. Какая итерационная формула используется для метода простых итераций (см. [1] стр. 40)?
6. Сформулируйте достаточные условия сходимости метода простой итерации. (см. [1] стр. 43).
6
Лабораторная работа №2
Тема: Точные методы решения систем линейных уравнений
Задание: Решить систему линейных уравнений
a |
11 |
x a |
|
x a x b |
||||
|
1 |
12 |
2 |
13 |
3 |
1 |
||
a21 x1 |
a22 x2 |
a23 x3 b2 |
||||||
a |
|
x |
a |
32 |
x a x b |
|||
|
31 |
1 |
|
2 |
33 |
3 |
3 |
Значения коэффициентов и свободных членов взять в соответствии со своим вариантом из таблицы 2 заданий к расчѐтным работам.
Порядок выполнения работы
1. Решить вручную систему уравнений методами Гаусса и Крамера.
Результаты занести в таблицу 2.
Таблица 2
|
Ручной счѐт |
|
||
Неизвестные |
|
|
Решение на ПК |
|
Метод Гаусса |
Метод Крамера |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
|
|
|
|
X3 |
|
|
|
2. Решить ту же задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу 5
на стр. 76). Результаты поместить в отчетную таблицу 2.
3.Сделать письменное заключение о близости полученных решений.
4.Правильность полученных результатов проверить в табличном процессоре Excel, используя надстройку «Поиск решения».
7
Контрольные вопросы
1.К классу точных или итерационных методов принадлежит метод Гаусса (см. [1] стр. 66)?
2.Сделайте сравнение эффективности метода Гаусса с методом решения системы линейных уравнений по формулам Крамера (см. [1] стр.77-78).
3.Укажите, сколько требуется выполнить операций умножения и деления по каждому из этих методов для Вашей системы уравнений (см. [1] стр. 77-78)?
4.Каковы пределы применимости метода Гаусса? Отчего они зависят (см. [1] стр. 78-79)?
Лабораторная работа № 3
Тема: Итерационные методы решения систем линейных уравнений
Задание: Решить систему уравнений, заданную в расчѐтной работе №2,
двумя методами:
1.Методом простой итерации;
2.Методом Зейделя.
Порядок выполнения работы
1.Проверить для заданной системы уравнений условие сходимости итерационного процесса.
2.Решить вручную систему уравнений методом простой итерации с точностью =0.1(описание метода см. [1] на стр. 79-87). Результаты занести в таблицу 3, где k – число приближений.
Таблица 3 - Результаты метода итерации
Неизвестные |
Ручной |
|
Решение на ПК |
|
|
|
|
|
|
|
|
счѐт |
= 0,1 |
= 0,01 |
|
= 0,0001 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
X1 |
|
|
|
|
|
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X3 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Решить ту же задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу 6 на стр. 86) при различных значениях . Результаты поместить в отчетную
8
таблицу 3.
4. Решить вручную систему уравнений методом Зейделя с точностью
=0.1(описание метода см. на стр. 87-91). Результаты занести в таблицу 4. Таблица 4 - Результаты метода Зейделя
Неизвестные |
Ручной |
|
Решение на ПК |
|
|
|
|
|
|
|
|
счѐт |
= 0,1 |
= 0,01 |
|
= 0,0001 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
X1 |
|
|
|
|
|
X2 |
|
|
|
|
|
X3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Решить ту же задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу
7 на стр. 88) при различных значениях . Результаты поместить в отчетную
таблицу 4.
6. Заполнить сравнительную таблицу 5 для итерационных методов, куда записать число приближений, понадобившихся для достижения заданной
точности.
Таблица 5 - Числа приближений для достижения заданной точности
|
= 0,1 |
= 0,01 |
= 0,0001 |
|
|
|
|
Метод простой |
|
|
|
итерации |
|
|
|
|
|
|
|
Метод Зейделя |
|
|
|
|
|
|
|
7. Сравнить результаты решения заданной системы точным и приближѐнными методами, заполнив отчетную таблицу 6 (для приближѐнных методов взять значения при = 0.0001).
Таблица 6
|
Метод Гаусса |
Метод итерации |
Метод Зейделя |
|
|
|
|
X1 |
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
|
|
|
X3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
8. Рассчитать абсолютную погрешность( ) вычисления корней приближѐнными методами по сравнению с точными методами. В отчетную
таблицу 6 занести наибольшее значение среди абсолютных погрешностей
9