6388

30

Решение. Подставив в уравнение прямой 3x − y +1 = 0 координаты точки M 0 , то есть x 0 = 1 и y 0 = 2 вместо x и y , получаем: 3 ×1 - 2 + 1 = 3 - 1 = 2 ¹ 0 .

Следовательно, точка M 0 не лежит на данной прямой l .

Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной систе- ме координат разные виды ее уравнений.

Пусть на плоскости задана некоторая прямая l и декартова система координат.

1.Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендику- лярно данному вектору

Положение прямой l на плоскости однозначно определено, если задана неко-

M 0 M = {x − x0 ; y − y0 } (см. рис. 1). Так как векторы n и M 0 M перпендикулярны,

Уравнение (1) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Отметим, что вектор перпендикулярный данной прямой называется нормаль-

ным вектором этой прямой или вектором нормали.

31

2. Общее уравнение прямой

Если в уравнении (1) раскрыть скобки и обозначить C = − Ax 0 − By 0 , то полу-

чим общее уравнение прямой:

Пример 2. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2 ) и

перпендикулярной вектору PQ , если P (0;1) и Q (- 1; 2 ).

Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося вектором нормали

Исследование общего уравнения прямой:

Выясним особенности расположения прямой по отношению к осям координат в зависимости от равенства (или неравенства) нулю тех или иных из чисел

A, B, C.

1) При A = 0 , B ¹ 0 , C ¹ 0 уравнение (2) примет вид: By + C = 0 или y = − C .

B

Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси Ox и проходящей через

y

l

−C >0 B

0

Рис. 2

32

Пример 3. Построить прямую l : 3 y + 6 = 0 .

Решение. Уравнение прямой l является общим уравнением прямой на плоско- сти A = 0 , B = 3, C = 6 , параллельной оси Ox и проходящей через точку (0;−2)

(См. рис. 3).

y

Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси Oy и проходящей через

точку − C ; 0 . (См. рис. 4)

A

y

3. Уравнение прямой в отрезках

Из (2) следует Ax + By = −С и далее, предполагая, что C ¹ 0 (т.е. прямая не про-

ходит через начало координат) и, разделив обе части этого уравнения на - C , получим уравнение

33

в котором a = − C и b = − C величины отрезков, которые прямая «отрезает» от

A A

осей координат (См. рис. 5).

y

l

Рис. 5

Пример 4. Записать уравнение прямой l : 2 x − 3 y − 6 = 0 в отрезках и постро-

ить её.

Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида (3).

отсекающей от осей координат равные отрезки.

34

Решение. Пусть уравнение искомой прямой l имеет вид (3). Так как a = b по

Пусть на плоскости Oxy задана произвольная прямая, не параллельная оси Oy. Её положение однозначно определяется ординатой b точки N(0; b) пересечения с осью Oy и углом α между осью Ox и прямой (см. рис. 4).

Под углом α наклона прямой понимается наименьший угол,

на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ox про- тив часовой стрелки ось Ox до ее совпадения с прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку M ( x, y) (см. рис. 7). Проведем через точку N прямую параллельную оси Ox. Полученная точка P имеет коор- динаты x и y − b ,

y

l

Рис.7

а угол между прямой NP и прямой l равен α. Из прямоугольного треугольника

35

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Число k = tgα называется угловым коэффициентом прямой.

Пример 6. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b = −3 и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол α = π .

5.Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Рис.8

Тогда уравнение этой прямой можно записать в виде: l : y = kx + b , где b – по-

Пример 7. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (4; −5) и образующей с положительным направлением оси Ox угол 45 O .

36

Решение. По условию задачи x0 = 4, y0 = −5. Найдем угловой коэффициент k = tg 45O =1. Подставив эти значения в уравнение (5) получим: y + 5 = ( x − 4) или

x − y − 9 = 0 .

6. Каноническое уравнение прямой

Положение прямой на плоскости однозначно определено также и в том случае,

Полученное уравнение называется каноническим уравнением прямой на плос- кости.

В частности, если одна из координат направляющего вектора равна нулю,

например, R{m, 0}, то получаем уравнение прямой y = y0 . p

37

Пример 8. Даны вершины треугольника: A(−1; 2), B(3; −1) и C(0; 4). Составить уравнение прямой l , проходящей через вершину А треугольника и параллель- ную стороне ВС.

Решение. Так ка по условию задачи прямая l параллельна стороне BC, значит вектор BC является направляющим вектором этой прямой. Найдем координа-

Положение прямой на плоскости однозначно определено в том случае, если из- вестны две точки M1 (x1 , y1 ) и M 2 (x2 , y2 ) , через которые проходит прямая.

y

M 2

M1

Нетрудно понять, что вектор M 1M 2 = {x2 − x1 ; y2 − y1 } можно считать направля-

ющим вектором данной прямой. Отсюда, используя уравнение (6), получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пример 9. Составить уравнение прямой l , проходящей через точки M 1 (1; 2 ) и

M 2 (− 1; 3 ).

38

ет» всю прямую l . Очевидно, что точке M 0 ( x0 , y0 ) соответствует значение па-

раметра t = 0 .

Пример 10. Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через

точку M (1; 2 ) параллельно вектору R {− 3; 5}.

a

Решение. Подставляя в уравнение (8) координаты вектора a и точки M , полу-

чаем искомое параметрическое уравнение x = 1 - 3t .

= +

y 2 5t