6388

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

| Ax0 + By0 +C |

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

779.95 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

							40
- 3 -			1		-	7
- 3 -					-			= 7 , откуда ϕ = arctg 7 .
tgϕ =		2		=	2
tgϕ =		× (- 3)		=
1 +	1				-	1
1 +					-
2					2

Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая часть формулы (9) берется по модулю, то есть

tgϕ =	k2	- k1	.
	1 + k1 × k2

Если прямые l1 : y = k1 x + b1 ; l2 : y = k2 x + b2 параллельны, то ϕ = 0 и tgϕ = 0 , следовательно, из формулы (9) получаем, что k2 − k1 = 0 , то есть k2 = k1 . И

обратно, если прямые l1 и l2 таковы, что k1 = k2 , значит tgϕ = 0 , то есть пря-

мые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых яв-

ляется равенство их угловых коэффициентов.

Если прямые l1	и l2	перпендикулярны, то ϕ = π , значит ctgϕ =	1+ k1 ×k2	= 0, отку-
		2	k2 −k1
да 1 + k1 × k 2 = 0	т.е.	k1 ×k2 =-1. Справедливо и обратное утверждение. Таким об-

разом, условием перпендикулярности прямых является равенство k1 ×k2 =-1.

Пример 11. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M (1; 2) и


перпендикулярной прямой L : 3x + 2 y −5 = 0 .
Решение. Перепишем общее уравнение прямой L в виде уравнения прямой с
угловым коэффициентом kL :
L : 3x + 2 y −5 = 0 , 2 y = −3x + 5 , y = −							3	x +		5	, значит kL = -			3	.
														3

2									2				2
Прямые l и L перпендикулярны по условию, значит kl													× kL = -1, следовательно,
kl = −	1	=	2	. Подставляя в уравнение (5) kl					=		2	, x0 =1,	y0 = 2 находим искомое


	kL 3								3
уравнение прямой l : y - 2 =					2	(x -1) или			l : 3 y − 6 = 2x − 2, следовательно,
уравнение прямой l : y - 2 =						(x -1) или			l : 3 y − 6 = 2x − 2, следовательно,
3

l :2x−3y+4=0.

			41
2). Пусть теперь прямые	l1	и l 2	заданы общими уравнениями
A1 x + B1 y + C1 = 0 ,			A2 x + B2 y + C 2 = 0 .
Сведём вычисление угла	α	между прямыми к вычислению угла ϕ между

нормальными векторами к этим прямым. Заметим, что угол между прямыми может быть только острым, а угол между векторами может быть и тупым. По-

ϕ			n ={A , B }			n ={A ,B }
этому, если угол между векторами			R		и	R		острый, то
этому, если угол между векторами			1	1 1	и	2	2 2	острый, то
α=ϕ (см. рис.12).
	y			l2
		ϕ	n1	α
				α
						l1
						l1

	n2

Рис. 12

Если же угол ϕ между нормальными векторами тупой, то α =π −ϕ (см.

рис. 13).

α l1

Рис. 13

Поскольку

cos α = −cos ϕ , то

cos α =| cos ϕ | . Таким образом для вычисления

угла между прямыми получаем формулу

cosα =

A1 A2 + B1 B2

(10)

+ B 2

В частности:

l1 l2 A1 A2 + B1 B2

= 0 ;

последнем

случае,

если

дополнительно

выполняется

равенство

A1 = B1 = C1

, то эти прямые совпадают.

Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы прямая l уравнением Ax + By + C = 0 и точка

M 0 (x0, y0 )

(см. рис. 14). Требуется найти расстояние от точки M 0

до прямой l .

Расстояние d от точки M 0

до прямой l равно модулю проекции вектора M 1 M 0 ,

где

M 1 - произвольная точка прямой l , на направление нормального вектора

n{A; B}. Следовательно,

Рис. 14

_______

R ______

n×M1M

A(x0 - x1 ) + B( y0 - y1 ) |

| Ax0 + By0 - Ax1 -By1 |

d =| прnR M1M 0 |=

A2 + B 2

| n |

Так как точка M1

принадлежит прямой l , то Ax1 + By1 + C = 0, т.е. С = −Ax1 − By1 .

Поэтому

что и требовалось получить.

Пример 12. Найти расстояние от точки Решение. По формуле (11) получаем

M 0 (2, −1) до прямой 3x + 4 y − 22 = 0.

d = \| 3 × 2 + 4 × (-1) - 22 \| = 20 = 4.
9 +16	5

Задания для самостоятельной работы:

1.	Построить прямые:
	1) 2 x + 3 y − 6 = 0 ; 2) 4 x − 3 y + 24 = 0 ; 3) 3x − 5 y − 2 = 0 ;
	4) 5 x + 2 y −1 = 0 ; 5) 2 x + 5 y = 10 ; 6) 3 x + 4 y = 0 ; 7) 5 x − 2 = 0 ;
	8) 2 y + 5 = 0 ; 9) − 2 x = 0 .
2.	Составить уравнение прямой, отсекающей на оси OY	отрезок b = 3 и
	образующей с положительным направлением оси OX угол α = 300 .
3.	Уравнения прямых привести к виду в отрезках на осях. Прямые построить.
	1) 2 x + 3 y = 6 ; 2) 3 x − 2 y = 4 ; 3) 3 y − 4 x = 12 ; 4)	y = 6 − 4 x .

4.Составить уравнение прямой, отсекающей на оси OX отрезок длиной

3 ед., а на оси OY отрезок длиной 4ед. Выполнить построение.

5.Написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и через точку (− 2 ; 3 ). Прямую построить.

6.Даны точки O (0; 0 ) и A (− 3; 0 ) . На отрезке OA построен параллелограмм,

диагонали которого пересекаются в точке B (0 ; 2 ). Написать уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.

7. Прямые y = −2	и y = 4 пересекают прямую 3 x − 4 y − 5 = 0 соответственно

в точках A и	B . Построить вектор AB , определить его длину и проекции

на оси координат.

44
8. Прямые x = −1 и x = 3 пересекают прямую	y = 2 x + 1	соответственно в

точках A и B . Определить длину вектора	AB и его	проекции на оси
координат.

9.Изобразить геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:

1) y < 2 - x ,

x > -2 , y > -2 ;

y > 2 - x , x < 4 ,

y < 0 ;

3) x / 4 + y / 2 £ 1 ,

y ³ x + 2 , x ³ -4 ;

4) - 2 - x < y < 2 + x , - 2 < x < 4 .

10.

Найти точку пересечения двух прямых 3 x - 4 y - 29 = 0 ,

2 x + 5 y + 19 = 0

11.

Стороны треугольника

ABC

заданы, соответственно,

уравнениями

AB :

4 x + 3 y − 5 = 0 , BC : x − 3 y + 10 = 0 ,

AC : x - 2 = 0 .

Определить координаты

его вершин.

12.

Дана

прямая

2 x + 3 y + 4 = 0 .

Составить

уравнение

прямой, которая

проходит через точку M ( 2 ; 1 ):

1) параллельно данной прямой;

перпендикулярно к данной прямой.

13.

Составить уравнения прямых,

проходящих через вершины

треугольника

A (5 ; − 4 ),

B ( − 1 ; 3 )

C ( − 3 ; − 2 )

параллельно

противоположным

сторонам.

14.Точка движется по прямой параллельной данной

и в некоторый

момент

времени

проходит

точку

A(−1, 8) .

Найти

уравнение

прямой,

по

которой движется точка.

15.

Даны середины сторон треугольника M 1 ( 2 ; 1 ),

M 2 (5 ; 3 ),

M 3 (3 ; − 4 ).

Составить уравнения его сторон.

16.

Даны вершины треугольника

A (2 ; 1 ),

B ( − 1; − 1 ),

C (3 ; 2 ). Составить

уравнения его высот.

					45
17.	Даны вершины треугольника				A (1 ; − 1 ),		B ( − 2 ; 1 ) и C (3 ; 5 ).				Составить
	уравнение перпендикуляра, опущенного из							вершины A		на	медиану,
	проведенную из вершины B .
18.	Даны	уравнения		двух	сторон		прямоугольника			5 x + 2 y − 7 = 0 ,
	5 x + 2 y − 36 = 0 и уравнение одной из его диагоналей 3x + 7 y −10 = 0 .
Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника и второй
	диагонали.
19.	Необходимо восстановить границы квадратного участка земли по трем
	сохранившимся столбам: одному в центре участка и по одному – на двух
	противоположных границах. Составить уравнения прямых, которые
	отображают границы участка на плоскости, если на плане координаты
	столбов: М(1, 6) – в центре, А(5, 9), В(3, 0) – на сторонах.
20.	Даны	уравнения		двух	сторон		прямоугольника			2 x − 3 y + 5 = 0 ,
	3 x + 2 y − 7 = 0		и одна из его вершин			A ( 2 ; − 3 ). Составить уравнения двух
	других сторон этого прямоугольника и его диагоналей.
21.	Найти проекцию точки M (− 6 ; 4 ) на прямую 4 x − 5 y + 3 = 0 .
22.	Найти	координаты		точки	Q ,	симметричной			точке	P ( − 5 ; 13 )
	относительно прямой 2 x − 3 y − 3 = 0 .
23.	Составить уравнение прямой, проходящей							через	точку P (3 ; 5 ) на
	одинаковых расстояниях от точек A ( − 7 ; 3 ) и							B (11 ; − 15 ) .
24.	Найти	проекцию точки P ( − 8 ; 12 )				на прямую, проходящую через точки
	A ( 2 ; − 3 ) и		B ( − 5 ; 1 ).
25.	Найти точку		M1, симметричную точке				M 2 (5 ; 3 ) относительно прямой,
	проходящей через точки A (3 ; 4 ) и					B ( − 1 ; − 2 ).

26. Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны.

1)	3 x − y + 5 = 0 , x + 3 y − 1 = 0 ;	2) 3 x − 4 y + 1 = 0 , 4 x − 3 y + 7 = 0 ;
3)	6 x − 15 y + 7 = 0 , 10 x + 4 y − 3 = 0 ;	4) 9 x − 12 y + 5 = 0 , 8 x + 6 y − 13 = 0 .

27.	Определить, при каких значениях a и b две прямые			ax − 2 y − 1 = 0	и
	6 x − 4 y − b = 0 :
	1) имеют одну общую точку;	2) параллельны;	3) совпадают.
28.	Определить, при каком значении a три прямые 2 x − y + 3 = 0 , x + y + 3 = 0 ,
	ax + y − 13 = 0 будут пересекаться в одной точке.
29.	Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой			3 x − 4 y − 12 = 0	от
	координатного угла.

30.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P (8 ; 6 ) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв.ед.

31.Точка A (2 ; − 5 ) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x − 2 y − 7 = 0 . Вычислить площадь этого квадрата.

32.	Даны уравнения		двух		сторон	прямоугольника	3 x − 2 y − 5 = 0 ,
	2 x + 3 y + 7 = 0 и одна из его вершин					A ( − 2 ; 1 ). Вычислить площадь этого
	прямоугольника.
33.	Доказать,	что прямая		2 x + y + 3 = 0		пересекает отрезок,	ограниченный
	точками	M 1 ( − 5 ; 1 ),	M 2 (3 ; 7 ).
34.	Доказать,	что прямая 2 x − 3 y + 6 = 0				не пересекает отрезок, ограниченный
	точками	M 1 ( − 2 ; − 3 ),		M 2 (1 ; − 2 ).
35.	Вычислить расстояние			d	между параллельными прямыми в каждом из
	следующих случаев:
1) 3 x − 4 y − 10 = 0 , 6 x − 8 y + 5 = 0 ; 2) 5 x − 12 y + 26 = 0 , 5 x − 12 y − 13 = 0 ;

3) 4 x − 3 y + 15 = 0 , 8 x − 6 y + 25 = 0 ; 4) 24 x − 10 y + 39 = 0 , 12 x − 5 y − 26 = 0 .

36.	Доказать, что прямая 5 x − 2 y − 1 = 0 параллельна прямым 5 x − 2 y + 7 = 0 и
	5 x − 2 y − 9 = 0 и делит расстояние между ними пополам.
37.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения
прямых 3 x − 2 y + 5 = 0 , 4 x + 3 y − 1 = 0 и отсекающей на оси		ординат
отрезок b = −3 .
38.	Составить уравнение прямой, которая проходит через	точку

	47
пересечения прямых 2 x + y − 2 = 0 ,	x − 5 y − 23 = 0 и делит пополам отрезок,
ограниченный точками M (5 ; − 6 )	и N (− 1 ; − 4 ).

§ 2. Линии второго порядка на плоскости

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(1)

Коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из чисел A, B или C отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кри-

выми) второго порядка. Уравнение (1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

Окружность

Окружностью радиуса R c центром в точке M 0 называется множество всех то-

чек M плоскости, удовлетворяющих условию M 0 M = R . Пусть точка M 0 в

прямоугольной системе координат Oxy имеет координаты x0 , y0 а M ( x, y) -

произвольная точка окружности (см. рис. 1).

y M

M 0 ∙

Рис.

Тогда из условия M 0 M = R получаем уравнение

(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = R,

то есть

48
(x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = R 2 ,	(2)
Уравнению (2) удовлетворяют координаты любой точки M (x, y)	данной окруж-

ности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружно- сти.

Уравнение (2) называется каноническим уравнением окружности.

В частности, полагая x0 = 0, и y0 = 0 , получим уравнение окружности с центром в начале координат x 2 + y 2 = R 2 .

Уравнение окружности (2) после несложных преобразований примет вид x 2 + y 2 − 2x0 x − 2 y0 y + x02 + y02 − R 2 = 0 .

При сравнении этого уравнения с общим уравнением (1) кривой второго поряд- ка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1)коэффициенты при x 2 и y 2 равны между собой,

2)отсутствует член, содержащий произведение xy текущих координат.

Пример. Показать, что уравнение x2 + y 2 −8x + 2 y + 8 = 0 задает окружность.

Найти ее центр и радиус.

Решение. Т.к. B = 0 , A = C =1 – это окружность. Выделим полные квадраты x2 −8x +16 −16 + y 2 + 2 y +1 −1 + 8 = 0

(x − 4)2 −16 + (y +1)2 −1 + 8 = 0

(x − 4)2 + (y +1)2 = 9.

Получили уравнение окружности с центром в т. C(4,−1) и радиусом R = 3 .

Задания для самостоятельной работы:

1.Дана точка A(− 4 ; 6 ). Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок OA.

2.Написать уравнение окружности, касающейся осей координат и

проходящей через точку A(2 ; 1 ).

3.Составить уравнение окружности зная, что точки A (3 ; 2 ) и являются концами одного из её диаметров.

4.Написать уравнение окружности, проходящей через точки

B(0 ; 2) и C (1; −1).

B (−1; 6 )

A(−1;3),

5.Определить область расположения кривой y = −− x 2 − 4x . Построить кривую.

6.Написать уравнение окружности, проходящей через точки пересечения

	окружности x 2 + y 2 + 4x − 4 y = 0		с прямой	y = −x	и через точку
	A (4 ; 4 ).
7.	Составить уравнение	окружности,	зная, что она касается оси OY в
	начале координат и пересекает ось		OX в точке	(6 ; 0 ).
8.	Построить кривые:
	1) x 2 + y 2 − 4x + 6 y − 3 = 0 ;		2) x 2 + y 2 − 2x + 4 y + 5 = 0 ;
	2) 3) x 2 + y 2 − 8x = 0 ;		4) x 2 + y 2 + 4 y = 0 ;
	5) x 2 + y 2 −8x + 6 y = 0 ;		6) x 2 + y 2 − 2 x + 2 = 0 .
9.	Показать, что точка	A (3; 0 ) лежит внутри		окружности
	x 2 + y 2 − 4x + 2 y +1 = 0 , и написать уравнение хорды, делящейся в точке
	A пополам.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023779.05 Кб06383.pdf
#
21.11.2023779.07 Кб06384.pdf
#
21.11.2023779.25 Кб06385.pdf
#
21.11.2023779.26 Кб06386.pdf
#
21.11.2023779.36 Кб06387.pdf
#
21.11.2023779.95 Кб16388.pdf
#
21.11.2023780.03 Кб06389.pdf
#
21.11.2023138.34 Кб0639.pdf
#
21.11.2023780.17 Кб06390.pdf
#
21.11.2023781.09 Кб06391.pdf
#
21.11.2023781.21 Кб06392.pdf