6762

60

x = − π + πk

, k Z. 12.1. x = − π + πk , k Z; 12.2. x =

5π

+ πk ,

k Z; 12.3.

8

2

4

2

36

3

x =

8π

+ πk ,

k Z;

12.4.

x =

3π

+ πk ,

k Z. 13.1.

x = πk, x = (−1)k+1 π + πk ,

15

28

6

k Z;

13.2.

x = (−1)k+1 arcsin

1

+ πk,

k Z;

13.3.

x = π + πk, x = ± π + 2πk ,

3

2

3

k Z;

13.4.

x = ±arccos

1

+ 2πk ,

k Z.

14.1.

Нет

решений;

14.2.

3

+ πk ,

x = (−1)k arcsin

39

− 3

k Z.

15.1.

x = πk, x = −arctg3+πk ,

k Z;

4

15.2.x = − π + πk, x = arctg1,5+πk ,

k Z;

15.3.

x = −arctg4 + πk,

4

x = arctg3+πk,

k Z; 15.4. x = π + πk

, k Z. 16.1. x =

1

arctg

3

+ πk ,

k Z;

4

2

2

16.2. x = −

1

arctg

5

+ πk , k Z. 17.1. x = 2arctg

4

+ πk, x = 2arctg

1

+ πk ,

k Z;

3

4

3

3

3

17.2. нет решений. 18.1. x = πk, x = π + πk ,

k Z; 18.2. x = πk ,

k Z; 18.3.

8

4

2

x = πk, x = πk ,

x = π + πk

,

k Z;

18.4.

x = πk , x = πk ,

x = π + πk ,

k Z.

4

6

3

2

5

6

3

19.1. − π + 2πk ≤ x ≤

4π

+ 2πk , k Z;

19.2.

−

5π

+ 2πk < x < π + 2πk ,

k Z;

3

3

4

4

19.3. π + 2πk ≤ x ≤

11π

+ 2πk ,

k Z; 19.4. −

3π

+ 2πk < x <

3π

+ 2πk , k Z. 20.

6

6

4

4

ctg2α

− 4sin2α . 23.1.

; 23.2. 2sin2α .

24.1.

2

; 24.2.

1

;

24.3.

3

; 24.4.

1

;

cosα

2

2

2

2

2

x = π + πk, x = −arctg

1

+πk ,

k Z. 26.2. x = π + πk, x = arctg

1

+ πk , k Z.

4

3

4

2

27.1.x = −π + πk, x = arctg

3

+ πk , k Z; 27.2. x = arctg

1

+ πk,

4

2

2

61

x = −arctg2 + πk,

k Z; 28.1. x = π + πk ,

k Z; 28.2. x = π + πk ,

k Z. 29.1.

4

4

x = π + πk, x = ± π + 2πk , k Z;

29.2.

x = πk, x = ± π + 2πk ,

k Z.

30.1.

2

3

4

x = π + πk ,k Z

30.2.

x = (−1)k

π

+ πk ,

k Z.

31.1.

8

2

12

2

x = π + πk, x = (−1)k π + πk, x = (−1)k+1 π + πk ,

k Z; 31.2. x = πk, x = ± π + πk,

2

6

6

3

k Z;

31.3.

x = −π + πk ,

x =

1

arctg2 + πk ,

k Z;

31.4.

8

2

2

2

x = π + 2πk, x = −

π

+

2πk

,

k Z; 32.1. x = ±

π

+ πk ,

k Z; 32.2. x = πk ,

2

22

11

12

2

k Z;

32.3.

x =

3π

+ 2πk, x = (−1)k+1 arcsin

1

+πk ,

k Z;

32.4.

2

6

x = π + πk, x = ±

2π

+ 2πk ,

k Z; 32.5.

x = πk, x = (−1)k π + πk,

k Z;

32.6.

2

3

6

x = π + πk, x = (−1)k π + πk,

k Z. 33.1.

x = πk −

3π

,

x = πk −

3π

,

k Z; 33.2.

2

6

4

32

3

24

x = πk ,

x = ±

2π

+ 2πk , k Z; 33.3.

x = πk, x = 2πk, x =

2πk

,

k Z;

33.4.

2

3

5

x = 2πk, x = π +

2πk

, k Z.

5

5

y = sin x и y = cosx. Область определения (Df) функций y = sin x

и y = cosx –

множество R всех действительных чисел.

Известно,

что sin x

и cos x

изменяются в пределах отрезка

[−1;1]. Множество значений

(Ef)

функций

y = sin x и y = cosx является отрезок −1≤ y ≤ 1.

Задача 1. Найти область определения функции y =

1

.

sin x + cosx

Решение. Выражение

1

имеет

смысл при sin x

+ cosx ≠ 0или

sin x + cosx

tgx ≠ −1, x ≠ − π + πk ,k Z. Следовательно,

областью

определения

данной

4

Область определения функции y = tgx

– множество чисел

Задача 4. Найти область определения функции y = sin3x + tg2x .

Решение. Выясним, при каких значениях х выражение

y = sin3x + tg2x

имеет смысл. Выражение

sin3x имеет

смысл

при

любом

значении

х, а

выражение tg2x – при

2x ≠ π + πk ,

k Z,

т.е.

при x ≠ π + πk ,

k Z.

2

4

2

Задача 5. Найти множество значений функции y = 3sin x + 4cosx.

Решение.

Нужно

выяснить, при каких значениях y

уравнение

y = 3sin x + 4cosx

имеет

корни. Разделим

выражение y = 3sin x + 4cosx

на

y

3

4

π

2

2

3

+ 4

= 5

:

=

sin x +

cosx . Найдётся

такой угол α 0 <α

<

,

что

5

5

5

2

2

α + cos

2

α =

4

2 3

2

y

sin

+

и

= cosα sin x + sinα cosx , получаем, используя

5

5

5

5.1. y =

1

;

5.2.

y =

2

;

2sin2 x − sin x

cos2 x − sin2 x

5.3. y =

1

;

5.4.

y =

1

.

sin x − sin 3x

cos3

x + cos x

6. Найти множество значений функции

6.1. y = sin2 x − cos2x;

6.2. y =1−8sin2 xcos2 x;

6.3. y =

1+ 8cos2 x

;

6.4. y =10−9sin2 3x;

4

6.5. y =1− 2

cosx

;

6.6.

+

π

y = sin x + sin x

.

3

Ответы. 1.1. x R ; 1.2. x R ; 1.3.

x ≠ 0 ; 1.4.

x ≠ 0 ;

1.5.

x ≥ 0;

1.6.

x < −1, x ≥1. 2.1. 0 ≤ y ≤ 2; 2.2.

0 ≤ y ≤ 2; 2.3. 0 ≤ y ≤ 2;

2.4. − 3 ≤ y ≤ 5;

2.5.

3

≤ y ≤

5

;

2.6.

−

5

≤ y ≤ −

3

.

3.1. x ≠ π + πn , n Z; 3.2. x ≠ πn ,

n Z;

3.3.

2

2

4

4

2

x ≠

3π

+ 3πn , n Z; 3.4. x ≠

π

+ πn ,

n Z. 4.1. x R ; 4.2. x = 2πn,

n Z; 4.3.

2

10

5

− π + 2πn ≤ x ≤ π + 2πn, n Z;

4.4.

−

7π

+ 2πn ≤ x ≤ π + πn ,

n Z;

4.5.

3

3

6

6

2πn < x < π + 2πn, n Z;

4.6. − π + 2πn < x < π + 2πn, n Z. 5.1.

x ≠ πn ,

n Z;

2

2

5.2. x ≠ π + πn ,

n Z; 5.3. x ≠ πn , x ≠ π + πn , n Z;

5.4. x ≠ π + πn,

n Z.

4

2

4

2

2

и – нечётной, если f(− x)= −f(x) для любых

x из

области определения

функции. Для любого x верны равенства sin(− x)= −sin(x)

и cos(− x)= cos(x).

Следовательно, y = sin x – нечётная функция, а

y = cosx

– чётная функция.

Для любого значения x из области определения функций

y = tgx

и y = ctgx

верны равенства ctg(− x)= −ctg(x), tg(− x)= −tg(x)

и

y = tgx ,

y = ctgx –

3π

Задача 1. Выяснить, является ли функция

y = 2 + sin x cos

+ x чётной

2

3π

Ответ.

y = 2 + sin x cos

+ x

− чётная функция.

2

n Z .

Для

любых

значений

x

верны

равенства

sin(x + 2π )= sin x ,

cos(x + 2π )= cosx .

Покажем, что число 2π является наименьшим положительным периодом

функции y = cosx.

Пусть T > 0 − период косинуса, т.е. для любого x выполняется равенство

cos(x + T)= cosx. Положив x = 0 , получим

cosT =1. Отсюда T = 2πn, n Z .

Так как T > 0, то T может принимать значения 2π ,4π ,6π ,...

и поэтому период

не может быть меньше 2π .

Можно

показать, что

наименьший положительный

период

функции

y = sin x также равен 2π .

Задача

2. Доказать,

что

f(x)= sin3x − периодическая

функция

с

периодом

2π

.

3

Решение.

Данная

функция

определена для

всех

x R

и

f x +

2π

= sin 3 x +

2π

= sin(3x + 2π )= sin 3x = f (x).

3

3

Ответ. Доказано, что f(x)= sin3x − периодическая функция с периодом

2π

.

3

Функции y = tgx

и y = ctgx

являются периодическими с периодом π .

Или

tg(x + π )= tgx и

ctg(x + π )= ctgx . Область определения

для

функций

функции y = tgx .

Пусть T > 0 −

период тангенса, тогда tg(x + T)= tgx , откуда при

x = 0

получаем tgT = 0 ,

T = πn , где n Z. Наименьшее положительное

n = 1,

Задача 3. Доказать, что f (x)= tg

x

− периодическая функция

с периодом

3

3π .

x + 3π

x

x

x − 3π

x

x

Решение.

tg

= tg

+ π

= tg

,

tg

= tg

−π

= tg

,

3

3

3

3

3

3

1.1. y = cos3x ;

1.2. y = 2sin 4x ;

1.3. y =

x

tg2 x ;

2

1.4. y = x cos

x

;

1.5. y = x sin x ;

1.6. y = 2sin 2 x .

2

2. Проверить на чётность функции

2.1. y = sin x + x ;

2.2.

−

π

− x

2

;

y = cos x

2

2.3.

y =

π

3 − cos

+ x sin(π − x);

2

1

3π

2.4.

y =

cos 2x sin

− 2x + 3;

2

2

3.1. y = cosx −1;

3.2. y = sin x +1;

3.3. y = 3sin x ;

cos x

π

2π

3.4. y =

;

3.5.

y = sin x −

;

3.6.

y = cos x +

.

2

4

3

4.1. y = sin 2x , T = π ;

4.2. y = cos

x

, T = 4π ;

2

4.3. y = tg2x , T = π ;

4.4. y = sin

4x

, T =

5π

.

2

5

2

5. Исследовать функции на чётность

− cos x

cos 2x − x2

1

sin2 x

5.1. y =

;

5.2.

y =

;

5.3. y =

;

+ cos x

1

1+ cos 2x

sin x

5.4. y =

x2 + sin 2x

;

5.5. y = 3cos x ;

5.6. y = x

sin x

sin3 x .

cos x

6.1. y = cos

2

x ;

6.2. y = sin

3

x ;

5

2

6.3. y = tg

x

;

6.4. y =