6822
.pdf
20
Решение:
1. Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями. Распределенные нагрузки заменяем равнодействующими (рис.1.25).
2. Раскладываем наклонные силы на составляющие по осям х и у (рис.1.25). 3. Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей:
Q = q × 4м = 3 |
кН |
× 4м = 12кН |
|||
|
|||||
|
м |
|
|
|
. |
4. Составляем уравнения равновесия. |
|||||
∑Xi = 0 |
X |
A |
- P ×sinα - Q = 0 |
||
|
|
|
|||
∑Yi = 0 |
|
- F - P × cosα = 0 |
|||
R |
YA |
|
|||
∑M A (Fi )= 0 |
M |
A |
- M - F × 4 - Q ×1 - P × cosα × 6 + P ×sinα ×1 = 0 |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
M A |
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
X A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
YA |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
||
|
|
RA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.25 |
|
||||||||
5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
кН, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∙ |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∙ , , кН, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
∙ |
|
|||||||
∙ ∙ ∙ |
∙ ∙ |
|
|||||||||||||||
∙ ∙ ∙ , ∙ ∙ , ∙ , кНм
21
6.Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов относительно произвольной точки С.
∑ Ñ ( i ) |
A |
A |
A |
R |
= M |
- M - X ×3 -Y × 6 + F × 2 + P ×sinα × 4 + Q × 2 = |
|
M F |
|||
= 96.96 - 6 -17 ×3 -16.66 × 6 + 8 × 2 +10 × 0.5 × 4 +12 × 2 = 0.0
Проверка выполняется с удовлетворительной точностью.
Ответ: Реакции равны: кН, , кН, , кНм,
, , кН
.
Задача 1.13. Равновесие произвольной плоской системы сил Дано: F=8кН, Р=5кН, q=4кН/м.
Определить реакции связей.
|
|
|
|
|
|
D |
|
F = 8кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
P = 5кН |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = 4 кН
м
Рис. 1.26
Решение
1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями. Распределенные нагрузки заменяем равнодействующими.
2.Раскладываем наклонные силы на составляющие по осям х и у.
3.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей:
Q = 1 q × 6 м = 1 × 4 кН × 6м = 12кН |
. |
|
2 |
2 м |
|
4. Составляем уравнения равновесия.
|
|
|
22 |
∑ mA = 0 |
-Q × 2 - F ×5 + P cosα ×7 - P sin α ×4 + M A = 0, |
||
|
∑ X = 0 |
|
+ P sin α = 0, |
|
Q + X A |
||
|
∑Y = 0; |
Y - F + P cosα = 0. |
|
|
|
A |
|
5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции, учитывая, что
sin α = 0.6, cosα = 0.8. .
M A = +Q ×2 + F ×5 - P cosα ×7 + P sin α × 4 =
= +12 ×2 + 8 ×5 - 5×0.8×7 + 5×0.6 ×4 = 24 + 40 - 28 +12 = 48кНм,
X A = -Q - P sinα = -12 - 5×0.6 = -15кН (направление противоположное),
YA = +F - P cosα = 8 - 5×0.8 = 4кН.
|
F = 8кН |
P cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
α |
P = 5кН |
|
|
|
|
|
Q |
B |
C |
P sin α |
|
|
||||
|
A |
|
|
|
X A |
M A |
|
|
|
RA |
YA |
|
|
|
Рис. 1.27
6.Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов относительно произвольной точки D.
∑ M D = M A -YA ×3 + X A ×6 + Q × 4 - F × 2 + P cosα × 4 + P sin α × 2 =
=48 - 4 ×3 + (-15)×6 +12 × 4 - 8 × 2 + 5 ×0.8 × 4 + 5 ×0.6 × 2 =
=48 -12 - 90 + 48 -16 +16 + 6 = 0.
Проверка выполняется. Ответ: Реакции равны:
M A = 48кНм, X A = −15кН (направление противоположное), YA = 4кН.
23
1.3 Равновесие плоской системы тел
Задача 1.14. Равновесие системы тел на плоскости Дано: F, q, M.
Определить реакции опор А, D, E и G.
|
F |
|
|
|
|
|
q |
M |
A |
B |
C |
|
D |
E |
|
F |
G |
2a |
a |
a |
a |
|
2a |
a |
a |
a |
Рис. 1.28
Решение:
1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями (рис.1.29).
2.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей: .
M A |
F |
Q = 4qa |
M |
|
|||
|
|
|
|
A B
2a a
R
RA
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
a |
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
RG |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Рис. 1.29
3. Составляем первое дополнительное уравнение, выражающее отсутствие поворота диска FG относительно диска AF (рис.1.30):
n |
|
|
|
|
∑ МFправ = 0, |
−М + RG a = 0, |
|||
i=1 |
|
|
|
|
R = |
M |
= |
qa2 |
= qa. |
|
|
|||
G |
a a |
|
||
|
|
|||
24
M A |
F |
Q = 4qa |
M |
|
A B
2a a
R
RA
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
a |
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
RG |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Рис. 1.30
4. Составляем дополнительное уравнение, выражающее отсутствие поворота диска СG относительно диска AС (рис.1.31):
n |
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ МCправ |
-M |
+ RG |
×5a + RE |
×3a + RD × a - Q × 2a = 0, |
|
|||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|||||||
3R |
|
+ R |
|
= −5R + 2Q + |
M |
, |
|
|
|
|
|
|
E |
D |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
G |
a |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3R + R = -5qa + 2 × 4qa + |
qa2 |
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
E |
D |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3RE + RD = 4qa. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
M A |
|
|
|
|
|
F |
Q = 4qa |
M |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B
2a a
R
RA
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
a |
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
RG |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Рис. 1.31
5. Составляем дополнительное уравнение, выражающее отсутствие поворота диска ВG относительно диска AB (рис.1.32):
n |
|
∑ МBправ = 0, |
-M + RG ×7a + RE ×5a + RD ×3a - Q ×4a - F ×a = 0, |
i=1 |
5RE + 3RD = −7RG + 4Q + M + F , a
25
5R + 3R = -7qa + 4 × 4qa + |
qa2 |
+ qa, |
|
|
||
|
|
|
||||
E |
D |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5RE + 3RD =11qa. |
|
|
|
|
|
|
|
M A |
|
|
F |
Q = 4qa |
M |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
A B
2a a
R
RA
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
a |
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
RG |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Рис. 1.32
6. Решаем систему уравнений, полученных в пунктах 4 и 5:
RD = 4qa - 3RE .
5RE + 3(4qa − 3RE ) = 11qa.
-4RE +12qa =11qa.
RE = 0.25qa.
RD = 4qa - 0.75qa = 2.25qa.
M A |
F |
Q = 4qa |
M |
|
A B
2a a
R
RA
C |
D |
E |
F |
G |
a |
|
a |
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
RG |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Рис. 1.33
7. Пользуясь аксиомой отвердения, составляем уравнения равновесия всей конструкции, считая ее абсолютно твердым телом (рис. 1.33).
n |
|
|
∑ МA |
= 0, |
- M + RG ×9a + RE ×7a + RD ×5a - Q ×6a - F ×3a = 0, |
i =1 |
M A |
M A = +M - RG ×9a - RE ×7a - RD ×5a + Q ×6a + F ×3a,
26
M A = +qa2 - qa ×9a - 0.25qa × 7a - 2.25qa ×5a + 4qa × 6a + qa ×3a = 6qa2 .
n |
|
|
|
|
∑Yi |
= 0, |
+ RD |
+ RE |
+ RG − F − Q = 0, |
i =1 |
RA |
RA = −2.25qa − 0.25qa − qa + qa + 4qa = 1.5qa.
Ответ: Реакции равны: M A = 6qa2 , RA = 1.5qa, RD = 2.25qa, RE = 0.25qa, RG = qa.
Задача 1.15. Равновесие системы тел на плоскости Дано: F = 24 кН , q = 10кН / м, M = 30кНм . Определить реакции опор А и В.
1м 1м 1.5м
|
D |
|
|
F |
М |
|
q |
|
A |
C |
|
B
2м |
|
3м |
|
1.5м |
1.5м |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.34
Решение.
М
C
Рис. 1.35
27
1.Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями.
2.Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей
Q= q ×1.6м = 10 кН ×1.6м = 16кН
м.
3.Составляем уравнение, выражающее отсутствие поворота второго диска относительно первого диска.
∑ mC(2) = 0; |
- F ×1.5 - M + X B |
× 2 = 0; |
|
|||||
|
X B |
= |
F ×1.5 |
+ M |
= |
24 ×1.5 + 30 |
= 33кН. |
|
откуда |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||
4. Пользуясь аксиомой отвердения, составляем уравнения равновесия всей конструкции, считая ее абсолютно твердым телом.
∑ X = 0 |
X A + X B - Q = 0 |
|
|
∑Y = 0 |
YA - F = 0 |
∑ mA = 0; |
M A + Q ×1.25 - F × 6.5 - M + X B ×1 = 0. |
|
|
5. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции.
X A = -X B + Q = -33 + 25 = -8кН;
YA = F = 24кН;
M A = -Q ×1.25 + F × 6.5 + M - X B ×1 = -25 ×1.25 + 24 × 6.5 + 30 - 33×1 = 121.75кН × м.
6. Выполняем проверку, вычисляя сумму моментов всех сил приложенных к раме относительно произвольной точки D.
∑ mD = M A + X A × 2.5 - YA × 5 - Q ×1.25 - F ×1.5 - M + X B × 2 =
121.75 - 8 × 2.5 - 24 ×5 - 25 ×1.25 - 24 ×1.5 - 30 + 33× 3.5 = 0
Проверка выполняется.
Ответ: Реакции равны: X A = -8кН |
(сила направленав другуюсторону), |
YA = 24кН, M A = 121.75кН × м, |
X B = 33кН. |
1.4. Определение положения центра тяжести
Положение центра тяжести некоторого объема, состоящего из нескольких частей, можно найти по формулам:
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
∑ xiVi |
|
|
∑ yiVi |
|
|
∑ ziVi |
|
x = |
i=1 |
, |
y = |
i=1 |
, |
z = |
i=1 |
. |
|
|
|
||||||
C |
V |
|
C |
V |
|
C |
V |
|
|
|
|
|
|
||||
28
Координаты центра тяжести однородной тонкой пластины постоянной толщины
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
определяются через площади отдельных ее частей Ai и общую площадь A = ∑ Ai : |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
x = |
∑xi Ai |
|
y = |
∑yi Ai |
|
z = |
∑zi Ai |
|
i=1 |
, |
i=1 |
, |
i=1 |
. |
|||
|
|
|
||||||
C |
A |
|
C |
A |
|
C |
A |
|
|
|
|
|
|
||||
Центр тяжести однородного (имеющего одинаковую по длине площадь поперечного сечения и удельную плотность материала) длинного тонкого тела определяется
|
|
|
|
|
n |
: |
|
|
через длины его участков L i и общую длину L = ∑Li |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
x = |
∑xi Li |
|
y = |
∑yi Li |
|
z = |
∑zi Li |
|
i=1 |
, |
i=1 |
, |
i=1 |
. |
|||
|
|
|
||||||
C |
L |
|
C |
L |
|
C |
L |
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 1.17. Определение положения центра тяжести Определить положение центра тяжести плоской фигуры, показанной на рис. 1.38.
2a |
3a |
|
6a |
8a |
|
|
2a |
|
5a |
Рис.1.38 |
|
Решение (первый способ):
1.Выбираем исходную систему координат xO yO .
2.Разбиваем фигуру на простые составляющие (рис.1.39, а).
3.Определяем площади и координаты центров тяжести составных частей фигуры.
A = 2a × 6a = 12a2 |
; |
x = a; |
y = 5a; |
|||
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
A = 5a × 2a = 10a2 |
; |
x = 2.5a; |
y = a; |
|||
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
A = |
1 |
3a × 6a = 9a2 ; |
x3 = 3a; |
y3 = 4a; |
||
2 |
||||||
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
4. Определяем общую площадь фигуры и вес плиты (равнодействующую системы параллельных сил).
29
A = A1 + A2 + A3 = 12a2 +10a2 + 9a2 = 31a2 ;
5. |
Определяем точку приложения равнодействующей (координаты центра тяже- |
сти) |
и показываем ее на рисунке. |
x |
|
= |
x A + x A + x A |
= |
a ×12a2 |
+ 2.5a ×10a2 + 3a ×9a2 |
|
|||||||
C |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
3 |
|
31a2 |
= 2.06a; |
|
|||
|
|
|
A + A + A |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
yC |
= |
y A + y |
A + y A |
= |
5a ×12a2 + a ×10a2 + 4a ×9a |
2 |
|
|||||||
1 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
3 |
|
|
= 3.42a; |
|
||||
|
|
|
|
A1 + A2 + A3 |
|
|
|
31a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
y |
|
|
|
|
|
5a |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
4a |
y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
C2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xc |
|
xc |
1.5a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.39 |
|
|
Решение (второй способ):
Решение задачи может стать более простым, если использовать «метод отрицательных площадей» и поместить начало исходной системы координат в центр тяжести одной из составляющих фигур.
1.Выбираем исходную систему координат xO yO .
2.Разбиваем фигуру на простые составляющие (рис. 1.39, б).
3.Определяем площади и координаты центров тяжести составных частей фигуры.
A = 5a ×8a = 40a2 |
; |
x = 0; |
y = 0; |
|||
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
A = |
1 |
6a ×3a = 9a |
2 ; |
x2 =1.5a; |
y2 = 2a; |
|
2 |
||||||
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
4. Определяем общую площадь фигуры: