6822

40

Определяем модуль ускорения (полное ускорение):

P H √ . . . см . 5. Определяем характер движения.

Проекции LP и P имеют разные знаки.

Это говорит о том, что вектора (!L и (!P направлены в разные стороны.

Таким образом, движение точки в заданный момент времени t=2c является за-

медленным.

Ответ: L . мс , P . Mм , H . см , . см

2.2 Движение твердого тела

Простейшими видами движения твердого тела являются поступательное и вращательное движения.

Поступательным движением называется движение, при котором любой отрезок, принадлежащий телу, перемещается, оставаясь параллельным своему первоначальному направлению. Поступательное движение твердого тела полностью определяется движением какой-либо его точки, например центра тяжести.

Вращательным движением называется движение тела, при котором все точки

41

Полное ускорение точки вращающегося тела является векторной суммой каса-

тельного и нормального ускорений: a(! a(!v a(!w,

где av ε R - касательное ускорение, которое при рассмотрении твердого тела называют вращательным ускорением,

-> l5R - нормальное ускорение, которое при рассмотрении твердого тела называют центростремительным или осестремительным ускорением.

2.3Преобразование вращательного движения

Вдвижущихся элементах машин часто происходят преобразования движений:

∙преобразование одного вращательного движения в другое,

∙преобразование вращательного движения в поступательное (и наоборот).

Преобразования эти происходят с помощью

∙зубчатых или фрикционных передач,

∙ременных или цепных передач.

42

Рис.2.8

Связи между скоростями двух различных движений устанавливаются из условия отсутствия проскальзывания между взаимодействующими телами, то есть из условия равенства скоростей двух тел в точке их соприкосновения.

Так, справедливым является соотношение lCtC l5t5 или

которое получено из условия, что в точке соприкосновения 'C '5 (скорость точки первого тела равна скорости точки второго тела).

Задача 2.7. Преобразование движений твердого тела В механизме домкрата рукоятка А отклоняется на угол |, который изменяется в

пределах от -300 до +300 по закону | ` FGH }`I~. Рукоятка А жестко соединена с

шестерней 1, то есть | |. Шестерни 2, 3, 4, 5, вращаясь, толкают зубчатую рейку В, для которой движение вниз запрещено.

известно, что см.

46

Решение:

По условию задачи вращение тела является равномерным. Поэтому, угол, на кото-

рый тело повернется за некоторый промежуток времени, следует искать по форму-

ле: o l# 6 ∙ 2 12 "рад$.

Ответ: o 12 рад.

2.4 Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным или плоским движением называется движение твердого тела, при котором его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Скорость точки плоской фигуры равна векторной сумме скорости полюса и скорости, которую эта точка имеет в относительном вращении этой фигуры вокруг по-

люса:

'!• '!† '!•†.

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю: '‘ 0. Такая точка всегда существует.

Скорость произвольной точки М плоской фигуры равняется скорости, которую она имеет в относительном вращении вокруг МЦС.

Ускорение точки плоской фигуры равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения, которое имеет эта точка в относительном вращении фигуры вокруг по-

люса:

-!• -!† -!•† -!† -!•†; -!•†> .

Задача 2.11. Плоскопараллельное движение твердого тела

Пусть колесо радиусом R=1м катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Скорость центра колеса L мс , ам ускорение центра колеса по направлению совпадает со скоростью и равно с .

Определить скорости и ускорения точек А, В, С, Р, расположенных на ободе колеса.

Решение:

47

1. Определение скоростей МЦС колеса – точка Р. Относительно точки Р колесо вращается по часовой стрел-

ке. Соединим точку Р с точками А, В, С и покажем направления скоростей в сторону вращения по перпендикуляру к отрезкам АР, ВР, СР.

2. Определение ускорений Расстояние от точки О до МЦС (точки Р) всегда постоянно. Кроме того точка О

R vC

P P

Рис.2.12

Выберем в качестве полюса центр колеса (точку О) и используем для определения

ускорения произвольной точки М теорему о сложении ускорений:

(! (!” (! ” (!” (!P ” (!H ”.

Вращательные ускорения точек A, B, C, P во вращении колеса относительно полюса О по модулю будут одинаковы и направлены перпендикулярно к соответствующему радиусу в сторону углового ускорения:

P ” P ” P‚” P’” • ∙ M ∙ м Mм .

49

Задача 2.12. Плоскопараллельное движение твердого тела В некоторый момент времени, движущийся плоский механизм находится в по-

ложении, показанном на рисунке. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью € радс . Длина звена ОА =50 см. Определить угловую скорость звена AD и ско-

рости точек A и D.

Рис.2.14

Решение:

1.Механизм состоит из трех тел: звеньев ОА и AD и ползуна D. Пронумеруем их

ирассмотрим их движение.

2.Звено 1 (элемент ОА). Движение вращательное.

Центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть P1=0. Угловая скорость задано, то есть € € радс .

Определяем скорость точки А.

Скорость (!L направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА. Ее модуль определяется по формуле Эйлера: L € ∙ |” | ∙ смс .

3. Звено 2 (элемент ОD).

Направление скорости точки D определяется направляющими ползуна. Следовательно, вектора (!L и (!L˜ параллельны.

Таким образом, мгновенный центр скоростей Р2 находится в бесконечности. Скорости точек A и D одинаковы, то есть L L˜ мм.

Движение звена AD является мгновенно поступательным. Угловая скорость звена равна нулю: € .

Ответ: L L˜ мм , € .

Задача 2.13. Плоскопараллельное движение твердого тела