7452

вокупная прибыль, полученная от k-го, (k+1)-го, …, n-го хозяйствующих субъектов,

если между ними оптимальным образом распределялись ресурсы в объеме S k 1

( 0 Sk 1 S0 ). Множество возможных управленческих решений относительно раз-

мера распределяемых ресурсов на k-м шаге можно представить следующим образом: 0 xk Sk 1.

Тогда рекуррентные уравнения Беллмана (обратная схема) примут вид

3. Задача о замене оборудования.

а) Постановка задачи.

Оборудование со временем изнашивается и стареет морально, падает его про-

изводительность, растут издержки на ремонт. Поэтому на каком-то этапе его экс-

плуатация становится менее выгодной, чем замена на новое. Возникает задача опре-

деления оптимальной стратегии замены оборудования в рассматриваемый времен-

ной промежуток – плановый период (п/п) с тем, чтобы суммарная прибыль за этот период была оптимальной.

Введем обозначения.

r(t) – стоимость продукции, производимой за год на оборудовании возраста t; s(t) – остаточная стоимость оборудования возраста t;

u(t) – эксплуатационные издержки за год оборудования возраста t;

p – цена нового оборудования, которым можно заменить устаревшее: n – число лет в рассматриваемом п/п.

31

Для дискретности решения задачи возраст оборудования t будем отсчитывать с интервалом 1 год. Управление составляют два возможных решения на каждом этапе (в начале каждого года): «сохранение» – продолжение эксплуатации имеюще-

гося оборудования; «замена» – реализация старого оборудования по остаточной стоимости и приобретение нового по цене p. Целевая функция – суммарная прибыль за п/п F→max. Ограничения определяются критерием замены оборудования: при-

быль при дальнейшей эксплуатации старого меньше прибыли после его замены с учетом всех издержек. Если прибыль от нового оборудования равна прибыли при старом, то старое сохраняется еще на год, т.к. оно уже досконально изучено.

б) Схема решения.

Задача решается методом ДП на основе принципа оптимальности Беллмана. В

процессе «обратного хода» рассматриваются этапы – временные шаги от конца п/п к его началу.

Введем последовательность функций: zi(t), i = 1, n – максимальная прибыль за последние i лет п/п. Очевидно, что zn(t0) = max F = F*, где t0 – возраст оборудования в начале п/п. Итак, сначала рассматриваем только последний n-ый год п/п, i = 1.

Пусть в начале этого года, когда оборудование имеет возраст t лет, выбирается одно из управлений: 1) сохранение оборудования на n-ый год, тогда прибыль за остав-

шийся год п/п составит r(t) – u(t); 2) замена новым, продажа старого по остаточной стоимости, тогда прибыль составит s(t) – p + r(0) – u(0), где r(0) – стоимость продук-

ции, на новом оборудовании за 1-й год его эксплуатации, u(0) – эксплуатационные издержки нового оборудования за 1-й год. Определяем оптимальное управление,

исходя из критерия замены:

-если s(t) – p + r(0) – u(0) ≤ r(t) – u (t), то «сохранить»,

-если s(t) – p + r(0) – u(0) > r(t) – u(t), то «заменить».

r(t) u(t),............................сохранить,

z1(t) = max

S(t) p r(0) u(0),..........заменить.

Теперь включаем в рассмотрение предпоследний шаг, (n – 1)-й год, i = 2 и устано-

вим прибыль за два последних года z2 (t).

32

Пусть в начале (n – 1)-го года возраст оборудования t, и было принято реше-

ние о его сохранении. Тогда прибыль к концу года зависит r (t) – u (t). При этом на начало n-го года оборудование уже будет иметь возраст t+1, следовательно, в по-

следнем году оно даст прибыль z1(t+1), а общая прибыль за два последних года со-

ставит r (t) – u (t) + z1(t+1).

Если же в начале (n-1)-го года выбрано управление ”замена”, то прибыль за два последних года составит s (t) – p + r (0) – u (0) + z1(1), следовательно,

z (t) = max r(t) u(t) z1 (t 1),............................сохранить, 2 S(t) p r(0) u(0) z1 (1),..................заменить.

Аналогично для i последних лет:

Дойдя до последнего шага (i = n), попадаем в начало п/п, где t известно: t = t0,

и, следовательно, можно начать «прямой ход».

Задавая t0 и длительность п/п, находим F* = zn(t0) и строим последователь-

ность оптимальных управлений, начиная с первого года и заканчивая последним.

в) Расчет.

Для заполнения расчетной таблицы можно использовать следующий алго-

ритм.

1. Определить φ (t) = r(t) – u(t), m1 = S(t) – p + φ(0):

-если m1 = const, то справа к таблице прибавляется дополнительный столбец mi;

-если m1 = m1(t), то над каждой строкой zi(t) вводится дополнительная строка mi = mi(t) (или mi(t) вписывается в клетки значений zi(t) как тарифы транспортной зада-

чи).

2. Заполнить строку z1(t), переписав из таблицы данных соответствующие значения

φ(t) ≥ m1, все значения φ(t) < m1 заменить на m1.

3. Начиная с индекса i = 2, расчет по строкам производится в следующей последова-

тельности:

а) вычислить mi = m1 + zi-1(1), где zi-1(1) берется из уже заполненной строки;

33

б) вычислить zi(t) = z1(t) + zi-1(t+1), где сумма и слагаемые образуют треуголь-

ник, у которого одна из вершин всегда в первой строке над искомым значением, а 2-

ая – в последней заполненной строке следующего столбца. Получаемые значения zi(t) ≥ mi вносить в соответствующие клетки строки; начиная с первого zi(t) < mi, ос-

тавшиеся клетки заполнить значением mi;

в) клетки с первым значением zi(t) < mi в процессе заполнения таблицы отде-

лить от расположенных в строке левее разделительной границей смены управления;

г) если таблица не заполнена до последней строки, перейти к п. а) и выполнить расчет для следующего значения индекса i.

Замечания:

1. Для задачи об оптимальном распределении капиталовложений по полученной расчетной таблице можно получить стратегию вложения средств, например, только в первые 3 филиала, исключив из рассмотрения 4-й, или, например, для суммы в 150

млн. руб. (а не 200 ) между 4-мя филиалами, или только 3-мя первыми и т.д.

Для задачи о замене по расчетной таблице можно получить решение на любой п/п длительностью, не превосходящей исходный.

Это так называемый «принцип погружения» метода динамического про-

граммирования.

2. Решенную задачу о замене оборудования можно усложнить, например, допуская замену не новым оборудованием, а уже проработавшим некоторое время. При этом имеется три возможных управления: сохранить старое, купить новое, купить не но-

вое.

5. Задача управления производством и запасами

Предприятие производит партиями некоторые изделия. Оно получило заказы на n месяцев. Необходимо составить план производства на указанные n месяцев с учетом затрат на производство и хранение. Обозначим:

1)xj – число изделий, производимых в j-м месяце;

2)yj – величина запаса к началу j-го месяца (Это число не содержит изделий, произ-

водимых в j-й месяц, величина запаса к началу 1-го месяца (y1) и к концу последнего (yn+1) заданы);

34

3)dj – число изделий, которые должны быть отгружены в j-й месяц;

4)j (xj ) ax2j bxj c - функция затрат на производство xj изделий в j-м месяце (мо-

жет иметь и другой вид);

5)hj – затраты на хранение единицы запаса, переходящей из месяца j в месяц (j+1);

6)f j (xj , y j 1) j (xj ) hj y j 1 – функция затрат на производство и хранение в j-м месяце.

Задача состоит в определении плана производства (х1,х2,…,хn), компоненты кото-

рого удовлетворяют условиям материального баланса xj +yj –dj = yj+1

и минимизируют суммарные затраты за весь период

n

F ( x) f j ( x j , y j 1 ) min .

j 1

По смыслу x j 0 , y j 0 , j 1, n . Заметим, что:

1)для любого месяца j величина запаса к концу месяца должна удовлетворять ограни-

чениям 0 y j 1 d j 1 d j 2 ... dn , то есть объем производимой продукции xj в j-м

месяце может быть настолько велик, что запас yj+1 удовлетворяет спрос на всех по-

следующих месяцах, но не имеет смысла иметь yj+1 больше суммарного спроса всех последующих месяцев;

2) из балансового уравнения получим 0 x j d j y j 1 .

Если учесть, что xj и yj должны быть целыми и неотрицательными, то имеем задачу целочисленного нелинейного программирования.

Составим функциональные уравнения. Пусть Fk(yk+1) - минимальные затраты за первые k месяцев.

Для k = 1:

35

при 0 yk 1 dk 1 dk 2 ... dn , 0 xk dk yk 1 и yk yk 1 dk xk .

Применив процедуру динамического программирования, на последнем шаге

k= n определяется значение xn* оптимального решения, а остальные компоненты определяются в результате прямого хода по формуле

Преимущества и недостатки метода динамического программирования. К

числу положительных качеств можно отнести:

1.МДП дает возможность решать задачи, которые раньше не исследовались из-

за отсутствия соответствующего математического аппарата.

2.МДП в ряде случаев сокращает объем при поиске оптимальных решений.

Недостатки:

1.Отсутствие универсального алгоритма, который был бы пригоден для реше-

ния всех задач (мы имеем только схему).

2.Трудности при решении задач большой размерности.

2.4Контрольные вопросы

1.Привести примеры оптимизационных нелинейных задач в науке,

производстве и экономике.

2.Формулировка задач нелинейного программирования и их классификация.

3.Что такое критерий оптимизации и целевая функция.

4.Глобальный и локальный максимум (минимум). Методы нахождения.

5.Пусть данная точка удовлетворяет достаточным условиям существования локального минимума. Как установить, является ли этот минимум глобальным.

6.Приведите алгоритм определения глобального оптимума. Общая постановка задачи динамического программирования. Условия применимости. Проблемы реализации. Примеры.

7.Классические методы условной оптимизации функции многих переменных в задачах с ограничениями-равенствами. Метод Лагранжа.

36

8.Общая постановка задачи динамического программирования. Проблемы реализации.

9.Математические модели и оптимизация в экономике.

10.Экономическая интерпретация множителей Лагранжа. Зависимость решения от параметров.

11.Динамические задачи оптимизации. Принцип оптимальности. Метод уравнений Беллмана.

12.Компьютерные методы оптимизации в задачах линейного и нелинейного программирования.

13.Приведите содержательные примеры задачи линейного и нелинейного программирования.

14.В чем состоит метод динамического программирования в многошаговых задачах оптимизации? Сформулируйте принцип оптимальности и запишите уравнение Беллмана.

15.Решение методом динамического программирования задачи оптимального распределения ресурсов между двумя предприятиями на n лет.

16.Решение методом динамического программирования задачи о замене оборудования.

17.Решение методом динамического программирования задачи управления производством и запасами.

37

3. Методические указания по подготовке к практическим занятиям

3.1Общие рекомендации по подготовке к практическим занятиям

Входе подготовки к практическим занятиям необходимо изучать основную литературу, познакомиться с дополнительной литературой. При этом необходимо учесть рекомендации преподавателя и требования учебной программы.

Всоответствии с этими рекомендациями и подготовкой полезно дорабатывать свои конспекты лекции, делая в нем соответствующие записи из литературы,

рекомендованной преподавателем и предусмотренной учебной программой.

Целесообразно также подготовить тезисы для возможных выступлений по всем учебным вопросам, выносимым на практическое занятие.

При подготовке к занятиям можно также подготовить краткие конспекты по вопросам темы. Очень эффективным приемом является составление схем и презентаций.

Готовясь к докладу или реферативному сообщению, желательно обращаться за методической помощью к преподавателю. Составить план-конспект своего выступления. Продумать примеры с целью обеспечения тесной связи изучаемой теории с реальной жизнью. Своевременное и качественное выполнение самостоятельной работы базируется на соблюдении настоящих рекомендаций и изучении рекомендованной литературы.

3.2 Примеры задач для практических занятий

Пример 1.

Найти условный экстремум функции методом подстановки и с помощью ме-

тода Лагранжа

z 3x2 2y2 3x 1 при x2 y2 4 .

Решение. Метод подстановки. Выразим из уравнения связи одну переменную через

другую.

y2 4 x2 .

38

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, имеем ограничения на пере-

менную

2 x 2.

Подставим в выражение функции:

z 3x2 2 4 x2 3x 1 z x2 3x 9

Согласно теореме Вейерштрасса максимум (минимум) функции может дости-

гаться на краях отрезка или в точке экстремума функции. Вычислим производную функции:

zx' 2x 3

Приравняем производную нулю и решим уравнение:

2x 3 0 x 32

Из уравнения связи найдем соответствующие значения переменной y.

Найдем значение функции в точках экстремума и на концах отрезка.

39

Приравняем частные производные нулю и решим получившуюся систему.

6x 3 2 x 04 y 2 y 0

x2 y2 4 0

Имеем 3 стационарные точки

Найдем значение функции в получившихся точках и выберем из них наибольшее и наименьшее значение.

Пример 2. (метод Лагранжа)

Методом Лагранжа найти экстремум функции при условиях связи

Решение. Составим функцию Лагранжа

и рассмотрим систему уравне-

ний

40