7452
.pdf
4.4 Задания для самостоятельной работы
Задача 1.
Исследуйте на условный экстремум методом исключения части переменных функцию:
а) 
при условии связи 
;
б) 
при условии связи 
;
в) 
при условии связи 
;
г) 
при условии связи 
;
д) 
при условии связи 
;
е) 
при условии связи 
;
ж) 
при условии связи 
.
Ответ: а) |
|
|
|
б) |
|
|
; |
в) |
в точках |
и |
; |
|
в точках |
и |
; |
г) |
|
; д) нет точек экстремума; |
|
е) |
;ж) |
|
; |
Задача 2. Исследуйте на условный экстремум методом Лагранжа:
а) функцию 
при условии связи 
б) функцию 
при условиях связи
.
Ответ: а) 
в точках (-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1),(-1,-1,-1), 61
в точках (1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1),(1,-1,-1);
б) 
в точках 
,
в точках 
.
Задача 3. Планируется деятельность трех промышленных предприятий на год.
Начальные средства 7 млрд усл. руб. Средства, вложенные в k-е предприятие, при-
носят в конце года доход fk(x).
Эти функции заданы таблично:
x |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
1 |
5 |
7 |
6 |
2 |
9 |
9 |
10 |
3 |
12 |
11 |
13 |
4 |
14 |
13 |
15 |
5 |
15 |
16 |
16 |
6 |
18 |
19 |
18 |
7 |
20 |
21 |
21 |
Считаем, что работа предприятия не влияет на работу других предприятий и суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия.
Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, что-
бы суммарная прибыль была наибольшей.
Задача 2. В условиях задачи 1 найти оптимальное распределение средств S0 =6.
Задача 3. В условиях задачи 1 найти оптимальное распределение средств S0 =8.
Задача 4. В условиях задачи 1 найти оптимальное распределение средств S0 =7 меж-
ду четырьмя предприятиями, если функция прибыли для четвертого предприятия задана в таблице:
|
х |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
f4(x) |
3 |
5 |
7 |
11 |
13 |
15 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5. Имеется 4 ед. продукции, нужно её распределить по магазинам. До- |
|||||||||||||
ход, который получают при этом: |
f1 |
(u1 ) |
1 |
u1 |
(8 u1 ) – 1-й магазин, если получит u |
||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|
||
единиц продукции, |
f |
|
(u |
|
) |
u22 |
– 2-й магазин, если получит u |
|
единиц продукции, |
||||||||
2 |
2 |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
|
(u |
|
) |
3u3 |
– 3-й магазин, если получит u |
|
единиц продукции. |
|
||||||||
3 |
3 |
|
3 |
|
|||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нужно получить максимальный доход от распределения.
Задача 6. Некоторое предприятие располагает капиталом 10 млн д.е. Имеется четы-
ре возможности (A, B, C, D) для инвестирования этого капитала. Предположитель-
ный доход в единицах 10 000 д.е. от инвестирования при каждой такой возможности указан в таблице:
Млн. д.е. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A, в 10000 д.е |
28 |
45 |
65 |
78 |
90 |
102 |
113 |
123 |
132 |
138 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B, в 10000 д.е |
25 |
41 |
55 |
65 |
75 |
80 |
85 |
88 |
90 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C, в 10000 д.е |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D, в 10000 д.е |
20 |
33 |
42 |
48 |
53 |
56 |
58 |
60 |
60 |
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимо определить сумму инвестиции для каждой возможности так, что-
бы доход был максимальным.
Задача 7. Необходимо определить кратчайший маршрут между городами A и K, если заданы следующие расстояния:
Расстояния при движении из города в другой город
Из |
A |
|
M |
|
|
L |
|
|
Q |
|
|
N |
|
O |
R |
S |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В |
M |
L |
Q |
N |
N |
Q |
O |
R |
S |
R |
S |
R |
S |
K |
K |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
км |
5 |
|
3 |
4 |
|
5 |
3 |
8 |
|
5 |
3 |
|
6 |
|
5 |
|
4 |
9 |
|
5 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Задача 8. (Задача о загрузке). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Для загрузки судна ограниченной грузоподъемности 7 тонн имеются три вида |
||||||||||||||||||||||
груза. Известны vi – вес единицы i-го груза и |
fi (xi ) |
– стоимость перевозки xi еди- |
|||||||||||||||||||||
ниц |
i-го груза (i=1,2,3). Определить количество груза i-го вида, которое следует по- |
||||||||||||||||||||||
грузить на судно, чтобы минимизировать стоимость перевозки груза. В том случае,
если груз i-го вида не доставлен, выплачивается штраф в размере fi (0) . Величины vi составляют v1 =1 т, v2 =2 т, v3 =3 т, а функции fi (xi ) заданы в таблице:
xi f1 (х1 ) f2 (х2 ) f3 (х3 )
63
0 |
400 |
550 |
700 |
|
|
|
|
1 |
300 |
400 |
500 |
|
|
|
|
2 |
250 |
290 |
350 |
|
|
|
|
3 |
210 |
200 |
|
|
|
|
|
4 |
170 |
|
|
|
|
|
|
5 |
140 |
|
|
|
|
|
|
6 |
110 |
|
|
|
|
|
|
7 |
20 |
|
|
|
|
|
|
Задача 9. Оборудование эксплуатируется в течение 5 лет, после чего продаёт-
ся. В начале каждого года принимается решение о замене оборудования новым или о сохранении старого. Стоимость нового оборудования 4000 усл. руб. После t лет эксплуатации оборудование можно продать за g(t)=p02-t руб. Затраты на содержание оборудования равны r(t)=600(t+1).
Определить такой план эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты были минимальны.
Задача 10. Автомашина эксплуатируется в течение 6 лет. В начале каждого года может быть принято решение о замене машины новой. Стоимость новой маши-
ны зависит от года покупки. pk 5000 500(k 1) руб. После t лет эксплуатации машину на k-м году можно продать за (t) pk 2 t руб. Стоимость содержания машины в течение k -го года составляет rk (t) 0,1pk (t 1) руб.
Найти оптимальный способ эксплуатации машины: когда нужно заменить ма-
шину новой, чтобы суммарные затраты (с учетом затрат на покупку новой машины в начале срока эксплуатации и компенсации за счет заключительной продажи) были минимальны.
64
Прокопенко Н.Ю.
МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекциям, практическим занятиям
(включая рекомендации по организации самостоятельной работы)
для обучающихся по дисциплине «Методы оптимальных решений» по направлению 38.03.01 Экономика, профиль Бухгалтерский учет, анализ и
аудит
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru