7536

60

Следствие 2

Если сумма проекций всех внешних сил механической системы на какую-

n

либо ось все время равна нулю ∑Fixe ≡ 0, , то проекция количества движения на

i =1

эту ось постоянна Qx ≡ const .

3.3.4 Моменты инерции. Радиусы инерции

Установлено, что мерой инертности материального тела является его масса. Но это справедливо только для поступательного движения. Для вращательного движения мерой инертности является величина, которая называется моментом инерции.

Будем считать, что ось z − это ось вращения.

Моменты инерции точки Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси

(осевым моментом инерции) называется величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния до этой оси.

Механическая система из n материальных точек

Рассмотрим теперь= механическую систему, , o, состоящую. из n точек. Пусть k-я точка имеет массу n и координаты n n n Тогда моменты инерции механической системы можно вычислить путем суммирования моментов инерции входящих в нее точек:

62

Момент инерции относительно оси z можно определить интегрированием:

Моменты инерции других однородных тел различной формы выводятся аналогично с помощью интегрирования.

2)Тонкая однородная круглая пластина

Момент инерции круглой однородного круглого диска массой m и радиуса r относительно оси, проходящей через центр пластины перпендикулярно его плоскости (рис. 3.4 а) будет равен

Jz = mr2

2

3) Круглый однородный цилиндр

Момент инерции круглого кольца (цилиндра, трубы) массой m, которая равномерно распределена вдоль окружности радиуса r , относительно оси, сов-

падающей с осью цилиндра (рис. 3.4 б), будет равен

Рис. 3.4

3.3.5 Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

При решении задач приходится вычислять моменты инерции тел относительно осей вращения, которые не проходят через центр масс. В этом случае применяют теорему Гюйгенса-Штайнера.

63

Момент инерции механической системы (тела) относительно некоторой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, и величины равной произведению массы системы на

квадрат расстояния между осями: J z = J zC + md 2

Следствие из теоремы:

Изо всех моментов инерции относительно параллельных осей наименьшим будет момент инерции, вычисленный относительно центральной оси.

3.3.6 Теорема об изменении кинетического момента

Кинетический момент

Теоремы о движении центра масс и об изменении количества движения описывают только поступательную часть движения твердого тела. Вращательную часть движения описывает теорема об изменении кинетического момента.

В статике используется величина, которую называют моментом силыF относительно точки О. Момент количества движения относительно некоторой

Часто используется понятие «момент количества движения относительно оси», имея ввиду ось z, проходящуюю через центр О перпендикулярно к плоскости, в которой лежат силы:

( R ) = ± ( )×

mz mv mv h.

Знак момента количества движения выбирается по тому же правилу, что и знак момента силы относительно точки: «плюс» соответствует направлению против часовой стрелки.

65

Из сравнения формул для поступательного движения и для вращательного движения видно, что при поступательном движении мерой инертности тела является его масса, а при вращательном − его момент инерции.

Сохранение кинетического момента

Следствие

Если главный момент внешних сил относительно какой-либо оси все время

Рис. 3.6

3.3.7 Мощность и работа сил

Мощностью силы называется величина, равная скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения:

Мощность может быть как положительной, так и отрицательной.

66

личина, равная интегралу от мощности силы по времени:

t

A = ∫ N dt , и следовательно N = dA

dt

0

Выражение под знаком интеграла в есть работа за бесконечно малый про-

межуток времени, которую называют элементарной работой:

Ed t E ∙ E

Если мощность постоянна, то A = N t . Размерность работы

[ A] = [N ][t] = Вт× с = Н × м× с = Н × м

с

3.3.8 Теорема об изменении кинетической энергии

Кинетической энергией материальной точки называется величина, рав-

ная половине произведения массы точки на квадрат скорости:

T= 1 mv2

2

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий ее точек

T = ∑n 1 mk vk 2

k =1 2

Кинетическая энергия твердого тела вычисляется по аналогичной формуле

с той разницей, что сумма заменяется интегралом: u G5 E=,

где m – масса бесконечно малого объема тела, а v – его скорость.

Кинетическая энергия не может быть отрицательной. Кинетическая энергия (так же как и скорость) зависитuот! выборакг ∙ м ⁄системыс Дж.отсчета. Размерность кинетической энергии – джоуль:

67

Кинетическая энергия при различных формах движения тела:

Поступательное движение тела При поступательном движении скорости всех точек тела одинаковы и сов-

падают со скоростью центра масс. По этой причине формула упрощается: u G5 E= ` G5 E= = `

Вращательное движение тела

При вращательном движении путем интегрирования получим, что u xML .

Плоскопараллельное движение тела Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической

носительно оси, проходящей через центр массы тела перпендикулярно оси вращения.

Теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме

Производная по времени от кинетической энергии механической системы

равна сумме мощностей всех действующих в системе сил:

{ ∑n} tn

или, после разделения мощностей внешних и внутренних сил:

{ ∑n} tn~ ( ∑n} tn•

Для неизменяемых систем, где внутренние силы не работают, получим:

{ ∑n} tn~

Вывод: Величина мощности определяет скорость изменения кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме

Изменение кинетической энергии механической системы за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех действующих в системе сил:

68

3.3.9 Принцип возможных перемещений

Пусть система находится в равновесии. В этом случае справедливым является положение, известное под названием.

Для того чтобы механическая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы возможная работа всех активных сил (не реакций) на любых возможных€dперемещениях0 была равна нулю:

69

ЛИТЕРАТУРА

1.Диевский В.А. Теоретическая механика: учеб. пособие / В.А. Диев-

ский. — 2- е изд., испр. - СПб.: «Лань», 2008. - 320 с.

2.Лойцанский Л.Г., А.И. Лурье. Курс теоретической механики. Том первый. Статика и кинематика. 2006г.

3.Маковкин Г.А., Ведяйкина О.И. Решение задач по кинематике: учеб. пос. для вузов; Нижегор.гос.архитектур.-строит. ун-т. – Н.Новгород:

ННГАСУ, 2016. – 69 с.

4.Аистов А.С., Баранова А.С., Трянина Н.Ю. Теоретическая механика. Динамика: учебное пособие – Н.Новгород: Нижегор.гос.архитектур.-

строит. ун-т, 2005, - 91с.