7577

При этом если ( ) , то получим кривую в бирадиальной параметризации. Например, при 2a получим эллипс с полуосями a и b ,

при 2a – гиперболу, а при a – овалы Кассини.

Во второй главе предложены способы параметризации геометрических объектов с помощью обобщённых тригонометрических функций.

Для точечного исчисления важным является выбор параметра, который для обеспечения покоординатного расчёта должен быть аффинным инвариантом. Рассмотрим более подробно простое отношение трех точек прямой (рис. 2), которое в рамках аффинной

представим стандартные синус и косинус с помощью простого отношения трёх

отношение длин сторон треугольника определяет обобщенные тригонометрические функции (ОТФ). ОТФ определяются с помощью двух углов: аргумента и базового угла (аналог прямого угла в прямоугольном треугольнике). Так как в аффинной геометрии сумма углов любого треугольника равняется , зафиксировав два угла из трех, тем самым фиксируем конкретный треугольник. Поскольку в рамках аффинной геометрии треугольник является инвариантом параллельного проецирования, то и ОТФ

11

также будут инвариантны относительно параллельного проецирования. В общем случае ОТФ определяются через отношение длин сторон треугольника. Можно выразить любую обобщенную функцию через углы с помощью теоремы синусов.

Инвариантные свойства обобщенных тригонометрических функций могут быть широко использованы в точечном исчислении для определения геометрических многообразий, поскольку они позволяют осуществить покоординатный расчёт дают возможность перейти от символьной записи точечных уравнений к уравнениям параметрическим, которые определены в глобальной декартовой системе координат.

В работе были сформулированы и доказаны некоторые свойства ОТФ.

ОТФ были использованы для задания дуг плоских кривых с помощью радиальной и угловой параметризаций, поскольку они позволяют работать с любым треугольником как с прямоугольным, что значительно облегчает получение уравнений дуг плоских кривых в нужной на практике параметризации. Например, получено уравнение дуги окружности, проходящей через 3 наперёд заданные точки (рис. 5):

M A C sin ( )sin B C sin ( )sin C,

где 0 .

Особенностью полученного уравнения является то, что при значении текущего параметра 0 получим начальную точку дуги окружности A , а при− конечную точку B . При этом координаты исходных точек A , B и C могут быть совершенно любые, как фиксированные, так и переменные, что позволяет использовать полученную дугу как в виде направляющей, так и в

12

виде образующей при конструировании новых геометрических объектов. На рис. 5 приведен пример моделирования отсека поверхности, проходящей через 2 отрезка и дугу окружности. Образующей линией также является дуга окружности

Рис. 5. Пример использования ОТФ для моделирования дуги окружности, проходящей через 3 точки, и отсека поверхности на её основе

ОТФ могут эффективно использоваться для перехода от одной параметризации к другой. Например, уравнение параболы, которая определяется текущим угловым параметром , имеет следующий вид:

поколения.

Третья глава посвящена созданию аналитического описания и компьютерных моделей дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, на основе проективных алгоритмов их формирования.

13

Для аналитического описания геометрических объектов многомерного пространства необходимо иметь специальный набор уравнений дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки. При этом особую роль играют кривые, полученные на основе проективных алгоритмов их образования, поскольку они позволяют охватить большее количество исходных точек. Обычно для полиномиальной интерполяции характерна следующая зависимость: порядок кривой на единицу меньше количества узловых точек интерполяции. Например, чтобы интерполировать 5 точек, необходимо использовать кривую 4-го порядка. Однако, из проективной геометрии известно, что кривая 2-го порядка однозначно определяется 5-ю точками, что делает её использование предпочтительней во многих случаях моделирования.

Рассмотрим геометрический алгоритм конструирования дуги AA1 A2MA3B кривой 2-го порядка (рис. 7). Точки A и

Bпредставляют соответственно начало

иконец дуги, A1, A2 , A3 ‒ точки, через которые проходит кривая 2-го порядка.

Уравнение имеет достаточно громоздкий вид, поскольку кроме точек симплекса содержит в себе ещё 3 точки, каждая из которых определяется своими параметрами. В случае конкретного расположения точек, параметрические уравнения такой кривой будут иметь более компактный вид (рис. 8).

14

Рис. 8. Пример моделирования дуги кривой 2-го порядка, проходящей через 5 наперёд заданных точек

двух пар скрещивающихся прямых, в соответствии с которым сначала необходимо определить линию пересечения плоскостей, полученных на основе двух исходных точек A5 и A6 (рис. 9). При этом искомая линия строится по точкам пересечения следов плоскостей в гранях тетраэдра A1 A2 A3 A4 и эти точки являются следами прямой в соответствующих гранях. По этой прямой пересекаются две линейчатые поверхности. Тогда искомая прямая I123 J134 будет их общей образующей. Линией пересечения двух линейчатых поверхностей второго порядка с общей образующей является искомая кривая 3-го порядка.

Далее рассмотрим геометрический алгоритм построения текущей точки дуги кривой 3-го порядка методом подвижного симплекса (рис. 10).

Зададим параметрическую точку T , которая двигаясь по прямой A1 A3 , создает подвижный симплекс TI123 J134 , вращающийся вокруг оси I123 J134 . Этот симплекс, пересекаясь с противоребрами тетраэдра A1 A2 A3 A4 , создает

15

соответственно точки T12 , T23 , T34 и T41 . Текущую точку M кривой 3-го порядка определим пересечением

прямых T12T34 и T23T41 .

Врезультате на основе рассмотренного геометриического алгоритма получен вычислительный алгоритм в виде последовательности точечных уравнений для формирования дуги кривой 3- го порядка, проходящей через 6 наперёд заданных точек.

Вчетвёртой главе

изложен метод моделирования дуг алгебраических кривых,

проходящих через наперёд заданные точки, на основе кривых Безье. Алгебраические кривые, проходящие через наперёд заданные точки,

полученные на основе кривых Безье, являются достаточно простым и гибким инструментом многомерной интерполяции и аппроксимации. Необходимость определения таких кривых заключается в том, что при моделировании многофакторных процессов для каждой отдельной задачи приходится решать СЛАУ при определении искомого уравнения. Чтобы получить универсальный подход к моделированию многофакторных процессов необходимо получить такие уравнения дуг алгебраических кривых, в которые можно подставлять любые значения координат точек и сразу получать нужный результат. Для этого необходимо процесс решения СЛАУ использовать непосредственно на стадии моделирования кривых. В результате получен метод, который включает следующую последовательность действий.

Исходное точечное уравнение кривых Безье, которые в общем

где t 1 t ‒ дополнение параметра t до 1.

Использовав равномерное распределение текущего параметра t nj ,

получим:

16

раскладывается для параметра t и его дополнения до 1, то условие принадлежности дуги кривой конкретному пространству будет выполняться вне зависимости от размерности пространства. Иными словами, полученные параметрические уравнения дуги кривой могут быть использованы для пространства любой размерности.

Другим важным свойством полученной дуги кривой является равномерное распределение параметра, изначально заложенное в методику определения дуги кривой, проходящей через наперёд заданные точки. При этом для каждой конкретной координатной оси, имеющей равномерное распределение координат исходных точек, справедлива линейная зависимость между натуральным значением фактора, принадлежащего i й оси проекций и текущим параметром:

xi nlit bi ,

где xi − i-я ось проекций глобальной системы координат; n − порядок дуги кривой; bi − начальное значение фактора влияния, соответствующее i-й оси проекций; li − шаг равномерного распределения проекции исходных точек на i- ю ось.

Это свойство алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, в значительной мере сокращает объём необходимых вычислений при моделировании многопараметрических геометрических объектов, позволяя рассматривать их на регулярной сети точек.

В пятой главе получили дальнейшее развитие существующие и предложены новые геометрические и вычислительные алгоритмы моделирования одномерных и многомерных обводов в точечном исчислении применительно к решению задач многомерной интерполяции и аппроксимации с большим количеством исходных данных. В результате получены 5 геометрических алгоритмов моделирования одномерных незамкнутых обводов, 2 геометрических алгоритма для моделирования замкнутых обводов, 4 геометрических алгоритма моделирования двумерных обводов и обобщение предложенных геометрических алгоритмов моделирования на многомерное пространство для моделирования многомерных обводов по заданным условиям. Кроме того, исследованы дуги кривых, которые могут быть использованы для построения обвода необходимого порядка гладкости. Например, уравнение дуги кривой одного отношения 2-го порядка гладкости имеет следующий вид:

18

Рассмотрим пример одного из геометрических алгоритмов моделирования одномерного обвода ГА10. Пусть задан дискретный ряд точек:

уравнение (4).

Предложенный алгоритм моделирования обвода легко обобщается. Рассмотрим полученный на его основе геометрический алгоритм моделирования двумерных обводов.

Пусть задано m дискретно заданных кривых, каждая из которых состоит из n точек: