7577

12.Формируем массив образующих линий составной поверхности Ki, j ,

i1,2,..., m 1 , j 1,2,..., n :

Аналогичным образом можно обобщить предложенный алгоритм для моделирования многомерных обводов. При этом следует отметить, что все операции с точками и прямыми, заложенные в геометрический алгоритм, являются инвариантными относительно параллельного проецирования и потому легко обобщаются на многомерное пространство посредством покоординатного расчёта.

В шестой главе разработана геометрическая теория многомерной интерполяции и её аналитическое описание с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, которая позволяют представить любой геометрический объект в виде упорядоченного множества точек и являются теоретической основой геометрического моделирования многофакторных процессов.

Исследуя методологию решения задачи геометрического моделирования многофакторных процессов с помощью многомерной интерполяции, можно выделить следующую концептуальную последовательность действий:

1.Анализ, сортировка и предварительная обработка исходных данных.

2.Составление геометрической схемы конструирования геометрического объекта, так называемого дерева геометрической модели, которая соответствует исходной экспериментальной или статистической информации.

3.Выбор дуг интерполирующих кривых, проходящих через наперед заданные точки, которые на основе дерева геометрической модели будут формировать геометрический объект.

21

Рис.11. Геометрическая схема моделирования однофакторного процесса

Точечное уравнение (5) представляет собой символьную запись. Выполнив покоординатный расчёт, получим систему параметрических уравнений:

Аналогичным образом любое точечное уравнение можно представить в виде системы параметрических уравнений. Эта система представляет собой аналитическое описание проекций дуги плоской кривой на оси глобальной системы координат. При этом оси Ox соответствует фактор, влияющий на процесс или явление, а оси Oy искомая функция отклика.

Двухфакторный процесс определяется двухпараметрическим множеством точек – поверхностью трёхмерного пространства, проходящей через наперед заданные точки (рис. 12):

M1 n M1 j p1 j u ;

j 1

23

Для описания геометрической модели двухфакторного процесса (рис. 12) используется трёхмерная декартовая система координат (хотя предложенные уравнения справедливы и для аффинной системы координат).

Рис. 12. Геометрическая схема моделирования двухфакторного процесса

Причём осям Ox и Oy соответствуют факторы, влияющие на процесс, а оси Oz искомая функция отклика (рис. 12).

Трёхфакторный процесс определяется трёхпараметрическим множеством точек – гиперповерхностью четырёхмерного пространства, проходящей через наперед заданные точки (рис. 13):

Рис. 13. Дерево геометрической модели трёхфакторного процесса

24

Выполнив покоординатный расчёт, получим проекции гиперповерхности на оси глобальной системы координат, для которой оси Ox , Oy и Oz будут соответствовать факторам влияния, а Ot искомой функции отклика.

Обобщая такой подход получим геометрическую модель n -факторного процесса, как n -параметрическое множество точек или гиперповерхностьn 1 -го пространства, проходящую через наперёд заданные точки. Таким образом, принадлежность исходных точек искомому геометрическому объекту обеспечивается прохождением всех точек через направляющие линии на каждом этапе формирования дерева модели.

Следует отметить, что каждой точке, через которую проходит геометрический объект, соответствует конкретное значение экспериментальностатистической информации исходных данных искомой модели процесса.

Предложенная методика была апробирована на большом количестве разнообразных геометрических моделей, которые были сгруппированы в зависимости от размерности пространства. В результате в работе нашли своё отражение:

1) Геометрическая модель зависимости физико-механических свойств мелкозернистого бетона от состава комбинированного заполнителя.

Поставленная задача заключалась в определении оптимального состава трёхкомпонентного заполнителя (мартеновский шлак, горелая порода и доменный граншлак) для достижения наилучших физико-механических характеристик бетона. В результате использования метода многомерной интерполяции была получена геометрическая модель исследуемого процесса, представленная в виде 2-параметрического отсека поверхности отклика, проходящей через 10 наперёд заданных точек (рис. 14). С помощью геометрической модели был определено максимальное значение предела прочности при сжатии бетона – 9,24 МПа, которое можно обеспечить при следующем составе заполнителей: мартеновский шлак – 29,4% и горелая порода – 70,6%.

Рис. 14. Визуализация геометрических моделей с различными функциями отклика (с лева на право: водоцементное отношение, плотность, предел прочности при сжатии)

25

2) Геометрическая модель процесса распределения прочностных характеристик в бетонной колонне. В

данном случае необходимо было получить модель процесса распределения прочностных характеристик по всему объёму бетонной колонны. В результате использования метода многомерной интерполяции была получена геометрическая модель в виде 3-параметрического отсека гиперповерхности отклика, проходящей через 125 наперёд заданных точек. Визуализация полученного 3- параметрического отсека гипер-

3) Геометрическая модель процесса зависимости физико-механических свойств дегтеполимербетона. Постановка задачи сводилась к определению зависимости предела прочности при сжатии мелкозернистого дегтеполимербетона от 4-х факторов: вязкости дегтя, концентрации отсева поливинилхлорида в каменноугольном дорожном дегте, концентрации активатора на поверхности минерального порошка и температуры. Геометрическая модель решения поставленной задачи представляется в виде 4- параметрического отсека гиперповерхности отклика, проходящей через 81 наперёд заданную точку. Уравнение полученной гиперповерхности, принадлежащей 5-мерному пространству, приводится ниже:

R (((44w 52,8w2 22, 4)u2 ( 49, 2w 58, 4w2 24)u 32, 4w 31, 2w2 9, 2)v2(( 83, 6w 72,8w2 8)u2 (81, 4w 74w2 10,8)u 31,8w 29, 2w2 9)v

(7, 6w 2, 4w2 3, 2)u2 ( 11w 7, 6w2 3, 2)u 4w2 4, 4w 3, 6)t 2((( 119, 6w 119, 2w2 23, 2)u2 (148, 6w 149, 2w2 22)u 15, 4w 12, 4w2 9,8)v2

((179, 4w 158w2 6)u2 ( 196, 7w 179, 4w2 6,8)u 21,9w 16, 2w2 9,1)v( 8, 6w 1, 2w2 4, 4)u2 (13,9w 9, 4w2 5)u 7, 6w2 9,8w 8)t

((90,8w 80,8w2 0,8)u2 ( 119, 4w 110w2 4)u 1 25, 2w 26, 4w2 )v2(( 115,8w 104, 4w2 3, 6)u2 (141, 7w 131w2 6)u 1, 7 19, 4w 22w2 )v(1, 6w 1)u2 (1,9 5, 2w 4,8w2 )u 4,9 5, 2w2 7, 4w.

26

4) Геометрическая модель для оптимизации технологического процесса получения тетраэтоксисилана как пример систематизации многомерных данных на основе комплексного чертежа В.П. Радищева с помощью алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки (рис. 16).

Номер эксперимента

Рис. 16. Графическая визуализация геометрической модели технологического процесса получения тетраэтоксисилана

Принципиальный подход к систематизации многомерных данных, представленных на комплексном чертеже В.П. Радищева, с последующей их оптимизацией, заключается в том, что на индикаторной кривой выбирается оптимальное значение функции отклика, которое соответствует одному из экстремумов функции, и фиксируется значение параметра, при котором оно было достигнуто. Далее выдвигается научная гипотеза о том, что совместное взаимодействие факторов, зафиксированных с помощью конкретного значения параметра, обеспечивает оптимальное значение функции отклика. Подставляя значение оптимального параметра в уравнения каждого фактора, получим оптимальные значения факторов, влияющих на функцию отклика. Реализация такого подхода возможна лишь в том случае, когда движение текущих точек всех моделируемых кривых согласовано с помощью одного и того же параметра.

Задача геометрического моделирования: оптимизировать значения входящих параметров для достижения максимального содержания тетраэтоксисилана в продукте (без этилового спирта).

Полученный результат: максимальное значение содержания тетраэтоксисилана в продукте P 87,873% было достигнуто при значении параметра t 0,204, которому соответствует следующая комбинация значений

27

входящих параметров: содержание основного вещества в четыреххлористом кремнии C1 97,618%, содержание воды в этиловом спирте C2 0,038% , мольное соотношение реагирующих веществ C3 1: 4,317 и температура реакции T 28,095 C.

Седьмая глава посвящена разработке методов аппроксимации геометрических объектов многомерного пространства, проходящих через наперёд заданные точки. При этом возможны два принципиальных подхода:

1)Аппроксимация геометрических объектов путём выделения узловых точек из исходных.

2)Аппроксимация путём минимизации суммы квадратов расстояний между узловыми точками и исходными.

В первом случае можно достичь высоких показателей точности за счёт использования исходных данных для моделирования в качестве узловых точек аппроксимации. Однако при использовании такого подхода возникают сложности выбора узловых точек аппроксимации. Часто такой выбор имеет субъективный подход. Кроме того, такой подход для каждой конкретной задачи предусматривает уникальное её решение, которое подразумевает выбор аппроксимирующей функции и узлов аппроксимации из имеющихся исходных данных.

Второй подход подразумевает автоматизированный поиск значений параметров аппроксимирующего геометрического объекта, удовлетворяющих условию минимизации суммы квадратов расстояний между узловыми точками

иисходными. Фактически эта идея принадлежит методу наименьших квадратов, однако его достаточно сложно использовать на нерегулярной сети точек многомерного пространства. В данном случае существует возможность автоматизированного последовательного перебора аппроксимирующих геометрических объектов для определения необходимого значения точности аппроксимации. В работе проведены исследования обоих подходов на примере моделирования прочностных характеристик бетонной колонны. При этом исходные данные включали 125 точек, принадлежащих 4-мерному пространству.

В первом случае 3-параметрическая модель гиперповерхности отклика, принадлежащую 4-мерному пространству, описывается следующим уравнением:

28

17776, 49zxy x y z 3089,9z2 xy 305,18z2 x2 y297,66z2 x y 701,9z x2 y2 5688, 48zxy

36,13z2 224,61zx 224,61zy 429, 22z 123,5,

Eb

упругости стандартного образца.

При этом был достигнут коэффициент детерминации R2 0,94 .

Во втором случае было получено другое уравнение 3-параметрической модели гиперповерхности отклика с коэффициентом детерминации R2 0,964:

24666,74x2 yz 24666,74xy2 z 5712,04z2 xy 7230,26x2 y2302,42z2 x2 302,42z2 y2 747,66x2 z 96,77z2 x 96,77z2 y 747,66 y2 z

2313,68x2 y 2313,68xy2 7893,35xyz 37,23x2 37,23y2 37,36z2740,38xy 239,25xz 239,25yz 11,91x 11,91y 71,21z 122,67.

Как видно из полученных результатов обе аппроксимирующие модели 3- параметрической гиперповерхности отклика при использовании имеют достаточно высокий уровень достоверности. Вместе с тем второй подход является более предпочтительным с точки зрения автоматизации процесса аппроксимации геометрических объектов многомерного пространства.

Кроме того, в 7 главе было предложено использовать многомерную аппроксимацию для определения многомерных геометрических объектов, имеющих в узловых точках требуемые дифференциальные характеристики, что в свою очередь используется для численного решения дифференциальных уравнений путём аппроксимации геометрическими объектами многомерного аффинного пространства, проходящими через узловые точки.

В соответствии с исследованиями Л. Эйлера всё многообразие дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных путём замены переменных может быть сведено к уравнению трёх типов: эллиптическому, параболическому и гиперболическому. Однако если выполнять аппроксимацию решения дифференциальных уравнений с помощью геометрических объектов, проходящих через наперёд заданные точки, то классификационный признак будет другим, а именно количество текущих

29

параметров, определяющих геометрический объект в пространстве. Так геометрическим решением одномерных уравнений математической физики является отсек поверхности отклика (2-параметрическое множество точек: U=f(x,t)), двумерных – отсек гиперповерхности, принадлежащий 4-мерному пространству (3-параметрическое множество точек: U=f(x,y,t)), трёхмерных – отсек гиперповерхности, принадлежащий 5-мерному пространству (4- параметрическое множество точек: U=f(x,y,z,t)) и т.д.

Для построения искомых геометрических объектов формируется регулярная сеть узловых точек, размерность которой зависит от количества параметров моделируемого геометрического объекта. Для одномерного случая

– одна из осей системы координат, соответствующая исследуемому фактору, разбивается на участки, соответствующие узловым точкам. Для двумерного случая – две оси системы координат, соответствующие исследуемым факторам, разбиваются на участки, формируя тем самым сеть узловых точек в плане. Для трёхмерного случая – три оси системы координат, соответствующие исследуемым факторам, разбиваются на участки, формируя тем самым сеть узловых точек в трёхмерном пространстве и т.д. В узлах сети вычисляются такие значения функции отклика, чтобы координаты узловых точек соответствовали исходному дифференциальному уравнению. Таким образом, получается геометрический объект, соответствующий решению дифференциального уравнения. При этом для определения граничных условий достаточно ввести координаты некоторых исходных точек, чтобы они проходили через нужные линии, соответствующие граничным условиям.

Например, решим предложенным способом неоднородное уравнение

U 1,t 2, U x,0 x 1.

Смоделировав 16-точечный отсек поверхности отклика проходящий через 3 исходные прямые, соответствующие граничным условиям и удовлетворяющий исходному дифференциальному уравнению, при a=1,5, получим:

U x,t 1 x 0,608t3 x3 1,212t3 x 1,247t2 x3 2,634t2 x

0,785tx3 1,783tx 0,604t3 x2 1,387t2 x2 0,998tx2.

Для верификации полученных результатов, решим это же уравнение методом разделения переменных:

30