7591

80

y

a

b

x1

x2

Рис.3.6

Смещение в процессе движения верхней призмы В относительно нижней призмы А будет равно (a-b). Тогда смещение верхней призмы относительно неподвижной системы координат составит S+(a-b).

В конечный момент времени координаты центров масс призм А и В будут соответственно равны

Вданной задаче имеем механическую систему, состоящую из двух тел: однородных призм А и В. Внешними силами, приложенными к системе

являются силы тяжести: Р1 и Р2 и реакция гладкой поверхности основания призмы А, направленная по вертикали (на рисунке не показана). Все эти внешние силы вертикальны, поэтому сумма их проекций на горизонтальную ось равна нулю.

Всоответствии со следствием 2 из теоремы о движении центра масс делаем вывод: поскольку сумма проекций внешних сил на ось х равна нулю,

Запишем выражение для определения положения центра масс в конечном положении системы с учетом изменения начальных координат точек приложения сил Р1 и Р2:

81

Так как знаменатели в этих выражениях равны, то приравняем числители дробей:

Смещение призмы В получилось отрицательным, это значит, что она сместится влево.

Задача 2.2. Определить перемещение S плавучего крана, поднимающего груз весом Р1=2т, при повороте стрелы крана на 300 до вертикального положения (рис. 7). Вес крана Р2=20т; длина стрелы l =8 м. Сопротивлением воды пренебречь.

P

x1

1

Рис.3.7

Решение.

В данной задаче имеем механическую систему, состоящую из двух тел: плавучего крана и груза. Внешними силами, приложенными к системе являются вес крана Р1, вес груза Р2 и давление воды, направленное снизу вверх (на рисунке не показано). Все эти внешние силы вертикальны, поэтому сумма их проекций на горизонтальную ось равна нулю.

82

В соответствии со следствием 2 из теоремы о движении центра масс делаем вывод: поскольку сумма проекций внешних сил на ось х равна нулю,

и следовательно, центр тяжести системы по оси х не перемещается, то есть

xC = const.

Введем неподвижную систему координат Оxy (см. рис. 7).

Запишем выражение для определения положения центра масс в начальном положении системы:

конечном положении системы с учетом изменения начальных координат точек приложения сил Р1 и Р2:

Решение.

Из формулировки теоремы о движении центра масс

<

¡M µ ¢в¶ ´в,

¶HA

следует справедливость равенства соответствующих модулей:

maC = Re

84

ε = ω& = ϕ&& = π = const.

При t=0 кинематические параметры будут равны:

Видно, что при t=0 стержень занимает горизонтальное положение (ϕ = 0) .

Найдем модуль касательного и нормального ускорений:

M9 u ∙ ‘– _ ∙ ‘– ,M< p ∙ ‘– 0.

Поскольку модуль нормального ускорения центра масс равен нулю, то полное ускорение равно касательному ускорению.

Из теоремы о движении центра масс ¡M ´в

следует, что главный вектор внешних сил направлен в том же направлении, что и полное ускорение, то есть вертикально вверх (перпендикулярно отрезку ОС в положительном направлении вращения).

Решение.

В данной задаче однородный диск вращается относительно оси О, перпендикулярной плоскости диска. Центр масс находится в точке С, которая движется по окружности.

При этом касательное ускорение точки С направлено перпендикулярно отрезку ОС и равно

а нормальное ускорение точки С направлено от точки С к точке О и равно

85

3.2.3. Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме

Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость: » ·. Её также называют импульсом материальной точки.

Количеством движения механической системы называется геометрическая сумма количеств движения всех точек системы:

Количество движения характеризует только поступательную часть движения и никакого отношения не имеет к его вращательной составляющей.

Теорема

Производная по времени от количества движения механической

системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему:

¨» < ¢ µ в

¨# ¶HA ¶

или в проекциях на оси декартовой системы координат:

3.2.4. Теорема об изменении количества движения в интегральной форме

Импульсом силы за некоторый интервал времени (0,t ) называется величина,

равная интегралу:

½ ª+¢¨#.

O

Если ¢ EF48# то ½ ¢ ∙ ∆#, где t − интервал времени, в течение которого действовала сила.

Теорема

Для двух материальных точек оно равно сумме двух векторов

» mA·A m · , которые можно сложить по правилу параллелограмма:

Q "mAvA$ "m v $ "2 ∙ 4$ "3 ∙ 2$ 10"кг∙мс $.

Задача 2.8. По горизонтальной платформе, движущейся со скоростью v0, перемещается тележка с относительной скоростью u0. Найти скорость платформы при торможении тележки, если их массы равны M и m соответственно.

Решение.

На систему, состоящую из платформы весом P = Mg и тележки весом p = mg, помимо этих двух сил действует реакция дорожного полотна N, приложенная к основанию платформы (рис. 8).

N

v0 + u0

p P

Рис.3.8

Главный вектор внешних сил системы: R = P + p + N перпендикулярен оси Ox, поэтому Rx(e) = 0 и справедливо следствие из теоремы об изменении количества движения системы:

dQx/dt = Rx(e)

или Qx0 = Qxt .

88

В начальный момент времени абсолютная скорость тележки складывается из переносной, равной скорости платформы, и относительной – u0 , поэтому при t = 0 количество движения системы равно:

В момент времени t , соответствующий окончанию торможения тележки, количество движения системы равно:

где v – искомая скорость платформы. Приравнивая (1) и (2), получим:

v = [Mv0 + m(v0 + u0)]/(M + m) = v0 + mu0/(M + m).

3.2.5. Теорема об изменении кинетического момента

Теоремы о движении центра масс и об изменении количества движения описывают только поступательную часть движения твердого тела. Вращательную часть движения описывает теорема об изменении кинетического момента.

Моментом количества движения материальной точки относительно некоторого центра называется векторное произведение

±O § Å · ,

где r – радиус вектор точки, v – скорость.

Направление вектора момента количества движения определяется по правилу правого винта.

Кинетическим моментом механической системы относительно некоторого центра О называется сумма моментов количеств движения всех точек данной системы относительного этого центра:

ÇÇ

кинетический момент должен определяться не суммированием, а путем интегрирования по объему.