8035
.pdf
Делаем проверку найденного решения 1; 2;3 :
1 2 3 2 верно,2 1 3 1 верно,3 1 2 5 верно.
Ответ: 1; 2;3 .
§4. Функция одного переменного.
Основные понятия
Понятие функции является одним из главных понятий математики. С этим понятием часто встречаемся в природе, изучая различные процессы и явления.
Пусть D – некоторое множество действительных чисел. Если каждому числу x D – поставлено в соответствие по какому-то правилу
или закону f |
единственное действительное число y , то говорят, что на |
||
множестве |
D |
задана функция одного переменного и |
обозначается: |
y f x . Число x D называется аргументом функции, |
y – значением |
||
функции, множество D – областью определения функции, множество всех |
|||
значений |
y , которые соответствуют числам множества |
D – областью |
|
значений функции – E . (См. рис. 28)
y
E |
y f x |
y |
|
D
0 |
x |
x |
Рис. 28
11
Графиком Г f функции y f x называется множество всех
точек x, y плоскости xOy таких, что x D , а y f x , то есть
Г f x, y x D, y f x .
Далее будем задавать функцию одного переменного аналитически, то есть с помощью формулы. В этом случае под областью определения D функции понимают множество всех тех значений x , для которых данная формула имеет смысл.
Пример. Формула y x2 задает функцию y одного переменного x .
Поскольку данная формула имеет смысл при всех действительных значениях переменной x , то область определения D данной функции есть множество всех действительных чисел R , то есть D R. Так как квадрат действительного числа – число неотрицательное, то множество значений
E данной функции y x2 есть множество всех неотрицательных чисел,
то есть E y |
|
y 0 . |
Графиком функции |
y x2 является парабола в |
||||
|
||||||||
плоскости xOy с вершиной в точке O , |
ветви которой направлены в |
|||||||
положительном направлении оси Oy . (См. рис. 29) |
|
|||||||
|
|
|
y |
|
|
|
y x2 |
|
|
|
|
|
E |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
-1 |
0 |
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 29 |
|
|
|
Пусть задана функция |
y f x , |
x D , такая, что для x1 |
x2 , |
|||||
f x1 f x2 , то есть |
для любого y E |
найдется единственное x D |
||||||
такое, что f x y или |
x f 1 y . |
Тем самым определена функция |
f 1 , |
|||||
называемая функцией, обратной к функции f . (См. рис. 30)
12
y
y f x
y
0 |
x f 1 y |
x |
|
Рис. 30 |
|
Покажем как строим график обратной функции. Если для обратной функции обозначить аргумент через x , а функцию через y , то графики
функций и x f 1 y совпадают. Разница состоит лишь в том,
что для функции y f x ось Ox – ось абсцисс, а ось Oy – ось ординат,
а для функции x f 1 y роль осей меняется.
Если же обозначить аргумент обратной функции через x , а значение функции через y , то получается иной график. Именно, нужно перевести друг в друга оси Ox и Oy . Это делается с помощью отражения всей плоскости xOy относительно биссектрисы первого координатного угла, то есть прямой y x . При этом отражении график функции
переходит в график обратной функции Итак, график обратной функции симметричен графику заданной
функции относительно прямой y x . (См. рис.31)
y y f 1 x
y x
y f x
0 |
Рис. 31 |
x |
|
|
13
Пример. Функция y ex является обратной функцией к функции y ln x. (См. рис. 32)
y |
y ex |
y x
y ln x
1
0 1 |
Рис. 32 |
x |
|
|
Основные элементарные функции
Следующие шесть типов функции называются основными элементарными функциями:
I. Постоянная функция y C – функция, ставящая в соответствие каждому действительному числу x одно и то же число C . (См. рис. 33)
D R, E C .
y
y C
C
0 |
x |
x |
Рис. 33
II. Степенная функция y x .
а) – целое число.
Если – четное, то D R, E y y 0 .
14
y
y x ( - четное, целое)
0 |
x |
|
Рис. 34 |
Если – нечетное, то D R, E R. |
|
y |
y x ( - нечетное, целое) |
|
0 |
|
x |
|
|
|
Рис. 35 |
Графики функции y x |
( – целое) показаны на рис. 36 и рис. 37 |
||
соответственно. |
|
|
|
В случае |
если |
– четное, D R \ 0 – множество всех |
|
действительных чисел, кроме нуля, E y y 0 .
y
y x ( - четное)
0 x
Рис. 36
В случае если – нечетное, D R \ 0 , E R \ 0 .
15
y |
y x |
( - нечетное) |
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 37 |
|||||||||
б) – рациональное, то есть |
m |
, m, n , n 0 ; |
||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y x x |
|
n xm . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример графика функции y x |
|
|
или y |
x |
. (См. рис. 38). |
|||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||
D x |
|
x 0 , E y |
|
y 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 1 |
4 |
|
|
x |
||||||||||||||
Рис. 38
2
Пример графика функции y x3 или y 3 x2 .(См. рис.39).
D R , E y y 0 .
|
y |
|
2 |
|
|
|
|
y x 3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
-8 |
0 |
1 |
8 |
x |
|
Рис. 39
16
III. Показательная функция |
|
y ax a 0, a 1 , D R , |
E : y 0 . |
y |
y |
y ax a 0 |
y ax 0 a 1 |
1
0 |
x |
Рис. 40
1
0 |
x |
Рис. 41
IV. Логарифмическая функция |
|
|||||||
|
|
0, a |
|
|
D x |
|
x 0 |
E R |
|
||||||||
y log a x a |
|
|
1 , |
|
|
, |
||
y |
|
y |
y log a |
x 0 a 1 |
|
|
|||
|
|
|
||
y log a |
x a 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 1 |
x |
0 |
|
x |
|
|
|
Рис. 42 |
Рис. 43 |
V. Тригонометрические функции
а) y sin x , D R , |
E 1;1 . |
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
x |
|
|||
|
2 |
|
|
-1
Рис. 44
17
б) y cos x , D R , E 1;1 .
y
|
3 |
|
|
|
2 |
|
2 |
1
0 |
|
|
3 x |
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
-1
Рис. 45
в) y tg x , |
|
|
|
|
– множество всех |
D R \ |
|
n, n Z |
|||
|
|
2 |
|
|
|
действительных чисел R , за исключением точек |
|
n , n , E R. |
|||
|
|
|
|
2 |
|
y
3 |
|
|
0 |
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|||
|
|
2 |
|
2 |
x
Рис. 46
18
г) y ctg x , D R \ n,n Z , E R. y
|
|
0 |
|
|
3 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
Рис. 47
x
IV. Обратные тригонометрические функции
|
|
; |
|
а) y arcsin x , D 1;1 , E |
|
. |
|
|
2 |
|
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
-1 |
0 |
1 |
x |
2 Рис. 48
б) y arccos x , D 1;1 , E 0; .
y
2
-1 |
0 |
1 |
x |
Рис. 49 |
19
|
|
|
; |
|
|
в) y arctg x , D R , E |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0
2
x
|
Рис. 50 |
|
г) y arcctg x , D R , |
E 0; |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
x |
|
Рис. 51 |
|
Предел числовой последовательности |
||
Функция y f n , заданная на множестве |
всех натуральных |
|
чисел n называется числовой последовательностью и обозначается xn ,
где элемент xn f n соответствует номеру n . Будем задавать числовую последовательность xn формулой своего общего члена xn .
20