8035
.pdf
|
Пример. Найти асимптоты кривой y |
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
;1 и |
||||||
|
Решение. Данная функция определена |
в интервалах |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1; . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Так как lim |
|
x2 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
1 |
|
, |
то прямая x 1 есть вертикальная |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
x 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
асимптота данной кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Горизонтальных |
|
|
асимптот |
|
кривая |
|
не |
имеет, так |
как |
|
предел |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
x2 |
|
lim |
|
|
x2 |
|
lim |
|
2x |
|
|
|
не |
|
является |
конечной |
|||||||||||||||||||||||
x 1 |
|
x 1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
величиной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y kx b : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k lim |
lim |
|
|
|
x |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
x |
|
lim |
|
|
x |
lim |
|
1 |
1; |
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
x |
x 1 x |
x |
x 1 |
|
x |
|
|
x |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
b lim f x kx |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
1 x |
lim |
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, существует наклонная асимптота y x 1.
Участки возрастания и убывания функции.
Точки минимума и максимума |
|
|||
Функция y f x |
называется возрастающей (убывающей) на |
|||
интервале a;b , если для любых точек x1 , |
x2 |
a;b таких, |
что x1 x2 , |
|
имеет место неравенство: |
f x1 f x2 f x1 |
f x2 . |
|
|
Дифференцируемая |
на интервале |
a;b функция |
y f x |
возрастает (убывает) на интервале a;b , тогда и только тогда, когда для
любого x a;b : f x 0 f x 0 .
Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции
yf x , если:
1)функция y f x определена в некоторой - окрестности точки x0 ;
2) для любого x из - окрестности точки x0 справедливо неравенство: |
|
f x f x0 |
f x f x0 (См. рис. 60 и 61). |
|
41 |
y
f x0 f x
x0 |
x |
x0 0 |
x0 |
|
x |
|
|
|
|
т. max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
f x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x0 |
x |
x |
|
x |
|
|
|
0 |
т. min |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 61 |
|
|
|
|
||
Точки максимума и минимума функции называются точками |
||||||||
экстремума функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимое условие экстремума: если |
x0 |
– точка |
экстремума |
|||||
функции y f x , то в этой точке либо |
f x0 0 , |
либо производная не |
||||||
существует. |
|
|
|
|
|
|
|
y f x |
Достаточные |
условия |
экстремума: пусть |
функция |
дифференцируема и непрерывна в – окрестности критической точки x0 кроме, быть может, самой точки x0 , тогда, если ее первая производная меняет знак минус на плюс (плюс на минус) при переходе через точку x0 , то x0 – точка максимума (минимума) функции y f x .
Пример. Найти интервалы монотонности и точки экстремума
функции y |
x2 |
|
. |
|
x 1 |
||||
|
|
Решение. Областью определения D данной функции y является вся числовая ось R , кроме точки x 1, то есть D R \ 1 .
Находим первую производную:
42
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2x x 1 x2 1 |
|
2x2 2x x |
2 |
|
|
x2 2x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
x 1 2 |
|
|
|
|
x 1 2 |
|
|
x 1 2 |
|
||||||||||
Используя необходимые условия экстремума, находим |
|||||||||||||||||||||||
критические точки: |
|
|
|
|
|
|
|
x x 2 0, откуда x1 |
|
||||||||||||||
y 0 x2 2x 0 |
или |
0 или x2 2. |
|||||||||||||||||||||
y не существует x 1 2 |
0 , откуда x3 1. |
|
|||||||||||||||||||||
Используем достаточные условия экстремума. Наносим три |
|||||||||||||||||||||||
критические |
точки |
|
x1 0 ; |
x2 2; |
|
x3 1 на |
область |
определения D |
функции y . Они разбивают область D на четыре интервала. Определяем
знак функции y |
в каждом интервале. |
|
|
|
|
||
|
y |
+ |
– |
– |
+ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
y |
0 |
1 |
2 |
x |
|
|
Так как x1 |
0 D и при переходе через эту точку |
y |
меняет знак |
||||
плюс на минус, то x1 |
0 – точка максимума функции y . |
|
|
||||
Так как x2 |
2 D и при переходе через эту точку |
y |
меняет знак |
||||
минус на плюс, то x2 |
2 – точка минимума функции y . |
|
|
||||
Так как при любом x ;0 |
или x 2; |
|
y 0 , то в |
||||
интервалах ;0 и 2; функция y монотонно возрастает. |
|||||||
Так как при любом x 0;1 или |
x 1; 2 |
y 0 , |
то в интервалах |
||||
0;1 и 1; 2 функция y монотонно убывает. |
|
|
|
||||
Интервалы выпуклости и вогнутости кривой. |
|
||||||
|
|
Точки перегиба |
|
|
|
||
График функции y f x |
называется выпуклым вниз в интервале |
a;b , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке x этого интервала (См. рис. 62).
43
y
Рис. 62
a |
x |
0 |
b |
x |
График функции y f x называется выпуклым вверх в интервалеa;b , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке x этого интервала (См. рис. 63).
y
|
|
a 0 |
x |
b |
x |
|
|
|
|
Рис. 63 |
|
|
|
Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика |
||||||
функции: |
|
|
|
то график функции y f x |
||
если |
|
|
|
|||
f x 0 в интервале a;b , |
||||||
является выпуклым вниз в этом интервале; если |
же |
|
||||
f x 0 , то в |
||||||
интервале a;b график функции y f x – выпуклый вверх. |
||||||
Пусть функция y f x |
дифференцируема в интервале a;b и |
|||||
x0 a;b . |
Точку |
x0 ; f x0 |
графика |
функции |
y f x называют |
|
точкой перегиба этого графика, |
если существует такая – окрестность |
|||||
точки x0 оси Ox , |
в границах которой график функции |
y f x слева и |
||||
справа от точки x0 |
имеет разные направления выпуклости (См. рис. 64). |
44
y
|
|
a |
x |
0 |
x |
0 |
x |
b |
x |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 64 |
|
|
|
|
Необходимое условие перегиба функции y f x в точке x0 : если |
||||||||
x0 |
– точка перегиба функции |
|
y f x и |
функция y f x имеет в |
|||||
некоторой – окрестности точки x0 |
вторую производную, непрерывную в |
||||||||
точке x0 , то |
f x0 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достаточное условие перегиба функции y f x в точке x0 : если |
||||||||
функция y f x непрерывна в – окрестности точки x0 , имеет в точке |
|||||||||
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конечную или бесконечную определенного знака производную f x0 , |
|||||||||
а функция |
|
|
|
– |
окрестности точки x0 , кроме быть |
||||
f x определена в |
может самой точки x0 , и меняет знак при переходе через эту точку, то x0 –
точка перегиба функции y f x .
Пример. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба функции y x3 3x 1.
Решение. Область определения D данной функции есть множество всех действительных чисел R , то есть D R .
Находим:
y x3 3x 1 3x2 3 ; y y 3x2 3 6x .
Используя необходимое условие перегиба, находим:
x 0 – точка «подозрительная» на точку
перегиба.
Используем достаточные условия перегиба:
Отметим точку x 0 на области D и определим знаки y слева и справа от точки x 0.
45
y |
|
|
|
y |
0 |
x |
|
Так как x 0 D и при переходе через эту точку |
y меняет знак, то |
x 0 – точка перегиба данной функции. |
|
|
|
;0 |
||
Так как для любого |
x 0 |
|
то |
в |
интервале |
|
y x 0 , |
||||||
функция y выпукла вниз. |
|
|
|
|
|
0; |
Так как для любого |
x 0 |
|
то |
в |
интервале |
|
y x 0, |
функция y выпукла вверх.
Основные требования к результатам исследования
ипостроения графика:
1)все результаты исследования функции следует обосновать в ходе решения. Все исследования функции, включая все необходимые вычисления: вычисление пределов функции, вычисление производных в точках, решение уравнений, являются необходимой частью решения задачи на построение графика функции или кривой;
2)все результаты должны быть получены точно. Необходимые приближенные вычисления привести в решении задачи;
3)масштаб построения графика следует выбирать так, чтобы были отражены основные характерные моменты поведения графика функции;
4) на рисунке изобразить пунктирной прямой вертикальные, наклонные или горизонтальные асимптоты, указать уравнения асимптот;
5) обозначить точки минимума и максимума функции, указать их координаты;
6) обозначить точки перегиба графика функции, указать их координаты;
7) обозначить координаты точек пересечения кривой с координатными осями.
Пример. Построить график функции y x 3 2 .
x 1 3
Решение.
1. Областью определения D данной функции y является множество всех действительных чисел R , кроме x 1, то есть D R \ 1 .
2. Поскольку y x |
x 3 2 |
|
x 3 2 |
и y x y x и |
x 1 3 |
|
|||
x 1 3 |
||||
y x y x , то функция |
y не является четной и нечетной, то есть |
данная функция y общего вида.
46
3. Находим асимптоты кривой. |
|
|
|
|
|||
Поскольку lim |
x 3 2 |
|
1 3 2 |
|
4 |
, то |
x 1 – уравнение |
x 1 |
1 1 |
0 |
|||||
x 1 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вертикальной асимптоты графика данной функции y .
Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y kx b :
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
x 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
k lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
x 3 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
x x 1 |
|
|
x x 1 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
2 x 3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
x 3 3 x 3 x 1 2 1 |
|
x 1 2 |
x 1 3x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
2x 6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x 1 4x |
|
1 |
|
|
x 1 2 4x 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
0 |
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
2 x 1 4x 1 x 1 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
y x kx lim |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
b lim |
|
x |
|
|
3 |
|
0 x lim |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
x 3 2 |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 3 |
|
3 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
lim |
|
x 3 |
|
|
2 |
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
0 0. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x 1 2 |
|
|
|
2 x 1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
x |
|
|
3 |
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно |
|
y 0 – |
|
уравнение |
|
горизонтальной |
асимптоты |
|
графика |
данной функции y .
4. Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.
|
2 |
|
2 |
|
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
y |
x 3 |
|
x 3 |
|
x 1 x 3 |
x 1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
2 x 3 x 1 3 x 3 2 3 x 1 2 |
|
|
||
x 1 6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2x2 8x 6 3x2 18x 27 |
x2 10x 21 |
|
||
|
|
x 1 4 |
|
x 1 4 |
|
|
|
47 |
|
|
|
|
x 3 x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Используя необходимое условие экстремума, находим |
y 0 |
|
|||||||||||||||||||||||
x 3 x 7 0, |
откуда |
|
x1 3 |
или x2 7 ; |
y не существует |
|
|||||||||||||||||||
x 1 4 |
0, откуда x3 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Используем достаточные условия экстремума. Найденные три |
|||||||||||||||||||||||||
критические точки наносим на область определения D и определяем знак |
|||||||||||||||||||||||||
y в каждом из четырех интервалов. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
7 |
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
0 3 0 7 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y 0 |
|
|
|
0 1 4 |
|
|
|
|
|
|
21 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Так как |
x1 |
3 D |
и при переходе через эту точку |
y меняет знак |
|||||||||||||||||||||
минус |
на |
плюс, |
то |
x1 |
3 |
– |
точка |
минимума |
функции |
y , |
|||||||||||||||
y 3 |
3 3 2 |
|
|
0 |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 1 3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как |
x2 |
7 D и при переходе через эту точку |
y |
меняет знак |
|||||||||||||||||||||
плюс |
на |
минус, |
то |
x2 |
7 |
– |
точка |
максимума |
функции |
y , |
|||||||||||||||
y 7 |
7 3 2 |
|
16 |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
216 |
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Так |
как |
при |
x 1, |
1 x 3, |
x 7 |
|
|
в |
интервалах |
||||||||||||||||
y x 0 , то |
|||||||||||||||||||||||||
;1 , 1;3 , |
7; функция y монотонно убывает. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Так как при 3 x |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
функция y |
|||||||||||||||
y x 0, то в интервале 3; 7 |
монотонно возрастает.
5. Находим интервалы выпуклости (вогнутости) кривой и точки
перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 x 7 |
|
|||
y y |
|
4 |
|
||
|
|
|
x 1 |
|
|
x 3 x 7 x 1 4 x 3 x 7 x 1 4x 1 4 2
48
x 7 x 3 x 1 4 x 3 x 7 4 x 1 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2x 10 x 1 4 x2 10x 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2x2 12x 10 4x2 40x 84 |
|
2x2 28x 74 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Итак, |
y |
2 x2 14x 37 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя |
необходимое условие перегиба, |
находим y |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x2 14x 37 0 , |
или x |
|
|
|
|
|
|
|
|
196 148 |
|
|
|
|
x |
7 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, откуда |
3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
||||||
y не существует x 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 , откуда x3 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Используем достаточные условия перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||
y |
0 |
|
1 |
|
|
7 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 2 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74 |
74 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Так как точки x1,2 7 2 |
3 |
D и при переходе через эти точки |
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
меняет знак, то x1,2 7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 – точки перегиба графика функции y . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так |
как при |
|
x 1, |
|
|
|
7 2 |
|
3 x 7 2 |
3 |
|
то |
в |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
x 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интервалах ;1 , |
7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция y выпукла вниз. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3;7 2 |
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так |
как при |
|
1 x 7 2 |
3 , |
|
|
x 7 2 |
3 |
|
то |
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
x 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1;7 2 |
|
|
, 7 2 |
3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
интервалах |
|
3 |
функция y выпукла вверх. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Находим координаты точек пересечения кривой с координатными |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
осями: |
|
|
|
|
|
x 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ox : |
y 0 |
|
|
0 , откуда x 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 3 2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Oy : x 0 y 0 1 3 |
|
|
9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Строим эскиз графика данной функции. (См. рис. 65).
49
y
|
2 |
|
|
y 0 |
27 |
|
|
|
0 1 3 7 2 3 7 |
7 2 3 |
x |
-9
x 1 |
Рис. 65 |
|
50