8215
.pdf
120
Решение
1. Согласно определению, Э.Д.С. индукции определяется изменением
магнитного потока поля B |
через замкнутую поверхность S со временем: |
||||
|
E |
|
= − |
d Φ (t ) |
. |
|
инд |
|
|||
|
|
|
dt |
||
|
|
|
|
||
2. Найдем магнитный поток: |
|
|
|
|
|
Ф = ∫ |
|
|
|
|
|
BdS = ∫BdS cosα(t )= BS cosα(t ), |
|||||
S (t ) |
S |
|
|
|
|
где α(t ) – угол между векторами B |
и n , т.е. угол поворота α (t )= ω ×t . |
||||
3. Подставляя значение угла поворота в формулу для магнитного потока, и вычисляя производную по времени от этого выражения, получим окончательное значение ЭДС индукции:
Ei = ω × BS sin (ω ×t ).
Ответ: Ei = ω × BS sin (ω ×t ).
Задача №2. Два параллельных металлических стержня лежат в однородной плоскости с бесконечным прямолинейным током I на расстояниях a и b по одну сторону от него (a < b). Вдоль стержней скользит перпендикулярно проводник AB со скоростью υ по направлению к сопротивлению R0, на
которое |
замкнуты стержни. Показать, что мощность индукционного тока в |
контуре |
AR0B равна мощности сил, которые надо приложить к проводнику AB |
, чтобы он двигался равномерно вверх.
121
Дано:
I; a ; b;
a <b ;
R0.
Показать:
P =Pi .
Решение.
1. Проводник |
AB |
движется в магнитном |
поле напряженностью |
H , |
создаваемым |
током |
I. Поскольку площадь |
контура AR0B при |
этом |
уменьшается, возникает изменение магнитного потока через замкнутый контур.
В результате в контуре возникнет Э.Д.С. индукции и потечет
индукционный ток Ii . Таким образом, на проводник с током AB , находящийся в магнитном поле прямого тока I будет действовать сила Ампера.
2. Напомним, что магнитное поле прямого тока может быть вычислено по известному выражению:
H = I .
2πR
3. Согласно правилу левой руки, сила Ампера, действующая на проводник AB , направлена против скорости движения контура.
Величина силы Ампера определяется выражением:
122
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
I |
I |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
FA |
= μ0 Ii ∫ H ´ dl |
|
= - j |
× μ0 Ii ∫ H × dx = - j |
× μ0 |
i |
|
ln |
|
, |
|||
2π |
|
||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где Ii - индукционный ток, возникающий в контуре AR0B, H - напряженность
магнитного поля, создаваемого током I, вектор dl направлен вдоль тока Ii . 4. Для того, чтобы проводник AB двигался равномерно со скоростью υ , действующая сила Ампера должна быть уравновешена некоторой механической силой F = FA , направленной в сторону движения проводника
(вверх).
5. Мощность силы Ампера может быть вычислена как:
P = F ×υ = μ0 Ii I ×V ln |
b |
. |
|
|
|||
A |
2π |
a |
|
|
|
|
|
6. Найдем величину индукционного тока Ii , текущего в контуре. Из закона Ома следует:
Ei = Ii × R0 .
С другой стороны, вследствие изменения магнитного потока возникает электродвижущая сила
Eинд = - |
d F (t ) |
. |
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
Найдем магнитный поток через контур: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ I |
|
|
dS |
|
Ф= ∫ BdS |
= |
2π0 |
∫ |
|
. |
||
R |
|||||||
S (t ) |
|
|
|
S (t) |
|
|
|
Определим элемент площади в виде: dS =dx×dy. Следовательно, магнитный поток
|
μ0 I |
y(t) b |
dy × dx |
|
μ0 I |
× y (t ) × ln |
b |
|
Ф = |
|
∫ ∫ |
|
= |
|
|
. |
|
2π |
R |
2π |
a |
|||||
|
|
0 a |
|
|
|
|
|
|
Зная магнитный поток, можно найти ЭДС как
Ei |
= - |
d F |
= |
μ0 I |
× ln |
b |
× |
dy (t ) |
= |
μ0 I |
× ln |
b |
×υ , |
dt |
2π |
|
|
2π |
|
||||||||
|
|
|
|
a dt |
|
|
a |
||||||
123
где υ – скорость движения проводника AB .
Используя закон Ома, вычислим значение индуцированного тока в контуре:
Ik |
= - |
μ0 I |
ln |
b |
×υ . |
|
2πR0 |
a |
|||||
|
|
|
|
5. С учетом вычисленного значения индукционного тока, выражение для его мощности согласно закону Джоуля-Ленца имеет вид:
2 |
|
|
μ02 I 2υ2 |
|
b |
2 |
μ02 I 2υ2 |
b |
2 |
|||||||
Pi = Ii |
R0 |
= |
|
|
|
ln |
|
|
× R0 = |
|
|
|
ln |
|
. |
|
(2π R |
) |
2 |
|
(2π ) |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
R |
a |
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
6. С другой стороны, мощность механической силы, действующей на контур:
2 |
2 |
2 |
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
μ0 |
I υ |
ln |
|
|
|
|
2 2 2 |
|
b |
2 |
|||
a |
|
|||||||||||||
P = |
|
|
|
|
= |
μ0 I |
υ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
. |
|||
2π × 2π × R0 |
|
(2π ) |
2 |
R |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
7. Таким образом, |
P =P |
, что и требовалось доказать. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
P =P. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧИ
1.В однородное магнитное поле напряженностью H = 100 кА/м помещена квадратная рамка со стороной 10 см. Плоскость рамки составляет с направлением магнитного поля угол α = 60°. Определить магнитный поток, пронизывающий рамку.
2.В одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом с током
I = 20 A расположена квадратная рамка со стороной, длина которой a = 20 см , причем две стороны рамки параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей стороны рамки равно 5 см. Определить магнитный поток, пронизывающий рамку.
3.В магнитном поле, индукция которого В = 0,05 Тл , вращается стержень длиной 1 м. Ось вращения, проходящая через один из концов стержня, параллельна направлению магнитного поля. Найти магнитный поток Ф, пересекаемый стержнем при каждом обороте.
124
4. Прямоугольная рамка, стороны которой a = 10 см и b = 15 см , вращается в однородном магнитном поле с частотой ν = 4 c-1 . Ось вращения рамки находится в ее плоскости и перпендикулярна к направлению магнитного поля. Напряженность магнитного поля H = 80 кА/м . Запишите зависимость магнитного потока Ф, пронизывающего рамку, от времени t
и определите наибольшее значение этого магнитного потока.
5.Кольцо из алюминиевого провода помещено в магнитное поле
перпендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца d = 30 cм , диаметр провода D = 2 мм. Определить скорость изменения магнитного поля, если ток в кольце I = 1 A .
6.Круговой проволочный виток площадью S = 10 см2 находится в однородном магнитном поле, индукция которого В = 0,8 Тл. Плоскость витка перпендикулярна к направлению магнитного поля. Найти среднюю Э.Д.С. индукции, возникающую в витке при выключении поля в течение времени t = 15 мc .
7.В магнитное поле, изменяющееся по закону B(t ) = 0,5cos(4t ) , помещена квадратная рамка со стороной a = 80 см , причем нормаль к рамке образует с направлением поля угол α = 30° . Определить Э.Д.С. индукции, возникающую в рамке в момент времени t = 5 c .
8.Стержень длиной 70 см вращается с частотой ν = 2 c-1 вокруг оси, проходящей через его конец и перпендикулярной к направлению
однородного магнитного поля |
с индукцией B = 0 ,1 Т л . Определить |
возникающую на концах стержня Э.Д.С. индукции. |
|
9. Горизонтальный стержень |
длиной ℓ = 1 м вращается вокруг |
вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Ось вращения параллельна магнитному полю, индукция которого B = 5 мТл . При какой частоте вращения стержня разность потенциалов на концах этого стержня будет составлять 1 мВ?
125
10.В однородном магнитном поле равномерно вращается прямоугольная рамка с частотой ν = 600 мин-1 . Амплитуда индуцируемой в рамке Э.Д.С. составляет Е = 3 В. Определить максимальный магнитный поток через рамку.
11.Плоскость проволочного витка площадью S = 100 см2 и сопротивлением R = 5 Ом , находящегося в однородном магнитном поле напряженностью H = 50 кА/м , перпендикулярна линиям магнитной индукции. При повороте витка в магнитном поле, заряд, прошедший по витку, составляет Q = 20 мкКл . Определить угол поворота витка.
12.В однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл, помещена прямоугольная рамка с подвижной стороной, длина которой ℓ = 15 см . Определить Э.Д.С. индукции, возникающей в рамке, если ее подвижная сторона перемещается перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью υ = 10 cм/с .
13.Два параллельных металлических стержня лежат в однородной плоскости с бесконечным прямолинейным током I = 3 A на расстояниях a = 10 см и b = 30 см по одну сторону от него (см. рисунок). По этим стержням скользит проводник AB со скоростью υ = 15 cм/с по направлению к сопротивлению R0 = 4 Ом, на которое замкнуты стержни. Найти силу тока в контуре AR0 B .
126
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.
Основные законы и формулы.
Уравнение гармонических колебаний.
x = Acos(ωt +ϕ0 ),
где x - смещение колеблющейся величины от положения равновесия, A -
амплитуда колебания, ω - циклическая частота, ϕ0 - начальная фаза.
Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания.
υ = dx , a = dυ = d 2 x . |
|
dt |
dt dt 2 |
Кинетическая энергия колеблющейся точки массой m.
W = |
mυ2 |
= |
mA2ω2 |
sin2 (ωt +ϕ |
). |
|
|
||||
k |
2 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
Потенциальная энергия колеблющейся точки массой m.
Wп = mA2ω2 cos2 (ωt +ϕ0 ).
2
Полная энергия колеблющейся точки массой m.
|
E =W |
|
+W = |
mA2ω2 |
. |
|
|
||||
|
k |
|
|
|
|
||||||
|
|
п |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дифференциальное |
уравнение |
|
свободных |
гармонических |
колебаний |
||||||
материальной точки массой m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+ω x =0, |
|
|
||||||||
|
ɺɺ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ω = 2π / T - частота колебаний, T - период колебаний. |
|
||||||||||
Период колебаний математического маятника. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
T = 2π |
l |
, |
|
|
|
|||||
|
g |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где l - длина маятника, g - ускорение свободного падения.
Период колебаний физического маятника.
127
T = 2π |
J |
|
|
, |
|
|
||
|
mgd |
|
где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний, m - его масса, d - расстояние от точки подвеса до центра масс маятника.
Приведенная длина физического маятника.
lпр = J .
md
Амплитуда результирующего колебания, возникающего при сложении двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = A 2 |
+ A 2 |
+ 2 A A cos ϕ , |
||||
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
где |
A |
- амплитуда первого колебания, |
A |
- амплитуда второго колебания, |
||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
ϕ =ϕ02 −ϕ01 - разность начальных фаз складываемых колебаний.
Начальная фаза результирующего колебания.
tgϕ0 |
= |
A1 sin ϕ |
01 |
+ A2 sin ϕ02 |
. |
||
A1 cosϕ |
|
|
|
||||
|
|
01 |
+ A2 cosϕ02 |
||||
Период биений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = |
|
2π |
, |
||
|
|
|
|
||||
|
|
б |
|
ω |
|||
|
|
|
|
|
|
||
где ω =ω2 −ω1 - разность частот складываемых колебаний.
Амплитуда биений при сложении двух колебаний одинаковой амплитуды A.
|
ω t |
|
. |
|
A = |
2 A cos |
|
||
б |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение траектории движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты.
2 |
|
2xy |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
x |
− |
cos |
ϕ + |
|
= sin2 |
ϕ , |
||
|
2 |
|
B |
2 |
|||||
|
A |
|
AB |
|
|
|
|
||
где A и B - амплитуды складываемых колебаний, |
ϕ =ϕ02 −ϕ01 - разность их |
||||||||
начальных фаз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128
Примеры решения задач.
Задача №1. Физический маятник представляет собой стержень длиной l = 2 м , совершающий колебания вокруг оси, отстоящей на 30 см от верхнего конца стержня. Определить период колебаний маятника и его приведенную длину.
Дано:
l = 2 м ;
a = 30 см = 0, 3 м .
Определить:
T; lпр.
Решение.
1. Выполним рисунок. Обозначим расстояние AO от верхнего конца стержня до оси подвеса (AO = a ), OC - от точки подвеса до центра масс стержня (OC = d ).
2. Для определения периода колебаний необходимо вычислить сначала момент инерции стержня относительно оси подвеса. Для этого воспользуемся теоремой Штейнера:
J = J0 +md 2 ,
где J0 = 1 ml2 - момент инерции стержня относительно центра
12
масс, расстояние
d = AC − AO = l −a .
2
Таким образом, момент инерции стержня:
|
1 |
|
|
2 |
l |
2 |
1 |
2 |
+ma(a −l ). |
|||||
J = |
|
|
|
ml |
|
+m |
|
|
−a |
= |
|
ml |
|
|
12 |
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
3. Период колебаний физического маятника:
T = 2π J . 
mgd
Подставим в выражение для периода момент инерции стержня и расстояние d :
|
|
|
|
|
129 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
ml2 + ma(a − l ) |
|
|
|
1 |
l2 + a(a − l ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
T = 2π |
3 |
|
|
|
= 2π |
3 |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
||||
|
|
|
mg |
|
− a |
|
|
|
|
g |
|
− a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
T ≈ 2 , 2 с .
4. Вычислим приведенную длину маятника:
|
|
|
|
|
|
1 |
ml 2 + ma (a − l ) |
|
|
1 |
l 2 + a (a − l ) |
|
||||
|
|
|
J |
|
|
|
3 |
|
||||||||
l |
|
= |
= |
3 |
|
|
= |
|
|
|
. |
|||||
пр |
md |
|
|
|
|
|
l |
− a |
||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
− a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
lпр ≈ 1,18 м.
Ответ: T ≈ 2 , 2 с ; lпр ≈ 1,18 м.
Задача №2. Точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, происходящих по законам:
x = cosπt ,
y = cos π t . 2
Определить уравнение траектории точки. Дано:
x= cosπt ,
y= cos π t . 2
Определить:
y(x).
Решение.
1. Для того чтобы определить траекторию движения точки, необходимо из заданных законов колебаний исключить время. Преобразуем уравнение движения вдоль оси x , используя тригонометрическое выражение для косинуса двойного угла. Тогда получим: