8215
.pdf
30
5.Через неподвижный невесомый блок, укрепленный на вершине пирамиды, перекинута нить с грузами равной массы (0,5 кг) на концах
(Рис.2). Угол α = 30° , угол β = 45° , коэффициент трения между грузами и поверхностью призмы составляет 0,3. Найдите ускорение, с которым будут двигаться грузы, и силу натяжения нити.
Рис.2
6.Тело лежит на шероховатой горизонтальной поверхности. Определить, на какой угол относительно горизонтали нужно наклонить поверхность, чтобы тело начало скольжение. Коэффициент трения между телом и поверхностью 0,58.
7.Грузы соединены невесомой нитью, переброшенной через невесомый блок (Рис.1). Сила натяжения нити равна 10 Н, а коэффициент трения равен 0,2. Какова масса нижнего груза, если масса верхнего груза равна
300 г?
8.Санки толкнули вверх по ледяной горке, составляющей угол α = 30° с горизонтом. Санки въехали на некоторую высоту, а затем съехали обратно. Время спуска в 1,2 раза превышает время подъема. Определить коэффициент трения.
9.Два чугунных груза массами m1 = 750 г и m2 = 1300 г связаны нитью,
переброшенной через неподвижный блок (Рис.1). Вычислите, на сколько градусов нагреется первый груз при скольжении, если он проходит расстояние по столу 1,2 м. Удельная теплоемкость чугуна С = 540 Дж/кг ,
причем груз получает половину тепла, выделяющегося при скольжении. 10.На горизонтальном участке дороги от равномерно движущегося поезда массой М = 1000 т оторвался последний вагон массой 40 т, проехал
31
расстояние 200 м и остановился. Вычислите расстояние, которое проехал поезд за время торможения вагона, считая его скорость неизменной.
11.Неподвижное тело массой 2 кг опускается плавно на массивную платформу ( М m ), движущуюся со скоростью 4 м/с. Сколько времени тело будет скользить по платформе и какое расстояние оно пройдет за это время? Коэффициент трения равен 0,2.
12.На клине с углом при основании α = 30° лежит брусок. Коэффициент трения между бруском и клином 0,4. С каким ускорением должен двигаться клин, чтобы брусок не соскальзывал?
13.Наклонная плоскость составляет угол α = 45° с горизонтом. Вверх по ней движется груз массой m = 0,5 кг, к которому приложена сила F = 30 H ,
направленная под углом β = 30° к наклонной плоскости. Найти ускорение, с которым движется тело, если коэффициент трения равен 0,4.
14.Диск вращается с частотой 70 об/мин. На каком расстоянии от центра диска нужно положить тело, чтобы оно не соскользнуло? Коэффициент трения тела о диск 0,44.
32
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Основные законы и формулы:
Момент силы – векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы – по определению) на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.
M = r × F ,
где r - радиус-вектор, F - приложенная сила.
Направление момента силы определяется.
Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, образованной векторами r и F , причем векторы r , F и M ,
взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов (по свойству векторного произведения): если правым винтом довернуть по кратчайшему пути вектор r до вектора F , то направление движения винта укажет направление вектора M
Величина момента силы.
M = r × F × sinα = F × d ,
где α - угол между векторами r и F , d - плечо силы расстояние от оси вращения до линии действия силы.
Момент инерции – скалярная физическая величина, которая является мерой инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до оси вращения.
J = ∫r 2 d m ,
где dm - элементарная масса, r - расстояние от dm до оси вращения.
33
Момент инерции материальной точки.
J =mr2
где m - масса точки, r - расстояние до оси вращения. |
||||||||||
Моменты инерции некоторых симметричных тел. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Однородный диск относительно оси, |
J = |
1 |
|
mR2 , |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
перпендикулярной к плоскости диска |
|
|
||||||||
2 |
|
|
||||||||
и проходящей через его центр масс. |
где m - масса диска, R - радиус диска. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тонкий |
длинный |
однородный |
J = |
1 |
mℓ2 , |
|
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
стержень с сечением любой формы |
12 |
|
|
|||||||
относительно оси, проходящей через |
где m - масса стержня, ℓ - длина |
|
||||||||
его центр масс. |
|
стержня. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тонкостенный цилиндр или обруч |
J =mR2 , |
|
||||||||
относительно оси, перпендикулярной |
|
|||||||||
где m - масса цилиндра/обруча, R - |
|
|||||||||
их плоскости и проходящей через их |
|
|||||||||
радиус цилиндра/обруча. |
|
|||||||||
центры масс. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
Шар относительно оси, проходящей |
J = |
2 |
mR2 , |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
через его центр. |
|
5 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
где m - масса шара, R - радиус шара. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Штейнера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент инерции J |
относительно произвольной оси равен сумме момента |
|||||||||
инерции J0 |
относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр |
|||||||||
масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями.
J = J0 +md 2 .
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Wk = J zω2 ,
2
где Jz - момент инерции тела относительно оси z, ω - угловая скорость тела.
34
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения.
|
mυ2 |
J ω2 |
||
W = |
c |
+ |
c |
, |
|
|
|||
k |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||
где m - масса тела, υc - скорость центра масс тела, Jc - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, ω - угловая скорость тела.
Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения.
n
Lz = ω∑ mi Ri2 = J zω .
i =1
где ω - угловая скорость тела, mi - масса i -той материальной точки твердого
тела, Ri - расстояние от mi до оси вращения z, Jz - момент инерции тела относительно оси z.
Основное уравнение динамики вращательного движения.
|
= |
dL |
; M z |
= |
dLz |
= Jz |
|
dω |
= Jzε , |
|
M |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||
|
||||||||||
|
|
dt |
|
dt |
|
dt |
||||
где Mz - момент силы |
относительно оси |
z, Jz - момент инерции тела |
||||||||
относительно оси z, ω - угловая скорость тела, ε - угловое ускорение тела.
Работа при вращении тела.
dA=Mzdϕ,
где d ϕ - угол поворота тела, Mz - момент силы относительно оси вращения z.
Примеры решения задач.
Задача №1. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой M = 200 г перекинута невесомая нить, к концам которой подвешены грузы массами m1 = 300 г и m2 = 500 г. Пренебрегая трением в оси блока, определить ускорение грузов и силы натяжения нитей T1 и T2 грузов.
Дано:
М = 200 г = 0,2 кг;
35
m1 = 300 г = 0,3 кг; m2 = 500 г = 0,5 кг.
Определить:
a ; T1 ; T2 .
Решение.
1. Выполним рисунок, расставим действующие на тела силы и зададим направления координатных осей: ось x направим вниз, а ось y -
перпендикулярно плоскости чертежа, от нас.
2. Запишем для каждого из грузов, движущихся поступательно, второй закон Ньютона в проекциях на ось x :
|
−T1 + m1g = −m1a |
|
|
−T2 + m2 g = m2a |
|
Здесь T1 |
и T2 - силы натяжения нитей, не равные по величине. За счет этого |
|
обеспечивается вращающий момент, действующий на блок. |
||
3. Применим основной закон динамики вращательного движения к блоку. |
||
|
M = Jε , |
|
где M - суммарный момент действующих на блок сил, ε - угловое ускорение |
||
блока. |
|
|
На блок |
действуют две касательные силы: T′ |
и T′, которые обусловлены |
|
1 |
2 |
натяжением нити.
36
Отметим, что моменты этих сил противоположно направлены: момент M 1
силы T1¢ направлен перпендикулярно плоскости рисунка к нам, в то время как момент M 2 силы T2¢ направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас.
Суммарный момент действующих сил:
M = M1 + M2 ,
или в проекции на ось y:
M = M2 -M1.
Учтем, что блок ускоренно вращается по часовой стрелке, а значит вектор углового ускорения направлен вдоль оси y.
Таким образом, основное уравнение динамики вращательного движения в проекции на ось y примет вид:
|
|
|
|
|
|
|
M2 - M1 = J ×ε . |
|
|
|
4. |
Запишем моменты M |
1 |
и |
M |
2 |
касательных сил T ¢и T′: |
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
M 1 = T1¢ × R и M 2 = T2¢ × R , |
|
|
|||
где R - радиус блока, а также плечо сил T ¢ |
и T′. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
5. |
Поскольку нить невесома и нерастяжима, |
|
|
|||||||
|
T′=T и |
T′=T |
, откуда M =T ×R и M =T × R. |
|||||||
|
1 |
1 |
|
2 |
|
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
6. Подставим найденные значения моментов в основное уравнение динамики вращательного движения:
R(T2 -T1 ) = J ×ε .
7. По условию задачи блок представляет собой диск, который вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс. Поэтому момент инерции блока:
J = 1 MR2 .
2
37
8. Учитывая записанное выше выражение для момента инерции, а также известную связь линейного и углового ускорения a = ε R , получим окончательное выражение для уравнения динамики вращательного движения :
R(T2 -T1 ) = 1 MR2 × a , или
2 R
(T2 -T1 ) = 1 Ma .
2
9. Объединим полученные уравнения для грузов и для блока в одну систему:
−T1 + m1g = −m1a −T2 + m2g = m2a
(T2 -T1 ) = 1 Ma
2
10. Разрешая полученную систему уравнений, найдем окончательное выражение для ускорения:
a = |
|
m2 |
− m1 |
g , |
|
m1 |
+ m2 + M / 2 |
||||
|
|
||||
Подставляя известные значения масс и ускорения свободного падения, найдем:
a ≈ 2,2 м/с2 .
11. Силы натяжения нитей выразим из уравнений для поступательного движения грузов:
T1 = m1 (a + g ),
T2 = m2 ( g - a) .
Отсюда T1 =3,6 H, T2 =3,8 H.
Ответ: a = 2,2 м/с2 , T1 =3,6 H, T2 =3,8 H.
Задача №2. Человек стоит в центре вращающейся по инерции с частотой ν1 = 0,5 Гц платформы и держит в вытянутых в стороны руках гири. Масса
38
каждой гири m = 5 кг , расстояние от гири до оси вращения составляет ℓ1 =70 см.
Суммарный момент инерции человека относительно оси вращения составляет
J0 = 3 кг×м2 . Определить, с какой частотой станет вращаться платформа, если человек прижмет к себе гири так, что расстояние от каждой из них до оси вращения станет равным ℓ2 = 20 см. Какую работу при этом совершит человек?
Дано:
ν1 =0,5 Гц;
m = 5 кг ;
ℓ1 =70 см= 0,7 м; ℓ2 =20 см= 0,2 м;
J0 = 3 кг×м2 .
Определить:
ν2 , A .
Решение.
1. По условию задачи, платформа вращается по инерции, а значит суммарный момент внешних сил, действующих на нее, будет равен нулю.
Это означает, что данная система является замкнутой, и поэтому для нее может быть записан закон сохранения момента импульса:
Lz1 =Lz2 ,
где Lz1 - момент импульса системы для случая, когда человек держит гири на вытянутых руках, а Lz 2 - момент импульса системы для случая, когда человек прижимает гири к себе.
2. Поскольку момент импульса может быть записан как
Lz =Jzω,
получим равенство:
39
Jz1ω1 = Jz2ω2 , |
(1) |
где J z1 и ω1 - момент инерции системы и угловая скорость для случая, когда человек держит гири на вытянутых руках, а Jz 2 и ω2 - момент инерции системы и угловая скорость для случая, когда человек прижимает гири к себе.
3. Запишем моменты инерции системы для обоих рассматриваемых случаев. При этом учтем, что полный момент инерции системы «человек + гири» будет складываться из момента инерции самого человека J0 и моментов инерции двух гирь, которые можно считать материальными точками. Таким образом, имеем:
Jz1 = J0 + 2mℓ12 ,
J z 2 = J0 + 2mℓ22 .
4. Из равенства (1) выразим интересующую нас частоту вращения с учетом того, что связь частоты и угловой скорости имеет вид ω = 2πν :
2πν 2 |
= |
J z1 × 2πν |
1 |
J z 2 |
|
||
|
|
|
или окончательно
ν 2 = |
J z1 ×ν1 |
= |
(J0 |
+ 2mℓ12 )ν1 |
. |
|
J z 2 |
J0 + 2mℓ22 |
|||||
|
||||||
Отсюда получим ν2 =1,16 Гц.
5. Работа, совершенная человеком, равна изменению кинетической энергии системы:
|
|
|
|
J |
ω 2 |
J |
ω 2 |
||
|
|
|
A = |
|
z 2 2 |
- |
|
z1 1 |
. |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выражая из (1) ω2 |
= |
J z1 |
ω1 , получим: |
|
|
|
|||
J z 2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|