8322

11

преобразования Эйлера, обусловленного поворотом подвижной системы

некоторой системе координат центральная поверхность 2-го порядка задана каноническим уравнением:

Рассмотрим преобразование пространства, переводящее поверхность 2-го порядка (2) в поверхность 2-го порядка того же класса, уравнение которой имеет вид:

12

первым опорным элементом на поверхности, через e , точку этой линии,

этой линии, соответствующую i -му положению поверхности, обозначим через

Приведем алгоритмы расчета и визуализации линейчатых поверхностей, полученных на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка.

Рассмотрим следующие алгоритмы:

-построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через точки траектории центра, и соответствующие точки касания на опорных элементах;

-построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на опорных линиях;

-построения линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через соответствующие точки касания на катящейся поверхности.

Поверхности будем задавать в виде линейчатых каркасов.

На рис. 6 показаны линейчатые поверхности, образованные прямыми, проходящими через соответствующие точки Ci и Ai , или Ci и Bi . Данные

поверхности содержат линии a и b . Отсеки таких поверхностей, ограниченные траекторией движения центра движущейся поверхности и линиями a или b , состоят из отрезков прямых одинаковой длины.

прямых, проходящих через соответствующие точки Ai , и Bi (рис. 7). Данные поверхности содержат линии a и b . Будем изображать отсеки этих поверхностей, ограниченные линиями a и b .

Рассмотрим линейчатые поверхности, образованные прямыми,

14

опорными элементами Ai , Bi (рис. 9). Рассматриваемые поверхности содержат линии a и b . Если в качестве катящейся поверхности взята сфера, то огибающие поверхности будут циклическими, состоящими из дуг одинакового радиуса, равного радиусу сферы.

Поверхности, являющиеся совокупностью дуг окружностей, проходящих через точку траектории движения центра и соответствующие точки касания на опорных элементах, содержат опорные линии (рис.10).

Рассмотрим ротативные поверхности, полученные на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка.

Разработаны алгоритмы построения следующих ротативных поверхностей:

-линейчатых, образованных перемещающейся прямой;

-циклических, образованных перемещающейся дугой окружности;

-общего вида, образованных перемещающейся произвольной пространственной линией.

Если с катящейся поверхностью 2-го порядка связать линию, то она, двигаясь вместе с ней, опишет в пространстве некоторую ротативную поверхность (рис. 11). В зависимости от вида образующей линии, получаем различные виды ротативных поверхностей.

Рассмотрим торсовые поверхности. Как известно, поверхность, являющаяся совокупностью касательных к пространственной линии, есть торс,

асама линия – ребро возврата этого торса. Торсовые поверхности строились

алгоритмы образования поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка положены в основу разработки программных средств, позволяющих использовать их на практике.

Далее приведен алгоритм построения развертки поверхностей.

поверхности . Проделывая описанную выше операцию для каждой ячейки поверхности , получим ее условную развертку. Вычислив площади треугольников ABC и ADC и сложив их, получим приближенную площадь отсека A B C D . Пример построения развертки поверхности (рис. 13) приведен на рис. 14.

Рис. 15. Преобразование каркасной модели поверхности в полигональную модель

Во второй главе рассмотрено конструирование поверхностей на основе аппарата качения сферы по двум пространственным линиям. Как было показано в главе 1, поверхности, разработанные на основе данного аппарата,

17

могут содержать направляющие линии. Поэтому в качестве направляющих можно взять реальные линии, что значительно упрощает сборку и стыковку отсеков поверхностей, полученных на основе рассматриваемого аппарата.

Рассмотрим процесс качения без проскальзывания сферы, заданного радиуса, по двум направляющим пространственным линиям.

Будем считать, что опорные линии заданы в виде дискретных точечных

Пусть по заданным кривым катится сфера, радиус которой равен R . Множество положений сферы, заданного радиуса, в пространстве является трехпараметрическим множеством ( 3 ). Накладывая на положение сферы условие касания кривой a , получим двухпараметрическое множество ( 2 ). Наложив, кроме предыдущего условия, еще условие касания кривой b , получим однопараметрическое множество ( 1 ), которое и будем использовать для конструирования поверхностей. Построив геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, касающиеся линии a в каждой точке этой линии, получим поверхность, эквидистантную заданной линии. Эта поверхность является каналовой поверхностью с направляющей линией a , ее уравнение имеет вид:

геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, радиуса R , касающиеся кривой b :

Следовательно, центры сфер, касающиеся одновременно и кривой a и кривой b , лежат на линии пересечения каналовых поверхностей (5) и (6) (рис. 16). Уравнение этой линии определяется следующей системой:

z

b

a

y

a1

x

b1

Рис. 16. Каналовые поверхности, определяющие траекторию центра сферы

В качестве параметра искомой линии пересечения возьмем параметр линии a – u. Для определения координат точек линии пересечения решим систему (7) методом Ньютона. Обозначим:

20

После проведенных преобразований найдем углы Эйлера подвижной системы координат, связанной со сферой, относительно исходной системы координат.

На рис. 17, а приведен пример линейчатых поверхностей, являющихся совокупностью прямых, проходящих через точку центра, и соответствующие точки соприкосновения на опорных линиях, полученных на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям. На рис. 17, б приведены развертки этих поверхностей.

Рис. 17. Пример поверхности, полученной на основе аппарата качения сферы по пространственным линиям

Втретьей главе описан аппарат кинематики сферы по пространственной линии и поверхности.

Вкачестве опорной поверхности можно использовать реальные поверхности, входящие, например, в состав строительных конструкций, что значительно упрощает стыковку полученных отсеков поверхностей.

Пусть опорная линия a и опорная нелинейчатая поверхность Ω заданы в

не имеют аналитического описания, то выполняем их аппроксимацию В- сплайнами.

Множество точек, в которых находятся центры сфер, соприкасающиеся с линией a, представляет собой каналовую поверхность Κ, ее уравнение аналогично (5).

Множество точек, в которых находятся центры сфер, соприкасающиеся с поверхностью Ω, представляет собой эквидистантную ей поверхность Ω’: