8322

24

c

a

b

b

y

a

x

a1 k

Рис. 21. Примеры поверхностей, полученных на основе аппарата качения сферы по поверхностям

Таким образом, для любых трех обыкновенных образующих произвольной поверхности , находящихся на малых расстояниях между собой, можно построить единственную линейчатую поверхность 2-го порядка, проходящую через выбранные образующие и имеющую в каждой точке области, ограниченной крайними выбранными образующими, общие касательные с заданной поверхностью . Построив поверхности 2-го порядка,

25

проходящие через линейчатые образующие заданной поверхности, можно ее представить как огибающую эти поверхности 2-го порядка.

Следовательно, любую линейчатую поверхность, не имеющую торсовых образующих, можно представить как поверхность, огибающую однопараметрическое множество линейчатых поверхностей 2-го порядка (однополостных гиперболоидов или гиперболических параболоидов).

Рассмотрим вопрос построения поверхности 2-го порядка, проходящей через три заданные скрещивающиеся прямые. Пусть каждая из трех

Уравнение (15) имеет девять независимых параметров, поэтому для их определения необходимы девять условий. В качестве условий потребуем, чтобы уравнение (15) выполнялось для трех точек, лежащих на каждой из заданных скрещивающихся прямых. Две точки – это точки Ai и Bi , определяющие прямую, в качестве третьей точки возьмем середину отрезка

Для осуществления процесса качения гиперболоидов друг по другу в некоторой области необходимо, чтобы в соответствующих точках этих областей обе поверхности имели общую основную метрическую форму, т.е. область одного гиперболоида являлась изгибанием соответствующей области другого.

27

li m

li 1 li 1

Поверхность

Поверхность

Поверхность

Рис. 23. Качение однополостного гиперболоида переменных параметров по линейчатой поверхности

Пусть задана произвольная линейчатая поверхность . Выделим три линейчатые образующие поверхности , лежащие на малых расстояниях между собой – li 1, li , li 1 (рис. 23). Будем считать, что эти образующие обыкновенные и не имеют общей плоскости параллелизма. Построим однополостный гиперболоид ' , проходящий через выделенные образующие. Как было показано ранее, метрические свойства поверхности и построенного гиперболоида ' в области, ограниченной образующими li 1 и li 1 , совпадают.

метрической формой, что и в области, заключенной между образующими li 1 и li 1 , гиперболоида ' . Выделим образующую m' гиперболоида ' , в области между образующими li и li 1 . Выделим образующую m' гиперболоида ',

находящуюся между образующими li и li 1 , на тех же расстояниях от них, что и m' от li и li 1 . Приводим гиперболоиды ' и ' в соприкосновение вдоль образующих m' и m'.

28

Выделим следующую образующую li 2 поверхности , находящуюся на малом расстоянии от образующей li 1 (рис. 23). Будем считать, что образующая li 2 не торсовая и образующие li , li 1 , li 2 не имеют общей плоскости параллелизма. Построим однополостный гиперболоид '' , проходящий через

l , ту же основную метрическую форму, что и в соответствующей области

i 2

гиперболоида '' , поэтому гиперболоид '' непрерывным качением можно

~

привести в соприкосновение с гиперболоидом '' вдоль образующих m'' и m'' . Далее выбираем следующую образующую поверхности и, проделав описанные выше действия, перекатываем гиперболоид в следующую область заданной линейчатой поверхности.

Пример ротативной циклической поверхности, полученной на основе рассмотренного аппарата с учетом деформации, приведен на рис. 24,а, без учета деформации – на рис. 24, б. На рисунках через d, d’, d’’ обозначены траектории точек, задающих образующую дугу окружности.

30

В шестой главе описаны пакеты прикладных программ, разработанные на основе приведенных исследований, и показана методика их применения в архитектурно-строительном проектировании. Приведены примеры зданий и сооружений, разработанных с использованием предложенных методик.

По заказу кафедры архитектуры и градостроительства Ростовского государственного строительного университета был составлен каталог ряда поверхностей, разработанных по предложенной методике. Каждая поверхность, входящая в каталог, имеет трехзначный номер. Первая цифра номера поверхности определяет расположение опорных эллипсов в плане (1 или 2), вторая – расположение опорных эллипсов на профильной проекции (1, 2 или 3) и третья – тип поверхности (1, 2, 3 или 4). Полученные поверхности приведены в табл. 1. В качестве направляющих рассматривались симметричные дуги эллипсов, лежащие в одной плоскости или в разных плоскостях.

В табл. 2 приведены параметры опорных эллипсов. Через d обозначено расстояние между центрами дуг эллипсов в условных единицах, через α – угол наклона плоскости эллипса к горизонтальной плоскости в градусах, a, b – полуоси эллипса в условных единицах, R – радиус катящейся окружности в условных единицах.