8337

11

Если провести эту же процедуру ортогонализации степенных функций

yi

xi в пространстве H2 ( 1;1) с весом (x) 1 1 x2 , то получим систему

ортогональных многочленов Чебышева Ti (x) , задаваемых следующим

рекуррентным соотношением:

Ti 1 (x) 2x Ti (x) Ti 1 (x) ,

Ti (x)

2 / 2 ,

T0 (x)

2

T0 (x) 1, T1 (x) x , T2 (x) 2x2 1, T3 (x) 4x3 3x ,

T4 (x) 8x4 8x2 1 , T5 (x) 16x5 20x3 5x , …

Для многочленов Чебышева справедливы формулы:

( 2)i i!

d i

(1 x2 )i 0.5

Ti

(x) cos(i arccos(x)) , Ti

(x)

1 x2

(2i)!

i

dx

1 tx

Ti (x)ti

, (x,t) - производящая функция многочленов

2tx t

2

1

i 0

рекуррентным соотношением:

Hi 1 (x) 2x Hi (x) 2i Hi 1 (x) ,

Hi (x) 2 2i i!

T ' (t)

X '' (x)

a2T (t)

X (x)

C1 , C2

находим из граничных условий:

Для u(0) u(l) 0

(условия 1-го типа 1

1, 2

0 )

k

sin n x .

C

2

0

, C sin l

k

0

, тогда l

k

или

k

,

X

k

1

k

l

l

Для ux (0) ux (l) 0 (условия 2-го типа 1

0, 2 1) имеем

u'

x ,

(x) C

cos

x C

sin

x

1 k

k

2 k

k

C 0

, C sin l 0

, тогда l

n

или

k

n

,

X

k

cos n x .

1

2

k

k

l

l

Для u(0) 0 , ux (l) h u(l) 0

(условия 3-го тип 1 1, 2 h а) имеем

C2

0 ,

k sin k l h cos k l 0 .

Корни этого уравнения k

k ,

а собственные

tg l

h

функции X k sin k x . Графическое решение уравнения

приведены

k

k

u

a

2 2u

f (x, t) ,

(x) 0 , u(0) u(l) 0

t

x

2

u(x,t) X k (x)Tk (t) (в данном случае X k (x) sin( k x),

k

x

,

X k

2

l

).

k 1

l

2

1

l

f (x,t) fk (t)X k (x)

,

где

fk

(t)

f ( , t) X k ( )d

и

подставляя в

X k

2

k 1

0

уравнение с учетом X k'' k2 X k

0 получим уравнение для Tk (t)

Ck Xk (Tk' a2 k2Tk fk ) 0

k 1

или Tk' a2 k2Tk

fk

с

условиями

Tk (0) k

0 .

Его

решение

через

t

интеграл Дюамеля

представляется

Tk

(t)

e

a2 k2 (t )

fk

( )d

, тогда

после

0

подстановки и изменения

порядков интегрирования и суммирования

решение

представимо в виде:

t

l

,

u(x,t)

Gf

(x, ,t ) f ( , )d d

0 0

X ( ) X (x)

a2 2

(t )

функция влияния правой части (или

где Gf (x, ,t )

k

2

e

k

k

k 1

X k

источников).

В) В случае общей неоднородной задачи теплопроводности для

однородного стержня

u

a

2

2u

f (x, t) ,

u(x, 0) (x) , u(0,t)

(t), u(l,t)

(t)

t

x2

1

2

можно введением новой функции u(x,t) v(x,t) 1 (t) { 2 (t) 1

(t)}

x

l

v

a

2 2v

f (x, t) , где

f (x,t) f (x,t) { 1' (t) ( 1' (t) 2' (t)

x

}

t

x

2

l

u

a

2

1

u

1 2u

r

, D {0

r b;0

2 },t 0

t

r

2

r

r

r

u(b, ,t) 0 ,

u(0, ,t)

. u(r, ,t) u(r, 2 ,t)

'

1

(rv )

1

v

r2

T

r

r

r

const

2

a T

v

получим уравнение

T ' a2 T 0 для T (t) ,

а для v(r, ) краевую задачу:

1

(rv )

1

v 0

r

r

r

r2

с условиями v(b, ) 0,

v(0, )

. v(r, ) v(r, 2 ) .

Продолжая разделение переменных v(r, ) R(r) ( ) , получим

r(rR )

r

r

r2

R

и переходим к двум одномерным задачам, первая из которых

conct

2 0

2

,

d 2 R

1 dR

n2

R

0

dr

2

r dR

r

2

с однородными условиями R(b) 0 ,

R(0)

после введения новых

переменных x r и R(r) R(x /

) y(x) представляет собой

уравнение для цилиндрических функций Бесселя

d 2 y

1 dy

n2

1

y 0 ,

dx

2

x dx

x

2

имеющем общее решение через функции Бесселя

Jn (x) и Неймана Nn (x)

y(x) D1Jn (x) D2 Nn (x)

Из условий ограниченности в x 0

следует что D2 0 (для кольцевой

n,m 2

n,m

n,m

,

Rn,m

y(r ) Jn

r

b

b

b

b2

ортогональна с весом r

n,m

и с нормой

Rn,m (r)

rJn2

r dr)

[Jn' ( n,m )]2 .

b

2

0

Полученная система собственных функций задачи полна и по ней может

быть разложена любая кусочно-непрерывная ограниченная функция от r.

Общее

решение

уравнения через

собственные функции

n,m

n,m

vn,m

(r, ) Jn

r cos n ,

vn,m (r, ) Jn

r

sin n ,

b

b

An,mvn,m (r, ) Bn,m

a

n ,mt .

u(r, , t)

vn,m (r, ) e b

n,m 0

An,mvn,m (r, ) Bn,m

u(r, , 0)

vn,m (r, ) 1 (r, ) ,

n,m 0

1

2 b

An,m

(r, ) vn,m (r, )drd ,

v

(r, )

n,m

0

0

1

2 b

Bn,m

(r, ) vn,m (r, )drd ,

v

(r, )

n,m

0

0

0.5 b2 n [Jn' ( n,m )]2 ,

2

n 0

где

vn,m

а

n

n 0

.

1