8337
.pdf
41
4)условие «сноса» (производная сеточной функции по переменной x равна нулю);
5)значение сеточной функции равно нулю.
Порядок аппроксимации: 
Cхема устойчива при любых соотношениях между шагами сетки и h.
Схема «прямоугольник»
Разностная схема:
p = 0, 1, …, P – 1; |
m = 1, 2,…, M; |
|
m = 0, 1, …, M; |
p = 1, 2, …, P.
Значение сеточной функции на верхнем временном слое в точке (p + 1, m) рассчитывается по известным ee значениям в трех точках (p + 1, m – 1), (p, m), (p, m – 1).
Порядок аппроксимации: 
Cхема устойчива при любых соотношениях между шагами сетки и h.
Неявная шеститочечная схема
Разностная схема:
p = 0, 1, …, P – 1; |
m = 1, 2, …, M – 1; |
m = 0, 1, …, M;
p = 1, 2, …, P.
Значения сеточной функции в точках 
рассчитываются по схеме «явный левый уголок».
Порядок аппроксимации: 
Cхема устойчива при любых соотношениях между шагами сетки и h.
САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №1
1. Разложить функцию (x) на интервале 0 x l в ряд Фурье, продолжив ее на весь
интервал l x l |
в зависимости от граничных условий |
нечетным образом |
или четным образом |
2.Построить графики функций (x), 3 (x), 5 (x), 7 (x) на одной плоскости, где
n (x) частичные суммы ряда Фурье для функции (x)
42
3.Методом Фурье (разделения переменных) решить начально-краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводности, описывающего процесс распространения тепла в однородном стержне.
u |
a |
2 |
2u |
f (t, x), |
0 x l |
t |
|
x2 |
|||
|
|
|
|
где u u(t, x) - температура в точке х стержня в момент t, а- константа теплопроводности и теплоемкости стержня
f (t, x) - внешние источники тепла
C начальными условиями (начальным нагревом стержня) u(t 0, x) (x) .
Ис краевыми условиями cмешанного типа на концах стержня
1 u(t, x 0) 2 ux (t, x 0) 1 (t),
1 u(t, x l) 2 ux (t, x l) 2 (t),
4.Построить профили решения в моменты t=0; 0.05;,0.1; 0.5;, 1.0 используя приближение профиля функции температуры 5-ю членами ряда Фурье.
|
ВАРИАНТЫ ВХОДНЫХ ДАННЫХ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
(x) |
|
|
|
a |
f (t, x) |
1 |
2 |
1 (t) |
2 (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
0; |
0 x l / 4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) l / 4; l / 4 x 3l / 4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0; |
3l / 4 x l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
2 |
(x) |
x; |
0 x l / 2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l x; |
l / 2 x l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
x; |
0 x l / 4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) l / 4; l / 4 x 3l / 4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l x; 3l / 4 x l |
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
2 |
(x) x(x l) |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
(x) |
|
x2 ; |
0 x l / 2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(l x)2 ; l / 2 x l |
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
2 |
|
0; |
0 x l / 4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) l / 4; l / 4 x 3l / 4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0; |
3l / 4 x l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
|
2 |
(x) |
0; 0 x l / 2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; l / 2 x l |
|
|
|
|
|
|
||
7 |
|
2 |
(x) |
|
l2 / 4; |
0 x l / 2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(l x)2 ; l / 2 x l |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
2 |
1; |
|
0 x l / 2 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
l / 2 x l |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
2 |
3l2 |
/ 4; 0 x l / 2 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
(x) |
x2 ; l / 2 x l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
Пример выполнения задания №1
Вариант 0
1. Раскладываем в ряд Фурье функцию начальных условий.
0, |
0 x l / 4 |
|
l / 4 x 3l / 4 |
(x) l / 4, |
|
|
3l / 4 x l |
0, |
Поскольку будет решаться краевая задача 1-го типа на несимметричном интервале 0 x l, l 2 , то продолжая функцию нечетным образом построим разложение по
синусам. |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x) bk |
sin |
x , |
bk |
|
|
|
|
|
|
(x) sin |
|
|
|
x |
dx |
, |
|
|
k Sn |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k 1 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
l 0 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
учитывая вид функции (x) получим коэффициенты Фурье |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
3l / 4 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
k |
|
|
|
3l / 4 |
|
|
|
|
1 |
|
k 3l |
|
k l |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
bk |
|
|
|
|
0,5 sin |
|
x dx |
|
|
|
|
|
cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
l / 2 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l k |
|
|
l |
|
|
|
l / 2 |
|
|
k |
|
l 4 |
|
l 4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
k |
|
3 k |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
cos |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
sin |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Видим что при четном k коэффициенты равны нулю. Ряд будет таким:
|
2 |
k |
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
sin |
sin |
sin |
x . |
||
|
|||||||
k 1 |
k |
2 |
|
4 |
|
l |
|
|
|
n |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подсчитаем частичные суммы n (x) bk |
sin |
x при n=1,3,5,7,9 |
|||||
|
|
k 1 |
|
l |
|
|
|
45
Графики частичных сумм n (x)
Из графиков видно, как частичные суммы сходятся (правда медленно) к импульсу начальной функции
2. Методом Фурье (разделения переменных) решаем начально-краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводности, описывающего процесс распространения тепла в однородном стержне. Источников в варианте нет
u a2 2u ,t x2
здесь u(x,t) температура в точках стержня в различные моменты времени. В варианте заданы начальные и однородные краевые условия 1-го типа: u(x,t 0) (x) ; u(t, x 0) 0;u(t, x l) 0
Нетривиальные (ненулевые) решения однородного уравнения, будем искать методом разделения переменных (методом Фурье) в виде:
u(x,t) X (x) T(t) 0
Подставив эту форму решения в уравнение и разделив переменные, получим:
T ' (t) |
|
X '' (x) |
|
a2T (t) |
X (x) |
Это равенство возможно лишь при co ns t , Поэтому функции T(t) и X(x) можно найти как решения обыкновенных однородных дифференциальных уравнений вида при:
X '' (x) X (x) , |
T ' (t) a2T (t) |
46
Рассмотрим первое уравнение, оно представляет собой задачу Штурма-
Лиувиля |
для нахождения собственных |
чисел k |
k2 |
0 и собственных |
|||||||||||||||||
функций |
X k (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Общее решение этого однородного дифференциального уравнения имеет |
||||||||||||||||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X k (x) C1 sin( k x) C2 cos( k x) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
но эти решения должны удовлетворять краевым условиям задачи, для |
||||||||||||||||||||
этого C1 , C2 |
|
находим из граничных условий: Для u(0) u(l) 0 (условия 1-го |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
типа |
1 1, 2 |
0 ) |
находим собственные |
числа |
и |
|
им |
соответствующие |
|||||||||||||
собственные функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
C |
2 |
0 , C sin l |
k |
0 , тогда l k |
или |
k |
k |
, X |
k |
sin n x . |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Для каждого собственного числа k |
k2 , уравнение для T (t) будет |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Tk ' (t) k2a2Tk (t) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
его |
решения находятся |
просто Tk (t) Ce |
a2 k2t |
. |
Тогда |
общее решение |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
исходного уравнения будет следующим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 k2t |
||||
|
|
|
|
u(x,t) X k (x)Tk (t) Ck X k (x)e |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения неизвестных констант воспользуемся начальными условиями:
u(x,t) t 0 Ck X k (x) (x) .
k 1
Поскольку система собственных функций задачи S-L полная, то функцию начальных условий можно так же разложить в ряд Фурье по этой системе и это
мы сделали в пункте 1. Тогда Ck |
bk и решение начально-краевой задачи будет |
||||||||
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
k |
|
k |
k |
|
a2 k2t |
|
u(x,t) |
|||||||||
k |
sin |
sin |
sin |
x e |
. |
||||
k 1 |
|
2 |
|
4 |
l |
|
|
||
Построим его графики для различных моментов времени при частичных суммах n=9 и обобщенном коэффициенте теплопроводности а=1.
47
Из графиков для различных времен хорошо виден процесс остывания нагретого стержня и расширения первоначально нагретой зоны в центре стержня. На краях удерживается фиксированная нулевая температура, тепло уходит через поток на краях стержня. Поток характеризуется наклоном графика температуры.
48
САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №2 Задачи, решенные в задании №1, решить методом сеток:
1. Взять равномерные сетки
|
x m h, |
h l / M , |
l 2, M 20 ; |
t p p , |
T / N , |
T 2, N 50 |
|
|
|||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. С использованием явной трехточечной разностной схемы |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ump 1 ump |
a2 |
ump 1 2ump 1 |
ump 1 |
f p , |
u0 |
(x |
) , u p 0, u p |
0 |
(или |
u p u p , u p |
u p |
) |
||
|
|
h2 |
|
||||||||||||
|
|
|
m |
m |
m |
1 |
M |
|
|
1 |
2 M |
M 1 |
|
||
для чего выразить решение на текущем временном слое через решение на предыдущем слое.
2. С использованием неявной трехточечной разностной схемы
ump 1 ump |
a2 |
ump 11 2ump 11 ump 11 |
f p , |
u0 |
(x |
|
) , u p 0, u p |
0 (или |
u p u p , u p |
u p |
) |
||
|
h2 |
|
|||||||||||
|
|
m |
m |
|
m |
1 |
M |
|
1 |
2 M |
M 1 |
|
|
для чего методом прогонки найти решение на текущем временном слое
3. Построить график профилей температуры в те же моменты времени, как и в задании №1 t=0; 0.1; 0.25; 0.5, 1.0; 2.0 и сравнить решения.
49
Рекомендуемая литература
1.Тихонов А.Н., Самарский А.Н. Уравнения математической физики. - М. «Наука», 1977.
2.Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. - М. «Высшая школа», 1977.
3.Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т 1,2. - М. «Гостехиздат», 1951.
4.Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. - М., «Высшая школа», 1985.
5.Д.В. Сивухин. Общий курс физики: термодинамика и молекулярная физика. - М.: Физматлит, 2006. — С. 345.
6.Кочев А.Г. Тепломассообмен в зданиях и инженерном оборудовании. - Н. Новгород: ННГАСУ, 2017. .
7.Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. - М. «Наука», 1977.
8.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М., «Наука», 1977.
50 |
|
Содержание |
|
Введение |
4 |
1. Аналитические методы решения задач математической физики |
5 |
1.1 Эвклидово функциональное пространство |
6 |
1.2. Ряды Фурье по ортогональным системам функций |
7 |
1.3. Ряды Фурье для решения краевых задач |
12 |
1.4. Задача Штурма-Лиувиля |
21 |
2. Численные методы решения задач математической физики |
26 |
2.1. Проекционные методы решения стационарных задач |
26 |
2.2. Численное решение начально-краевых задач методом сеток |
33 |
Рекомендуемая литература |
49 |