8776

Таким образом, при испарении воды преобладают затраты энергии на увеличение внутренней энергии, а доля работы против сил внешнего давления мала.

Часть 3. Электричество и магнетизм

Введение Существует две формы существования материи – вещество и поле.

Вещество – это такая форма, когда материя локализована и можно

выделить определенный материальный вещественный объект.

Известно, что все материальные объекты взаимодействуют друг с другом. Векторной характеристикой воздействия материальных тел, как мы знаем из механики, является сила.

Физическое поле – форма материи, обеспечивающая передачу

воздействия (силового) от одного объекта к другому. В классической модели

«физического поля» предполагается, что оно не имеет границ и непрерывно

заполняет все пространство.

Известны 4 фундаментальных физических взаимодействия и соответствующие им поля:

∙гравитационное,

∙электромагнитное,

∙сильное,

∙слабое.

электромагнитному взаимодействию относятся, в частности, силы упругости и трения, с которыми наиболее часто приходится иметь дело в обыденной практике.

Изложению законов электромагнитного взаимодействия посвящено данное учебное пособие.

Глава 1. Электростатика

§ 1. Электрический заряд

102

Притяжение или отталкивание наэлектризованных тел объясняется существованием электрических зарядов. Электрическим зарядом называется

характеристика материального объекта, определяющая его способность

создавать электромагнитное поле и взаимодействовать с электромагнитным полем.. Заряженные объекты часто коротко называют просто «зарядами».

Основные свойства электрического заряда:

N

1.Заряд аддитивен, т.е. суммируется Qсум = ∑qi

i=1

2.Заряд сохраняется: Qсум = const , если через границы нет потоков зарядов

(электрического тока).

Это свойство является фундаментальным физическим законом сохранения электрического заряда. Согласно этому закону любые природные процессы не изменяют алгебраическую сумму зарядов, участвующих в них.

3.Заряд инвариантен Q = Inv : Результат измерения заряда одинаков в любой инерциальной системе отсчета, включая и движущуюся.

4.Заряд дискретен, т.е. :

1) Имеется минимальный заряд qmin электрон) e = 1,6×10-19 Кл.

Есть определенные теоретические предположения, что существуют частицы, обладающие еще меньшим зарядом и называемые кварками. У

них qmin = 1 e . 3

2) Любой заряд кратен элементарному

Q = N×e , где N = ±1, ±2, ±3, …

5.Наличие зарядов двух “ сортов” ( положительного и отрицательного).

2. Закон Кулона

Простейшей и наиболее широко применяемой моделью является точечный

заряд. Точечный заряд – есть материальная точка, имеющая электрический заряд. Эта модель применяется для описания реальных заряженных объектов, размерами которых можно пренебречь в условиях данной задачи.

Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов Q1 и Q2

называется силой Кулона, а формула для этой силы – законом Кулона (он был получен экспериментально и в классической физике рассматривается как

проницаемость среды, показывающая во сколько раз сила взаимодействия зарядов в среде меньше, чем в вакууме.

103

Сила направлена по прямой, соединяющей заряды и для одноименных зарядов является силой отталкивания.

источник поля. Электростатическое поле воздействует на другие (пробные) заряды. Обозначим соответствующий точечный заряд, как QПР . Между ними действует электростатическая сил.

Электростатическим называется поле, создаваемое неподвижными зарядами и действующее на неподвижные заряды.

EИСТ - характеристика ЭСП, создаваемого источником

Электрическая сила – это сила, с которой электростатическое поле действует на помещенный в него заряд-приемник. Она пропорциональна величине этого заряда QПР . Коэффициент пропорциональности есть

характеристика поля, называемая напряженностью электрического поля и равная отношению силы, действующей на заряд, к величине

Напряженность характеризует интенсивность поля, то есть величину

104

силы, с которой поле будет действовать на помещенный в него заряд.

Для получения характеристики Е , поля точечного заряда, возьмем закон

Электростатическое поле удовлетворяет принципу суперпозиции:

напряженность суммарного поля, создаваемого в данной точке А системой точечных зарядов, равна сумме векторов напряженности полей, созданных каждым точечным зарядом системы.

Математическая запись принципа суперпозиции для электростатического

Удобным графическим изображением поля являются линии поля или силовые линии.

Линия поля – есть геометрическое место точек, в каждой из которых

вектор напряженности направлен по касательной к линии поля.

Линии электростатического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность). Расстояние между соседними силовыми линиями или их «густота» расположения в пространстве показывает величину напряженности поля в данной окрестности. Обычно уславливаются проводить силовые линии с такой густотой, чтобы число их, пересекающих площадку площадью 1 м2 , расположенную перпендикулярно линиям поля, равнялось Е.

R

§ 4. Поток вектора E

Следующая очень важная дополнительная характеристика электрического поля получила название «поток». Сначала рассмотрим «элементарный поток».

Элементарным потоком вектора напряженности электрического поля через элементарную площадку ds называется скалярное произведение

вектора E на вектор нормали и на величину площадки ds.

106

Физический смысл: Источником электрического поля являются заряды.

Здесь введено обозначение:

элементарный заряд.

Нетрудно доказать теорему Гаусса для точечного заряда. При этом замкнутую поверхность для простоты расчетов можно взять в виде сферы радиуса r, концентрической с зарядом. Это удобно потому, что во всех точках

Е направлен по нормали к поверхности и имеет одно и тоже значение:

В этом случае, при вычислении потока, постоянное поле можно вынести за знак интеграла и остается интеграл от элементов поверхности, равный площади выбранной сферической поверхности:

Таким образом справедливость теоремы Гаусса для точечного заряда и сферической поверхности нами доказана. Это доказательство можно обобщить и для любой системы зарядов и любой замкнутой поверхности.

Теорема Остроградского – Гаусса позволяет определить напряженность электростатического поля любого пространственно – распределенного заряда.

В общем случае для этого потребуется использование специальных математических методов решения. Однако для симметричных распределений зарядов удается определить напряженность поля элементарными методами.

В качестве примера определим напряженность поля бесконечной, равномерно заряженной плоскости. Плоскость характеризуется поверхностной плотностью заряда s (заряд, приходящийся на единицу поверхности).

S

S

107

Схема применения закона Гаусса для вычисления напряженности поля:

∙В случае бесконечной плоскости нетрудно догадаться, что вектор E должен

быть перпендикулярным плоскости. Действительно, на рисунке справа изображено суммарное поле двух точечных зарядов плоскости, расположенных симметрично относительно точки наблюдения. Как видим

вектор E1+2 перпендикулярен плоскости. В случае бесконечной плоскости

для каждого точечного заряда найдется симметричный. Поэтому, суммируя поля точечных зарядов плоскости симметричными парами, в результате также получим поле, перпендикулярное плоскости.

∙ Выбираем замкнутую поверхность S0 в виде прямого цилиндра пересекающего нашу плоскость в направлении нормали. Такая поверхность удобна для вычисления потока, поскольку через боковую поверхность поток вектора напряженности равен нулю и отличен от нуля лишь через два основания, площадью S, каждое. Вычисляем (исходя из определения потока) Ф0Е= 2 × E × S .

·Вычисляем суммарный заряд ∑qi в объеме, ограниченном поверхностью. На рисунке это заряд заштрихованной части плоскости, площадью S . Поэтому

Q = σ × S

·Подставляем поток и заряд в закон Остроградского-Гаусса : 2 × E × S = σ × S .

εε0

Из полученного соотношения находим напряженность поля:

E = σ .

2εε0

Видим, что поле не зависит от расстояния до плоскости, т.е. является однородным.

§ 6. Потенциал

Напряженность – векторная характеристика электрического поля. Потенциал

– дополнительная скалярная характеристика поля. Такую характеристику можно вводить только для потенциальных полей (полей, у которых работа сил поля по перемещению объекта по замкнутой траектории равна нулю, а работа по перемещению не зависит от формы пути, по которому произошло перемещение, а зависит только от координат начальной точки 1 и конечной точки 2).

Потенциалом называется скалярная характеристика поля, численно равная работе сил поля по перемещению “ пробного” ( единичного и

положительного) заряда из данной точки, имеющей радиус-вектор r в

R

другую заранее выбранную точку, имеющую радиус-вектор r0 , в которой

потенциал принимается за ноль ( j(r0 )= 0 ). В некоторых случаях r0 ® ¥ .

Элементарная работа сил поля имеет вид (используем сведения, полученные в

108

механике) dA = F × dr = F×dr×cosj.

F

ϕ

dr

Сила в электрическом поле F эл = E × Q прие , следовательно dA = E × Q'×d r . И для элементарного приращения потенциала получим:

dϕ = dA = E × d r . Q'

Суммируя (интегрируя), получим значение потенциала в точке с координатой

R

r , если за начало отсчета принять потенциал точки r0 :

r0

ϕ(r) = ∫ Edr r .

r

Мы получили уравнение связи дополнительной характеристики – потенциала с основной характеристикой – напряженностью.

Задача: получить уравнение обратной связи, т.е. Е через j. Используем выражение для dj dj = E × dr и получим

E = dϕ ®Производная по координатам (быстрота изменения в пространстве). dr

Но остается вопрос о направлении поля в пространстве.

Для более точной записи связи потенциала и напряженности используем

переменных j(x,y,z).

Производные от функции нескольких переменных называются частными производными. Для потенциала:

напряженности по трем осям координат{Ex , Ey , Ez }. В векторном виде это

запишется в виде E = -Ñ`j gradj уравнение связи E и j (grad читается как «градиент»).

По определению потенциал связан с работой по перемещению единичного заряда, следовательно, умножив потенциал на величину пробного заряда, мы получим работу по перемещению этого заряда, т.е. получим потенциальную

109

энергию данного заряда в данной точке электрического поля:

ЕПОТ = j×QПР.

Разность потенциалов.

Как использовать потенциал при решении задач?

Удобнее использовать не сам потенциал, а его приращение или изменение, а также «разность потенциалов».

Используя определение приращения любой характеристики и обозначение ϕ

– приращение потенциалов, получим ϕ = ϕкон − ϕнач .

Определение: Разность потенциалов (U) – величина, равная приращению потенциала с обратным знаком.

U = − ϕ = ϕнач − ϕкон

Потенциал есть функция координаты точки, а разность потенциалов есть функция координат двух точек.

ϕ1

r1

Получили, что Ex > 0 , т.е. поле направлено в положительном направлении оси ОХ.

Элементарная работа сил поля

dA = E × dx = E x × dx > 0 , т.е. тоже положительна.

Разность потенциалов численно равна работе сил поля по перемещению

пробного заряда из первой точки во вторую.

Пусть теперь из т.1 в т.2 переносится некоторый заряд q, тогда работа сил

поля по переносу заряда q из т.1 в т.2 равна разности потенциалов, умноженной на q. A1→2 (q) = U1,2 ×q

110

§ 7. Электрическая емкость проводников

Внутри проводящего тела в статике (при t→∞) не должно быть

электрического поля E = 0 (иначе возникнет направленное движение зарядов, которое будет продолжаться до тех пор, пока на заряды действуют силы, то есть пока поле не обратится в ноль). Следовательно, внутри проводника разность потенциалов между любыми точками равна нулю, поэтому можно ввести понятие потенциала тела.

Потенциал тела численно равен работе сил поля по перемещению единичного положительного заряда от поверхности тела до выделенной

точки r0 (бесконечности), в которой потенциал принят за 0 .

Например, потенциал шара радиуса R имеющего заряд Q равен:

Эта формула следует из определения потенциала и из того факта, что электрическое поле вне заряженного шара совпадает с полем точечного заряда такой же величины, помещенного в центре шара.

В электростатике заряженный проводник может иметь избыточный заряд. Поскольку электрическое поле внутри проводника равно нулю, заряд может располагаться только на поверхности (это следует из теоремы ОстроградскогоГаусса).

В вакууме на поверхность проводника можно поместить заряд любой величины. При этом электрическое поле вне проводника и его потенциал возрастают пропорционально заряду. В воздухе превышение потенциалом некоторой величины сопровождается электрическим пробоем газа, в результате которого заряд стекает с проводника. Поэтому величиной, характеризующей заряд, который можно разместить на проводнике, является электрическая емкость:

Электрическая емкость численно равна заряду, который нужно поместить

на проводник, чтобы изменить его потенциал на единицу.

В системе СИ емкость измеряется в Кл/В=Ф (фарада). Вычислим электрическую емкость шара:

Видим, что электрическая емкость зависит только от размеров проводника и среды где он находится. Поэтому электрическая емкость является характеристикой проводника и не зависит от того заряжен он или нет.