8776

171

ПЛОСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ.

Предположим, что в плоскости x = 0 имеется источник совершающий колебания; например, для звуковых волн, это может быть плоскость диффузор громкоговорителя. Считаем эти колебания гармоническими с амплитудой A и циклической частотой ω

плотности), вызванные колебаниями источника p(0; t) , передаются от точки к точке, и вдоль оси x побежит плоская волна p(x; t) , см. рис.13.

Рис.13. Распространение плоской волны.

Пренебрегая затуханием колебаний по мере их распространения, считаем,

называется волновым числом (напомним, что λ - длина волны). Итак, плоская гармоническая волна, распространяющаяся вправо вдоль оси x со скоростью c описывается формулой

Ясно, что для волны, бегущей влево в выражении (44) следует поставить знак + (т.к. изменится знак скорости).

Наблюдая волну (44) в фиксированной точке x = x1 , мы имеем гармоническое колебание, фаза которого зависит от выбранной точки

173

Подставив (48) в (47) и учтя, что волновое число k = ω / c , получим тождество. Уравнение (47) возникает при решении многих физических проблем: оно получается из законов механики в задаче распространения колебаний смещения среды в твердом теле, из газовых законов при исследовании распространения колебаний давления в газе, из уравнений электродинамики в задачах распространения электромагнитных волн. Конечно, в разных задачах

физический смысл переменной p скорости c различен.

Отметим, что гармоническая волна (44) это лишь одно из его решений. Оказывается, ему удовлетворяет колебание любой формы, бегущее со скоростью с. В самом деле, пусть колебание источника представляет собой

любую функцию времени , т.е. p(0;t) = f (t) . Тогда в точке x оно имеет вид

p(x;t) = f (t − x / c) .

Обозначим z = t − x / c и дифференцируя, имеем

Подставляя (49) в (44), мы вновь получаем тождество.

ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ.

Звуковые волны в газе представляют собой бегущие колебания давления p (или плотности ρ , поскольку, согласно уравнению состояния газа, p ρ ).

Если атмосферное давление равно pA , то полное давление в точке x , которую достигла плоская волна в момент времени t , будет

P(x;t)=pA+p (x;t) ,

где p(x;t) - малая добавка, определяемая формулой (44).

Человек слышит не любой звук, а примерно, в диапазоне частот от 20 герц до 20 килогерц. Колебания более низких частот называют

инфразвуком, а более высоких - ультразвуком.

Скорость распространения звуковых волн в газе зависит от плотности среды (а она связана с температурой) и определяется формулой

174

Звуковые волны в твердых телах могут быть как продольными, так и поперечными (сдвиговыми). Скорость распространения звука в твердых телах зависит от их упругости и плотности и она значительно выше скорости звука в газах. В частности, скорость продольных волн в стержнях определяется формулой

восприятие громкости - логарифму интенсивности. Принятая в акустике единица измерения интенсивности звука - децибел ориентирована именно на логарифмическое восприятие. Скажем, если интенсивность в единицах системы

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.

175

Электромагнитные волны представляют собой взаимно связанные колебания напряженности электрического и магнитного полей, распространяющиеся в пространстве. Источником электромагнитных волн являются движущиеся с переменной скоростью электрические заряды. Это могут быть хаотически движущиеся свободные электроны или ионы (в случае теплового излучения), переменный ток достаточно высокой частоты в проводнике (при излучении радиоволн), электроны, переходящие с верхних энергетических уровней на нижние (при излучении света газоразрядными трубками и лазерном излучении).

Электромагнитные волны могут распространяться в свободном пространстве (вакууме) или в средах не проводящих электрический ток. В проводящей среде они вызывают движение зарядов, следовательно, их энергия превращается в тепло и волны быстро затухают. Скорость электромагнитных волн в вакууме

c » 3×108 M /c ,

диэлектрических средах, где, собственно, и могут распространяться волны,

μ = 1 .

Электромагнитные волны поперечные: если, например, волна бежит вдоль оси x , то колебания вектора напряженности электрического поля E направлены вдоль оси y , а колебания напряженности магнитного поля H - вдоль оси z (или наоборот). Соответствующие формуле (47) волновые уравнения здесь имеют вид

электромагнитных волн было теоретически обосновано Максвеллом в 1860 году, а экспериментально обнаружены они были спустя примерно полвека Герцем. Практическое использование электромагнитных волн в современном мире постоянно растет.

176

Приведем в заключение шкалу электромагнитных волн, где длине волны примерно соответствует указанный характер электромагнитного излучения.

Рис.14. Шкала электромагнитных волн.

Отметим, что видимый свет ограничен диапазоном длин волн

3.6 ×10−7 £ λ £7.7 × 10−7 (м)

Нижняя граница соответствует фиолетовому цвету, верхняя - красному. Излучение на длинах волн справа от этого интервала называется инфракрасным (воспринимается, как тепло), а слева от него - ультрафиолетовым.

Электромагнитное излучение с длинами волн, примерно от 10−3 м

до 104 м, называют радиоволнами различных диапазонов. Они чрезвычайно широко используются в современной технике. Радио, телевидение, радиолокация - основные сферы их применения.

Краткие выводы

∙Механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде,

называются упругими (механическими) волнами. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются состояния колебательного движения

иэнергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

∙Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

∙Длина волны λ – расстояние между двумя ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебаний за период:

λ= vT = νv .

∙Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, имеет вид

ξ( x,t ) = A cos(ωt − kx + ϕ ),

177

∙ Дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее распространение волн в однородной изотропной среде, называется

волновым уравнением:

Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид

∙Волны, разность фаз которых остается постоянной во времени, называются когерентными. Когерентными могут быть лишь волны одинаковой частоты.

∙Интерференция волн – явление наложения двух или нескольких когерентных волн, в результате которого в разных точках пространства наблюдается устойчивое усиление или ослабление результирующей

волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Выражение

= ±mλ

определяет условие интерференционного максимума: максимум амплитуды колебаний получается в точках пространства, для которых разность хода волн равна нулю или целому числу длин волн. Целое число m называется порядком интерференционного максимума.

Условие интерференционного минимума

= ±( 2m + 1 ) λ , 2

то есть минимум амплитуды колебаний получается в точках пространства, для которых разность хода волн равна нечетному числу длин полуволн. Число m в данном случае называется порядком интерференционного минимума.

∙Волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, называются стоячими. Уравнение стоячей волны имеет вид

ξ= 2 A cos 2λπx cos ωt.

Точки, в которых амплитуда максимальна ( Aст = 2 A), называются пучностями стоячей волны. Координаты пучностей

Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю ( Aст = 0 ), называются узлами стоячей волны. Координаты узлов

178

называются звуковыми или акустическими волнами. Волны с ν <16 Гц (инфразвуковые) и ν >20 кГц (ультразвуковые) органами слуха человека не воспринимаются.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1.Что называется волновым процессом? Как объяснить распространение колебаний в упругой среде?

2.Какая волна называется продольной, поперечной?

3.Что такое волновой фронт, волновая поверхность?

4.Что называется длиной волны? Какова связь между длиной волны, фазовой скоростью и периодом?

5.Какая волна называется гармонической, плоской, сферической?

6.Запишите дифференциальное уравнение плоской бегущей волны. Каково его решение?

7.При каких условиях возникает интерференция волн? Запишите условия интерференционных максимума и минимума.

8.При каких условиях возникают стоячие волны? Чем стоячая волна отличается от бегущей волны?

9.Чему равно расстояние между двумя соседними узлами стоячей волны? Двумя соседними пучностями? Соседними пучностью и узлом?

10.Что такое звуковые волны? От чего зависит скорость звука в газе? 11.От чего зависят громкость, высота и тембр звука?

12.Что называется эффектом Доплера? Изменится ли частота колебаний, воспринимаемых покоящимся приемником, если источник колебаний от него удаляется?

Примеры решения задач

Задача 1. Волна распространяется по прямой со скоростью 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях 12 и 15 м от источника возмущений, колеблются по закону синуса с амплитудами, равными 0,1 м, и с разностью фаз, равной 1350. Найти длину волны, записать ее уравнение и определить смещения указанных точек в момент времени τ = 1,2 с.

Найти: λ ,ξ ( x,t ),ξ 1 ( x1 ,τ ),ξ 2 ( x2 ,τ ).

179

Решение

Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны λ , колеблются с разностью фаз, равной 2π . Тогда точки, находящиеся друг от друга на расстоянии x , колеблются с разностью фаз

ϕ = λx 2π ,

откуда

Уравнение плоской волны

ξ( x,t ) = A sin(ωt − kx ),

где

Таким образом, уравнение волны имеет вид:

ξ( x,t ) = 0,1 sin( 5πt - π x ), м. 4

Чтобы найти смещения указанных точек, необходимо в это уравнение подставить заданные значения координат и времени:

ξ 2 ( x2 ,τ ) = 0,071 м.

Задача 2. Два динамика расположены на расстоянии 2,5 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на определенной частоте, который регистрируется приемником, находящимся на расстоянии 3,5 м от центра динамиков. Если приемник передвинуть от центральной линии параллельно динамикам на расстояние 1,55 м, то он фиксирует первый интерференционный минимум (рис. 2.6). Скорость звука принять равной 340 м/с. Определить частоту звука.

Дано: d=2,5 м; l=3,5 м; x=1,55 м; v=340 м/с.

Найти: ν .

Решение