8777
.pdf· (для правой части стержня).
Соответственно, нагрузка, направленная «к сечению», будет вызывать
отрицательное усилие N.
б) Усилие поперечнаясила.
На рис. 24 показан рассеченный стержень с положительно направленным усилием . Неизвестное усилие должно находиться из уравнения ∑Y = 0,
составленного для одной из частей стержня. Чтобы и нагрузка уравновесили друг друга, они должны быть направлены в разные стороны. Из рис.24 видно, что внешние силы, вызывающие положительную поперечную силу, стремятся повернуть отсе-
ченную часть стержня “ по часовой стрелке» относительно оси х, проходящей через сечение.
То есть
· (для левой части стержня),
· (для правой части стержня).
Соответственно, нагрузка, направленная «против часовой стрелки» будет вызывать отрицательное усилие .
в) Усилие (изгибающий момент).
На рис.4 показан рассеченный стержень с положительным усилием .
|
|
Рис. 25 |
∑ |
Неизвестный внутренний момент следует искать из уравнения равновесия |
|
0 |
(х проходит через центр тяжести сечения), составленного для левой или |
правой частей стержня. Из рис. 25 видно, что, если усилие направлено против
часовой стрелки, то уравновешивающая его нагрузка должна давать относительно х мо-
мент по часовой стрелке (и наоборот). То есть, другими словами, внешние силы вызывают положительный изгибающий момент, если стремятся изогнуть часть стержня выпуклостью вниз (вызвать растяжение в нижних волокнах стержня). Тогда
· " · · # (для левой части стержня),
· " · · # (для правой части стержня).
Соответственно, нагрузка, направленная иначе, чем на рис. 25, будет вызывать отрицательное усилие .
Нагрузка в виде сосредоточенного момента никогда не входит в выражения для усилий N и , поскольку не входит в уравнения для их определения ∑Y = 0, ∑Z = 0. На любую ось момент, представляющий собой пару разнонаправленных равных сил (рис. 25), всегда проектируется в нуль.
1.5 Связьвнутреннихивнешних сил
Из уравнения ∑Z = 0, записанного для одной из частей стержня, следует, что продольная сила N равна отрицательной сумме проекций на ось z всех сил,
приложенных к левой части стержня, или положительной сумме проекций на ось z всех сил, приложенных к правой части стержня.
Обозначая проекции внешних сил как $ , запишем
%∑лев.$ ∑прав.$
Из уравнения ∑у = 0, записанного для одной из частей стержня, следует, что поперечная сила равна отрицательной сумме проекций на ось у всех сил,
приложенных к левой части стержня, или положительной сумме проекций на ось y всех
сил, приложенных к правой части стержня. |
|
Обозначая проекции внешних сил как $ , запишем |
|
Из уравнения ∑ |
%∑лев.$ ∑прав.$ |
0, записанного для одной из частей стержня, следует, что |
|
изгибающий момент |
равен отрицательной сумме моментов относительно оси х |
(проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения) всех сил, приложенных к левой части стержня или положительной сумме моментов относительно оси х всех сил,
приложенных к правой части стержня.
Обозначая моменты нагрузок как momx(P), запишем |
|
|||
|
%∑лев & $ ∑прав & |
$ . |
||
1.6 Дифференциальные зависимости Журавского. |
|
|||
Продольное усилие N связано с распределенной нагрузкой (действующей |
||||
вдоль оси z) дифференциальной зависимостью |
|
|||
|
'(' % . |
|
||
Поперечная сила связана с распределенной нагрузкой дифференциальной |
||||
зависимостью |
)) % . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изгибающий момент связан с поперечной силой |
дифференциальной |
|||
зависимостью |
'*'+ . |
|
||
|
|
Положительные значения функций N ( z ) , откладываются вверх. Положительные значения изгибающего момента по традиции откладываются вниз.
2. ПОСТРОЕНИЕЭПЮРПРОДОЛЬНЫХ СИЛПРИЦЕНТРАЛЬНОМ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ
Центральным растяжением-сжатием (ЦРС) называется вид сопротивления,
при котором в поперечных сечениях стержня из шести возможных усилий возникает только одно ‒ продольная сила N.
Из дифференциальной зависимости следует, чтоприотсутствиина участке стержня распределенной продольной нагрузки( 0), продольное усилие Nпостоянно
N(z)=const (рис. 26).
Если на участке приложена постоянная распределенная нагрузка qz(z) = const, из
(1.4) следует, что N(z) изменяется по линейному закону (рис. 26) .
Рис. 26
Кроме того, из (1.4) следует, что если нагрузкаqzположительна (направлена вправо),
то на участке наблюдается уменьшение усилия N. Если qzотрицательна (направлена влево) - усилие N увеличивается. Причем изменение усилия N равняется (как это следует из 1.1)
равнодействующей распределенной нагрузки qz. В сечении, в котором действует сосредоточенная продольная нагрузка F, имеет место скачкообразное изменение про-
дольного усилия N («скачок»). Это вытекает из зависимости 5. Изменение усилия N равно величине внешней силы F.
При положительной нагрузке F усилие N равно величине внешней силы F (направленной вправо), усилие N уменьшается на величину F.
При отрицательной (направленной влево) - увеличивается на величину F (рис. 27).
Рис. 27
2.1«Аналитический» способ построения эпюр
1.Определяются опорные реакции, если это необходимо.
2.Стержень разбивается на участки. Границами участков являются:
а) края стержня,
б) точки приложения сосредоточенных сил и моментов (включая реакции),
в) границы распределенных нагрузок.
Участки нумеруются последовательно слева направо, а в консольных стержнях - по направлению к заделке.
3. На каждом из участков произвольно выбирается сечение. Его положение задается переменным расстоянием zi (где i- номер участка). Это расстояние отсчитывается обычно от левого или от правого краев стержня.
4. На каждом i-м участке записываются аналитические выражения для усилий,
показывающие, как усилия зависят от расстояния zi. Усилия при этом выражаются через нагрузку, приложенную либо к левой, либо к правой частям стержня (в зависимости от точки отсчета zi).
5. Полученные функции изображаются графически, для чего сначала подсчитываются их значения в ряде сечений. Графики усилий (эпюры) строятся на осях,
параллельных оси стержня, и штрихуются вертикальной штриховкой. Символами + и -
отмечаются знаки усилий. Вычисленные значения наносятся на чертеж. Описанный способ построения эпюр называется «аналитическим».
3. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА ПРИ ЧИСТОМ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ
Кручением называется вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях стержня из шести возможных усилий возникает только одно - крутящий момент Mz (Mк).
Задача 3.1. Построить эпюру крутящего момента Mz для стержня. Для экономии места
сам стержень и построения, выполненные в процессе решения, показываются на одном
рисунке (рис. 28).
Решение
Стержень загружен только моментами, действующими относительно оси z.
Поэтому в пространственной заделке А из шести возможных реакций не равна нулю только одна ‒ реактивный момент MA.
Найдем его из уравнения ∑ mz= 0.
MА =M1 -M2 -M3 +m·1,2=0
MА =M1 -M2 +M3 -m·1,2=8-5+7-5·1,2=4кНм.
Новым в данной задаче является наличие распределенной моментной нагрузки m=5
кНм/м, что означает, что на каждый метр длины участка действует распределенный момент 5 кНм.
На участок длиной l=1,2 м в этом случае будет действовать равнодействующий момент М = m·l =5·1,2 = 6 кНм.
Поочередно рассекая каждый участок, будем, отбрасывая правую часть стержня,
записывать уравнение равновесия для левой: ∑ mz=0 , из которого будем определять величину крутящего момента Mz. Его первоначальное направление будем считать на всех участках положительным
1-й участок
MА+Mz=0; Mz=МА= -4 кНм = const.
Проводим горизонтальную прямую.
2-й участок
На участке приложен распределенный момент m, поэтому значение усилия Mz
будет зависеть от расположения сечения. Рассматриваемое сечение свяжем с переменным расстоянием от края участка (можно от края стержня) z2, который изменяется в пределах от 0 (левый край участка) до 1,2 (правый край).
Итак , 0≤z2≤1,2м
Mz =-MA –M 1 +m· z2=0
Mz =-MA –M 1 +m ·z2=-4+8-5 z2=4-5 z2.
Строим прямую по двум точкам:
при z2 =0 Mz=4-5·0= 4 кНм,
при z2 =1,2 Mz=4-5· 1,2 =-2 кНм.
3-й участок
Mz +MA –M 1 +M2 +m·1,2=0 , откуда
Mz =-MA +M1 –M 2 -m·1,2= -4+8-5-5·1,2= -7кНм (на эпюре горизонтальная линия).
Значение Mz несколько проще определять из уравнения ∑ mz=0
Mz +M3=0 , откуда Mz =-M3=-7кНм.
4-й участок
Если взять сечение на 4-м участке, то очевидно, что правее него не приложено внешних сил,
откуда ясно, что из уравнения ∑mz=0 следует MZ=0. Эпюра MZ построена
Рис. 28
4. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛ В БАЛКАХ ПРИ ИЗГИБЕ
Балкой называется брус или стержень, работающий преимущественно на изгиб. При этом нагрузки, действующие на балку, направлены перпендикулярно к оси стержня.
Если изгиб происходит в двух главных плоскостях (плоскостях, проходящих через главные центральные оси и ось z), то такой изгиб называют сложным.
Частный случай сложного изгиба, при котором нагрузка в вертикальной плоскости подобна (отличается множителем) нагрузке, приложенной в горизонтальной плоскости, называется косым изгибом.
При сложном и косом изгибах в сечениях стержня возникают поперечные силы
Qх, Qу и изгибающие моменты Мx, My.
Если вся нагрузка, действующая на балку, приложена в вертикальной (или горизонтальной) плоскости, в сечениях возникает только два усилия: поперечная сила
Qх и изгибающий момент Мy(или соответственно Qх и Мy ). Это прямой поперечный изгиб.
Рассмотрим подробное построение эпюр Qyи Мx при прямом поперечном изгибе.
При построении эпюр будем использовать правило знаков, а также зависимости Журавского и выражение усилий через нагрузку.
Эпюры усилий в простейших балках
Очень часто в конструкциях встречаются балки, имеющие простую расчетную схему и нагрузку. Характер усилий для ряда таких балок грамотный инженер должен помнить наизусть. Эти балки вместе с эпюрами Qy и Mx приведены на рис. 29 – 34.
|
Fb |
Fa |
|
l |
|
|
l |
|
|
|
|
|
Fb |
Fa |
|
l |
|
|
l |
|
|
|
|
Рис. 29 |
|
Рис. 30 |
ql 2
2
F |
F |
|
2 |
2 |
|
F |
F |
|
2 |
||
2 |
||
|
Рис. 31 |
|
|
|
|
|
Рис. 32 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ql |
ql |
|
2 |
||
2 |
||
|
|
ql |
ql |
ql 2 |
2 |
2 |
8 |
|
|
Рис. 33 Рис. 34
Лекция №4
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ– СЖАТИЕ
1. Напряжение в поперечных сечениях стержня
Нормальная сила N приложена в центре тяжести сечения, является равнодействующей внутренних сил в сечении и, в соответствии с этим, определяется следующим образом:
, -)..
Считается, что при ЦРС нормальное напряжение в любом сечении стержня постоянно, то есть поперечные сечения перемещаются параллельно друг другу, а все поверхностные и внутренние продольные волокна удлинятся одинаково, что соответствуетгипотезе плоских сечений( гипотезе Бернулли) , после интегрирования получаем:
σ = N / A,
где A − площадь поперечного сечения стержня.
В сечениях, близких к месту приложения внешних сил, гипотеза Бернулли нарушается: сечения искривляются, и напряжения в них распределяются неравномерно.
По мере удаления от сечений, в которых приложены силы, напряжения выравниваются, и
в сечениях, удаленных от места приложения сил на расстояние, равное наибольшему из размеров поперечного сечения, напряжения можно считать распределенными по сечению равномерно. Это положение, называемое принципом СенВенана, позволяет при определении напряжений в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения внешних сил, не учитывать способ их приложения, заменять систему внешних сил статически эквивалентной системой.