8777

Контрольные вопросы по теме

1.В чем заключается суть метода сечений при определении внутренних усилий, в

частности, при определении продольных сил?

2.Приведите рабочее правило для определения продольных сил в поперечных сечениях стержней и правило знаков для них.

3.Как определяется нормальное напряжение в поперечном сечении бруса при растяжении– сжатии?

4.Что такое расчетное сопротивление материала?

5.Как записываются условия прочности при растяжении-сжатии для пластичных и хрупких материалов?

6.Как производится подбор требуемой площади поперечного сечения бруса из условия прочности?

7.Как формулируется закон Гука? Как он записывается для случая растяжения– сжатия?

8.Как определяется абсолютная деформация бруса при осевом растяжении– сжатии при наличии распределенной нагрузки на грузовом участке и при ее отсутствии?

Лекция №5

Напряжения при прямом поперечном изгибе

1. Нормальные напряжения. Вывод формулы Новье

Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, называемый чистым изгибом и

выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая.

Отметим, что методами теории упругости можно получить точную зависимость для

нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов, необходимо ввести некоторые гипотезы.

Таких гипотез при изгибе три:

1) гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки,

лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой -

сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2)гипотеза о постоянстве нормальных напряжений - напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3)гипотеза об отсутствии боковых давлений - соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Кроме этих гипотез следует ввести ряд ограничений:

1.Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

2.Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

3.Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Приведенные выше гипотезы в обычных случаях изгиба верны только приблизительно. Однако вытекающие из них погрешности теории так невелики, что ими можно пренебречь.

Как было отмечено выше, под чистым изгибом понимается такой вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а поперечные силы равны нулю. Для тех участков бруса, где соблюдается

данное условие, изгибающий момент, вдоль продольной оси z принимает постоянное

значение. Так как в любом сечении стержня при чистом изгибе Mx(z)=const, то для однородного бруса постоянного поперечного сечения изменение кривизны постоянно

вдоль оси z. Под действием изгибающих моментов ось бруса искривляется. Исходя из этого, ось бруса принимает форму дуги окружности с радиусом кривизны 0. В данном случае с высокой степенью точности справедлива гипотеза плоских сечений.

Следовательно, точки, расположенные до изгиба в плоскости поперечного сечения бруса,

в результате изгиба переместятся в пространстве таким образом, что их совокупность снова образует плоскость.

Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга.

Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии dz

(рис. 40).

Врезультате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между собой угол dθ, в связи

счем верхние волокна удлиняются, а нижние − укоротятся. Очевидно, что при этом

существует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным слоем и

обозначим отрезком СD. При этом 12 1323 ) 0)4. Произвольный отрезок АВ,

расположенный от СD на расстоянии y, в результате изгиба удлинится на величину

.353 % .5. С учетом построений, изображенных на рис. 40, легко определить величину

Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения − сжатия. Тогда переход от

деформаций к нормальным напряжениям - можно осуществить посредством закона Гука:

- 8/ 8 60

σ Рис. 41

Установим положение нейтральной оси x, от которой происходит отсчет координаты у (рис. 41). Учитывая, что сумма элементарных сил -). по площади попе-

Как известно, последний интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю, значит,

нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси Mxчерез σ.

Очевидно, что

, -6)..

Эта формула была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году.

Таким образом, нормальные напряжения в любой точке сечения прямо пропорциональны величине изгибающего момента и расстоянию точки от нейтральной линии сечения и обратно пропорционально моменту инерции сечения относительно нейтральной оси.

Из выражения (5) можно сделать ряд важных выводов:

1)центр тяжести сечения балки является началом координат для анализа напряжений и приведения внешних сил;

2)напряжения изгиба зависят от значений изгибающего момента, момента инерции сечения и координаты точки, в которой это напряжение определяется;

3)напряжения в любой точке, лежащей на одинаковом расстоянии от нейтральной линии, равны между собой;

4)нормальные напряжения не зависят, а упругие перемещения зависят от модуля упругости материала балки.

В нейтральном слое при y=0 напряжения σ=0, в сжатой зоне (при y<0) напряжения

становятся отрицательными, в растянутой зоне (при y>0) напряжения становятся

положительными. По мере удаления от нейтрального слоя нормальные напряжения σ в

поперечном сечении бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в

где ? 6=>: % осевой момент сопротивления сечения при изгибе.

Измеряется осевой момент сопротивления единицами длины в третьей степени,

например (см3). Физический смысл момента сопротивления состоит в следующем: чем больше Wx, тем больший изгибающий момент может принять на себя балка, не подвергаясь опасности разрушения. Таким образом, величина момента сопротивления

характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения балки на ее

способность сопротивляться внешним нагрузкам, не разрушаясь.

При симметричном относительно нейтральной линии сечении, например,

прямоугольном, расстояния до крайних растянутых и сжатых волокон одинаковы и такое сечение имеет одно вполне определенное значение момента сопротивления относительно

оси Oz. Так, при высоте прямоугольника (рис. 42, а), равной h

6=> S2 и ? VUWX #S12SY · 2 #S6 .

Рис. 42

Если сечение несимметрично относительно нейтральной линии – тавр, мы получим два момента сопротивления: один для волокон А (рис. 42,б): ? WZ[\ и другой для волокон

В: ? WZ[]. Теперь следует вводить: W1− при вычислении напряжений в точке А и W2−

при вычислении напряжений в точке В.

Для круга

? #S32Y.

Для прокатных профилей (двутавра, швеллера, уголка) Mxприводится в таблицах сортамента.

Формулой удобно пользоваться для расчета балок пластичного материала в

упругой области, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак

где maxMx— максимальное значение изгибающего момента (легко определяемое по его эпюре), [σ] - допускаемое напряжение на простое растяжение (сжатие). Напомним, что чистый изгиб балки сводится к растяжению и сжатию ее волокон (неравномерному в отличие от деформации растяжения (сжатия) призматического стержня, при котором

σ=const).

При расчете балок из хрупких материалов следует различать наибольшие растягивающие maxσpи наибольшие сжимающие maxσc напряжения, которые также определяются по модулю непосредственно и сравниваются с допускаемыми напряжениями на растяжение [σp] и сжатие [σc]. Условие прочности в этом случае будет

иметь вид:

_-c U 6=>c ` d-cd,

_-e U 6=>e ` |-e|.

В зависимости от того, чему лучше сопротивляется материал, приходится соответсвующим образом конструировать сечение, выбирая его форму и размеры так,

чтобы удовлетворяли условию прочности.

Формулируют три рода задач на прочность при изгибе:

1. Проверка прочности: задана балка, нагрузка, известен материал. Строится эпюра

Mx – определяется Mmax, вычисляется Wx и проверяется условие прочности.

2. Определение максимально допустимой нагрузки по условию прочности.

` ? a-b.

Заданы размеры балки, характер нагрузки, материал балки.

Строится эпюра Mx – определяется Mmax от параметра нагрузки, вычисляется Wx и

по (8) находят наибольший параметр нагрузки.

3. Конструирование балки – определение размеров ее поперечного сечения.

? g a-b.

Строится эпюра – определяется =>, вычисляется правая часть и подбираются размеры поперечного сечения, удовлетворяющие.

Для прямоугольного сечения

#S6 g a-b.

Обычно задаются отношением

S# h.

Тогда

#Y6h g a-b ;

отсюда

# g kjh6 a-b.

Задаваясь шириной bи получимh.

Для двутаврового сечения по таблице сортамента подбирают номер двутавра с Wx

большим, чем правая часть.

Рассмотрим примеры определения нормального напряжения в произвольной точке сечения изгибаемой балки.

Лекция №6

1. Касательные напряжения при поперечном изгибе. Вывод формулы Журавского. Главные напряжения при изгибе

В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки, строго говоря, не остаются плоскими. Однако при h/l<<1 (где h − высота поперечного сечения, l − длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений σ применяют ту же формулу.

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dz(рис. 43,а).

Рис. 43

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 43,в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности каса-

дал определение касательных напряжений в изгибаемых балках и вывел формулу для определения касательных напряжений при изгибе.

где => - максимальное значение поперечной силы в сечении; amb- допускаемое касательное напряжение, оно, как правило, равно половине a-b.

3. Расчеты на прочность при изгибе

При прямом поперечном изгибе в поперечном сечении бруса действуют нормальные (σ) и касательные (τ) напряжения.

Нормальные напряжения вызваны изгибающим моментом и определяются по формуле:

σZ = − M X × y

I X

Где Мx – величина изгибающего момента в сечении; у – ордината точки, где определяется

σz (рис. 44); Ix– главный центральный момент инерции сечения бруса.

По формуле можно определять нормальные напряжения в любой точке, лежащей на горизонтальной линии поперечного сечения бруса и отстоящей от нейтральной оси X

на расстоянии у. Знак "минус" перед формулой поставлен для того, чтобы при принятых правилах знаков для изгибающих моментов знак полученного нормального напряжения соответствовал характеру деформации точек сечения: "плюс" – растяжению, "минус" –

сжатию.

Рис. 44

Из соотношения видно, что нормальное напряжение зависит от величины улинейно. График, изображающий закон изменения нормальных напряжений по высоте сечения, называемый эпюрой напряжений. Наибольшее нормальное напряжение будет в точке, для которой величина ув формуле принимает максимальное значение, т.е. в

наиболее удаленной от нейтральной оси точке сечения.

При прямом изгибе нейтральная ось совпадает с главной центральной осью поперечного сечения, перпендикулярной плоскости действия сил.