8850
.pdf
|
ln( х |
) |
|
|
|
|
(ln( x ))' |
|
||
lim |
|
|
2 |
|
|
lim |
2 |
lim |
||
|
tgx |
|
|
|
|
(tgx)' |
||||
x |
|
|
|
|
|
x |
x |
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
lim |
2 cos x sin x 0 . |
|
|
|||||||
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Найти предел lim (tgx ln x) .
x 0
cos2 x |
|
0 |
|
lim |
(cos 2 x)' |
|
|
|
|
|
|||
x |
|
0 |
|
x 2 |
(x )' |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
Решение. Так как lim tgx 0 |
и lim ln x , следовательно, имеем |
x 0 |
x 0 |
неопределенность вида 0 . Преобразуем выражение, стоящее под знаком
предела:
lim (tgx ln x) lim |
ln x |
|
lim |
ln x |
|
|
|
|
lim |
(ln x)' |
lim |
2 sin 2 x |
|
0 |
|
|
|
1tgx |
ctgx |
|
|
(ctgx)' |
x |
|
|
||||||||||
x 0 |
x 0 |
x 0 |
|
|
|
x 0 |
x 0 |
|
0 |
|
|
lim |
( 2sin 2 x)' |
|
0 |
|
lim |
2sin x cos x |
0 . |
x' |
|
|
1 |
||||
x 0 |
|
0 |
|
x 0 |
|
Пример 4. Найти предел lim (ctgx)sin x .
x 0
Решение. В данном случае имеем неопределенность вида 0 .
Прологарифмируем заданную функцию: y (ctgx)sin x ln y ln( ctgx)sinx sin x ln ctgx
Далее рассмотрим предел
lim ln y lim (sin x ln ctgx) 0 lim |
ln ctgx |
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
|
ctgx |
sin 2 x lim |
1 |
|
|
lim |
|
sin x |
|
0 |
. |
|
|||||
|
|
1 |
ctgx cos x |
|
|
|
|||||||||||||
x 0 |
|
|
cos x |
x 0 |
x 0 cos2 x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, |
lim ln y 0 , то есть |
|
|
0 , тогда lim y |
lim |
||||||||||||||
ln lim y |
|||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x 0 |
lim (ln1 ctgx)' x 0 ( sin x)'
(ctgx)sinx 1.
10
Применение правила Лопиталя при вычислении предела часто приводит к громоздким выражениям. В этом случае целесообразно представить предел в виде произведения нескольких пределов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 5. Найти предел lim |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
e |
x2 |
e |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. В данном случае имеем неопределенность вида |
0 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
x |
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
cos x |
|
0 |
|
|
|
cos x |
|
sin x x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||
e |
x2 |
e |
x2 |
|
|
|
|
x2 |
(e |
2 x2 |
1) |
cos x e |
x2 |
|
(e |
2 x2 |
1) |
|||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
0 |
|
x 0 e |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
lim |
|
1 |
|
lim |
sin x x |
1 lim |
sin x x |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
cos x e x2 |
e2 x2 |
1 |
e |
2 x2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
lim |
(sin x x)' |
lim |
cos x 1 |
lim |
1 |
lim |
cos x 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
(e |
2 x2 |
1)' |
|
|
e |
2 x2 |
4x |
4e |
2 x2 |
|
x |
|
||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
lim |
cos x 1 |
|
0 |
|
1 |
lim |
(cos x 1)' |
|
1 |
lim |
sin x |
0 . |
||||||||||||||||
4 |
|
x |
|
|
|
|
4 |
x' |
|
|
4 |
1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
Задание №2
Вычислить предел, используя правило Лопиталя.
Вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ln cos2x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
x |
б) lim |
||||||
|
а) |
lim |
|
|
arccosx |
x 0 |
ln cos5x |
|
||
|
|
|||||||||
|
|
x 0 |
π |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
а) |
lim |
(1 x) tg x |
б) lim |
ctg(x 1) |
|
||||
|
|
x 1 |
|
|
2 |
|
|
x 1 |
ln(1 - x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x + lnx |
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
а) |
lim |
|
|
|
x 3 ln( x2 5x 6) |
б) |
lim |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 1 2x x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
а) lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
б) |
lim |
|
ex e x 2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x 1 |
ln x |
|
|
x |
1 |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x sinx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
а) lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
б) |
lim |
sinx xcosx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
sin x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) lim |
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
б) |
lim |
x arctgx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x 1 |
x 1 |
|
|
|
|
ln x |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7 |
а) |
lim |
1 x ln(1 x) |
б) |
lim |
|
etgx 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ln |
|
x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x 1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex esinx |
||||||||||||||||||||||||||||
9 |
а) lim |
|
|
|
|
|
ctgx |
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10 |
а) |
lim |
2x cos x |
б) lim |
|
|
1 cosx2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2sinx2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lnx ln x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
11 |
а) |
lim |
б) |
lim |
|
|
1+ xsinx 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
а) lim tgx tg2x |
|
б) |
lim |
|
ln 2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 0 |
|
|
|
ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
а) |
lim |
x ln 2 + x ln x +1 |
б) |
lim |
1 - sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
tg |
2 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14 |
а) |
lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
б) |
lim |
|
|
1 cos7x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xsin7x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
ex e x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
15 |
а) |
lim |
sin |
|
|
|
|
+ cos |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
ln e x + x 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos2x+tg2 x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
а) |
lim x 4 ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
17 |
а) |
lim |
1 ex x |
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1+ x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
18 |
а) |
lim |
|
|
x2 |
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
1 cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
19 |
а) |
lim |
π 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln tg |
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ xsinx 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
20 |
ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
tg x |
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
sin3x 3xe x + 3x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
а) lim |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
arctgx sin x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
22 |
а) |
lim |
|
|
|
xπ 2arctgx |
|
|
|
|
б) |
lim |
1+ 5x e5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
23 |
а) lim |
cos5x2 x3 |
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
tgx sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln ex2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3x 2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
24 |
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnx |
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
а) lim |
|
|
1+ x lnx |
|
|
|
|
б) lim |
|
x ex +1 2 ex 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ctgx 1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
26 |
а) |
lim |
|
x2 |
б) |
lim |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 3tg 2 x ctg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
27 |
а) lim |
б) |
lim |
|
|
|
е х2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2arctgx |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ln e |
3 |
e |
x |
|
|
||||||||||||||
|
а) lim |
1+ 2x |
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
28 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln 3 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
29 |
а) |
lim |
e |
+ x x |
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ex |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnsin |
πx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
30 |
а) lim |
xln e |
x |
1 |
б) |
lim |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
sin |
|
|
|
x 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применение производной к исследованию функций и
построению их графиков
Производная – мощный инструмент для исследования числовых функций. С помощью производных первого и второго порядка изучаются общие свойства функций. Пользуясь результатами этого изучения, можно составить ясное представление о характере функции и построить ее график.
1) Точки экстремума и участки монотонности функции
Функция y f x |
называется |
возрастающей (убывающей) на |
||
интервале a;b , если для любых точек |
x1 , x2 a;b таких, что |
x1 x2 , |
||
имеет место неравенство: |
f x1 f x2 |
|
f x1 f x2 . |
|
14
Теорема. |
Если функция y f x дифференцируема |
на |
интервале |
||||
a;b и |
для |
любого x a;b : f |
|
f |
|
то |
функция |
x 0 |
x 0 , |
||||||
y f x возрастает (убывает) на интервале a;b . |
|
|
|
||||
Точка |
x0 |
называется точкой |
максимума |
(минимума) |
функции |
yf x , если:
1)функция y f x определена в некоторой - окрестности точки x0 ;
2)для любого х x0 из - окрестности точки x0 справедливо
неравенство: f x f x0 f x f x0 (см. рис. 1 и 2).
f x0 f x
x x |
x |
0 |
0 |
x |
0 |
|
x |
0 |
|
|
|
|
|||
|
т. max |
|
|
|
|
Рис. 1
y
|
f x |
|
|
|
|
|
f x0 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
0 |
x x |
0 |
|
x |
0 |
|
|
|
|
||
|
т. min |
|
|
|
|
Рис.2
15
Точки максимума и минимума функции называются точками
экстремума функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Теорема. |
(Необходимое условие экстремума). Если |
|
x0 |
– точка |
|||||||||||||||||||
экстремума функции |
y f x , |
то в |
этой |
точке либо |
f x0 0 , либо |
||||||||||||||||||
производная не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Точки, |
в |
которых |
производная |
равна |
нулю |
либо не |
существует, |
||||||||||||||||
называются критическими. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Теорема. (Достаточные условия экстремума). Если непрерывная |
|||||||||||||||||||||||
функция |
|
y f x |
дифференцируема слева и справа от критической точки |
||||||||||||||||||||
x0 , и при этом ее первая производная меняет знак |
с минуса |
на плюс |
|||||||||||||||||||||
(с плюса на минус) при переходе через точку x0 , то |
x0 |
|
– точка минимума |
||||||||||||||||||||
(максимума) функции y f x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Теорема. |
(Достаточные условия экстремума). |
|
Если |
в |
точке x0 |
||||||||||||||||||
первая производная функции y f x равна нулю ( f |
' x0 0 ), |
а вторая |
|||||||||||||||||||||
производная в точке x0 |
существует и отлична от нуля ( |
|
f ' ' x0 |
0 ), то при |
|||||||||||||||||||
f '' x0 0 |
в точке |
|
|
|
x0 |
функция имеет максимум, а при |
f ' ' x0 |
0 |
функция |
||||||||||||||
имеет минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример |
1. |
|
|
|
Найти интервалы |
монотонности |
и |
|
точки |
экстремума |
|||||||||||||
функции y |
x2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
Областью определения |
D данной функции y |
|
является вся |
|||||||||||||||||||
числовая ось R , кроме точки x 1, то есть D R \ 1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Находим первую производную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
x |
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x x 1 |
x2 1 |
|
2x2 2x x2 |
|
|
x2 2x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|||||
|
x 1 |
|
x 1 |
|
|
x 1 |
|
||||
|
Используя необходимые условия экстремума, находим критические |
||||||||||
точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 x2 |
2x 0 |
или x x 2 0, откуда x1 |
0 или x2 2. |
||||||||
y не существует x 1 2 |
0 , откуда x3 1. |
|
|||||||||
|
Используем достаточные условия экстремума. Наносим три |
||||||||||
критические |
точки |
x1 0 ; |
x2 2; |
|
x3 1 на |
область определения D |
|||||
функции y . |
Они разбивают область |
D на четыре интервала. Определяем |
знак функции y в каждом интервале.
y |
+ |
– |
– |
+ |
|
y |
0 |
1 |
2 |
x |
|
Так как x1 0 D и при переходе через эту точку y меняет знак плюс
на минус, то x1 |
0 – точка максимума функции y . |
|
|
Так как |
x2 2 D и при переходе через эту точку |
y меняет знак |
|
минус на плюс, то x2 2 – точка минимума функции y . |
|
|
|
|
|
0 , то в интервалах |
|
Так как при любом x ;0 или x 2; y |
|||
;0 и 2; функция y монотонно возрастает. |
|
|
|
|
|
|
то в интервалах |
Так как при любом x 0;1 или x 1; 2 y 0 , |
0;1 и 1; 2 функция y монотонно убывает.
17
|
|
Пример 2. Найти интервалы монотонности и точки экстремума |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
функции y (х 1) 3 |
|
|
х2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. Областью определения D данной функции y является вся |
||||||||||||||||||||||||||||
числовая ось R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Находим первую производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3х 2х 2 |
|
5х 2 |
||||||||
|
|
|
|
3 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
(х 1) |
|
|
х 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
х (х 1) 3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
х |
|
|
3 3 х |
х |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Находим критические точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y 0 5x 2 0 , откуда x1 0,4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
y не существует 3 |
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
х 0 , откуда x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Наносим критические точки |
x1 0,4 ; |
x2 0 на область определения |
||||||||||||||||||||||||
D функции |
y . Они разбивают область |
D на три интервала. Определяем |
||||||||||||||||||||||||||
знак функции y в каждом интервале. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
y
+ |
– |
+ |
|
0 |
0,4 |
x
Так как x1 0 D и при переходе через эту точку y меняет знак плюс
на минус, то x1 |
0 – точка максимума функции y . |
|
|
|
|
|||
Так как |
x2 0,4 D и при переходе через эту точку |
y меняет знак |
||||||
минус на плюс, то x2 0,4 – точка минимума функции y . |
|
|
|
|||||
|
|
x ;0 |
или x 0,4; имеет место |
y 0 |
|
|||
Так как при любом |
|
|
|
, то |
||||
в интервалах ;0 и 0,4; функция y монотонно возрастает. |
|
|
||||||
Так как при любом |
x 0;0,4 выполняется |
y 0 , |
то в интервале |
|||||
0;0,4 функция y монотонно убывает. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
2) Точки перегиба и участки выпуклости графика функции
График дифференцируемой на a;b функции y f x называется
выпуклым вверх в интервале a;b , если он расположен ниже касательной,
проведенной в любой точке x этого интервала (см. рис. 3). y
a |
x 0 |
b |
x |
|
|
|
Рис. 3 |
График дифференцируемой на |
a;b |
функции y f x называется |
выпуклым вниз в интервале a;b , если он расположен выше касательной,
проведенной в любой точке x этого интервала (cм. рис. 4). y
a 0 |
x |
b |
x |
Рис. 4
Теорема. (Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции) Если в интервале a;b , то график функции y f x
является выпуклым вверх в этом интервале; если же интервале a;b график функции y f x – выпуклый вниз.
19