8853
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова, П.В. Столбов
Приложение дифференциального исчисления
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.03 Геодезия и дистанционное зондирование, направленность (профиль) Инфраструктура пространственных данных
Нижний Новгород
2022
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова, П.В. Столбов
Приложение дифференциального исчисления
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.03 Геодезия и дистанционное зондирование, направленность (профиль) Инфраструктура пространственных данных
Нижний Новгород ННГАСУ
2022
1
УДК 517.9
Бондарь Е.А. Приложение дифференциального исчисления: учебно-методическое пособие /Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова, П.В. Столбов; Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2022. – 57 с. : ил. – Текст : электронный.
Пособие содержит краткий теоретический материал, сопровождающийся многочисленными примерами и задачами разного уровня сложности, а также большое количество заданий для самостоятельной работы, которые могут быть использованы для расчетно-графической работы обучающихся по разделу «Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной».
Предназначено обучающимся в ННГАСУ по направлению подготовки 21.03.03 Геодезия и дистанционное зондирование, направленность (профиль) Инфраструктура пространственных данных для подготовки к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика».
© Е.А. Бондарь, Т.А. Пушкова, П.В. Столбов, 2022 © ННГАСУ, 2022.
2
Введение
Настоящее учебное пособие предназначено, в первую очередь, для студентов первого курса очной формы, обучающихся по направлению подготовки «Прикладная информатика».
Учебное пособие посвящено приложениям дифференциального исчисления – одному из разделов математики, который имеет широкое применение в различных областях знаний.
Цель данного учебного пособия состоит в том, чтобы способствовать лучшему усвоению теории, развитию математического и логического мышления у обучающихся, привитию им навыков решения задач, пониманию их физической сущности.
Впервой части пособия рассматривается применение дифференциального исчисления к приближенным вычислениям значений функции в точке, во второй – правило Лопиталя для раскрытия различных типов неопределенностей, в третьей – применение дифференциального исчисления к исследованию функций одного переменного и построению их графиков, в четвертой – нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке.
Вкаждой части кратко приводится теоретический материал, который иллюстрируется разнообразными примерами и задачами разного уровня сложности, а также в каждом из четырех разделов предложены по тридцать вариантов заданий для выполнения расчетно-графической работы обучающимися.
При создании пособия авторы использовали некоторые методические приемы и задачи из литературы, список которой приведен в конце пособия.
Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические замечания, которые можно присылать по адресу электронной почты k_vm@nngasu.ru.
3
Применение производной к вычислению
приближенного значения функции в точке
Пусть функция y f (x) дифференцируема в точке x x0 , то есть имеет
конечную производную в этой точке
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f '(x0 ) lim |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 0 |
x . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Тогда приращение y в этой точке можно представить в виде |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f '(x0 ) x x , где 0 при x 0 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Если |
f '(x0 ) 0, |
то |
x |
|
является бесконечно малой более высокого |
|||||||||||||||||||||||||||
порядка, |
|
чем f '(x0 ) х. |
Поэтому |
|
первое |
слагаемое |
f '(x0 ) х |
называют |
|||||||||||||||||||||||||
главной частью приращения функции |
|
y |
или дифференциалом функции. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Отбрасывая бесконечно малую x более высокого порядка, чем |
f '(x0 ) х. , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем приближенное равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f '(x0 ) x , |
|
|
|
|
|
|
||||||||
причем |
это |
|
|
равенство |
тем |
|
|
точнее, |
|
чем |
|
меньше |
x . |
Учитывая, что |
|||||||||||||||||||
y f (x0 |
x) f (x0 ) , |
получаем формулу |
для вычисления |
приближенного |
|||||||||||||||||||||||||||||
значения функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 x) f (x0 ) f '(x0 ) x . |
|
|
|
(1) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 1. Вычислить приближенное значение выражения 3 8,24 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение. |
|
|
Требуется вычислить приближенное значение функции |
f (x) 3 х |
|||||||||||||||||||||||||||||
при х 8,24 . Тогда х0 |
8 |
и x х х0 8,24 8 0,24 . Чтобы воспользоваться |
|||||||||||||||||||||||||||||||
формулой (1), вычислим |
f (x0 ) |
и f '(x0 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x |
) 3 8 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f '(x) |
|
1 |
|
|
f '(x0 ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 3 х2 |
|
3 3 82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Отсюда по формуле (1) получаем |
3 |
|
2 |
1 |
0,24 2,02 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
8,24 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Результат вычисления на калькуляторе 3 8,24 2,019803. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Пример 2. Вычислить приближенное значение выражения ln |
3,03 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2,97 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
Требуется |
вычислить |
приближенное |
|
значение |
|
функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) ln |
3 x |
|
при х 0,03. |
Тогда |
х0 |
0 |
и |
x х х0 |
0,03 0 0,03 . |
Чтобы |
|||||||||||||||||||||||||||||
3 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
воспользоваться формулой (1), вычислим |
f (x0 ) и f '(x0 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
f (x0 ) ln |
3 |
ln 1 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f '(x) |
3 x |
|
|
1 (3 x) ( 1) (3 x) |
|
|
|
6 |
|
|
|
f '(x0 ) |
|
6 |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 x |
|
(3 x)2 |
|
|
(3 x)(3 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Отсюда по формуле (1) получаем |
ln |
3,03 |
0 |
|
2 |
0,03 0,02 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Результат вычисления на калькуляторе ln |
3,03 |
|
|
0,020001 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2,97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 3. Вычислить приближенное значение выражения |
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
cos 59 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
Найдем |
|
приближенное |
значение |
функции |
|
|
f (x) |
1 |
|
при |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
х 59 60 1 |
|
|
. |
Тогда |
|
|
х0 |
|
|
и |
x х х0 |
|
|
|
|
|
. |
Чтобы |
|||||||||||||||||||||
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
||||||||||
воспользоваться формулой (1), вычислим |
f (x0 ) и f '(x0 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 ) |
1 |
|
|
1 |
2 , |
|
cos |
|
0,5 |
||||
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
f '(x) cos12 x ( sin x) f '(x0
1
формуле (1) получаем cos 59
|
|
1 |
|
|
|
|
|
) |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
) |
|
|
( sin |
|
|
2 3 . |
Отсюда по |
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
0,52 |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
cos |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1,94 , где 3,14 , |
|
3 1,73 . |
||||||||||||
|
|
180 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результат вычисления на калькуляторе |
1 |
|
1,941604 . |
cos 59 |
|
||
|
|
Пример 4. Шар радиуса 20 см был нагрет, отчего его радиус увеличился на
0,01см. На сколько приближенно увеличится объем шара?
5
Решение. |
Объем |
шара вычисляется по |
формуле |
V (r) |
|
4 |
|
r 3 , |
тогда |
|||
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
изменение |
объема |
шара |
можно |
будет |
вычислить |
|
с |
помощью |
||||
формулы |
V (r0 ) V '(r0 ) r . |
Здесь |
r0 |
20 см, |
r 0,01см. |
Тогда |
||||||
V '(r) 4 r 2 |
V '(r0 ) 4 20 2 1600 , |
значит, |
объем |
шара |
увеличится на |
V (r0 ) 1600 0,01 16 см3 .
Пример 5. Автомобиль, проходящий поворот, занимает на проезжей части большую ширину, чем на прямолинейном участке дороги. Найдите необходимое уширение однополосной дороги на повороте радиуса r
( r - радиус внешнего края дороги) для автомобиля, продольная база
(расстояние между осями) которого равна l .
Решение. На повороте все четыре колеса автомобиля катятся по дугам концентрических окружностей (см. рисунок), причем заднее внутреннее колесо D описывает окружность наименьшего, а переднее наружное B –
наибольшего радиусов. Поэтому ширина дорожной полосы на повороте h OB OD , а искомое уширение
l |
2 |
||
h h CD OB OC r r 1 |
|
. |
|
|
|||
r |
|
Величина |
l |
довольно мала при больших |
r . Поэтому для вычисления |
|
|
||||
r |
||||
|
|
|
||
|
|
6 |
|
значения
l 2 x ;
r
Получили
|
l |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
можно воспользоваться формулой (1), где |
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
f (x) x, |
x0 1, |
||||||||
|
||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
l |
2 |
|
l 2 |
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
2r 2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
формулу h l 2 , которая используется на практике.
2r
Задание № 1
С помощью дифференциала вычислить приближенно значение числового
выражения |
( 3,14 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
|
|
|
|
cos 46 |
|
|
|
|
|
16. |
|
|
sin 44 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
sin 44 |
|
|
|
|
|
|
|
sin 46 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg(1 cos 89 ) |
|||||||||||
2. |
|
arctg |
0,97 |
|
|
17. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
|
ln e2 |
0,2 |
18. |
arctg 0,96 9 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ln tg 46 |
|
ln 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
|
|
|
19. |
|
|
|
35,9 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 7 1,022 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
|
20. |
|
24 e0,03 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
|
arctg 1,03 2 |
21. |
ln 1 cos 88 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3,02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0,98 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2,98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8. |
|
arctg |
4,01 |
|
|
23. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln 0,99 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3,99 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln( e 0,032 ) |
|||||||||||
9. |
|
5 cos89 32 |
24. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
10. |
|
1 ln 0,98 2 |
25. |
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
1,02 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
e |
2 3,98 |
26. |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
arctge0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12. |
|
27. |
|
3 tg 44 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin 2,5 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8,03 |
||||||||||
13. |
|
3 cos1 |
28. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
14. |
arcctg3 1,02 |
29. |
4,02 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
30. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ln( e 0,01) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4 4 15,97 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида |
0 |
|
или |
||
|
|
|
|||
|
|
||||
|
0 |
|
|
,
который основан на применении производных. |
|
|
|||||||
|
Теорема (Правило Лопиталя). Пусть в некоторой окрестности точки |
||||||||
х0 |
(кроме, быть может, самой |
точки |
|
х0 ) функции f x и |
(х) |
||||
дифференцируемы и |
'(х) 0 . |
|
Если |
lim f (x) lim (x) 0 |
или |
||||
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
x x0 |
|
lim f (x) lim (x) , |
т. е. частное |
|
f (x) |
в точке х0 |
представляет |
собой |
|||
|
|
|
|||||||
|
(x) |
||||||||
x x0 |
x x0 |
|
|
|
|
|
|
неопределенности вида |
0 |
|
или |
||
|
|
|
|||
|
|
||||
|
0 |
|
|
, то
lim |
f (x) |
lim |
f ' (x) |
, если передел в |
|
(x) |
' (x) |
||||
x x0 |
x x0 |
|
правой части этого равенства существует.
Замечание |
1. Если |
|
частное |
f ' (x) |
в точке |
|||||
|
|
|||||||||
|
' (x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
неопределённость |
вида |
0 |
|
или |
|
|
и производные |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
х0 также есть
f ' (х) и '(х)
удовлетворяют соответствующим условиям теоремы, то следует перейти к отношению вторых производных и т.д.
Замечание 2. Правило Лопиталя справедливо и в том случае, когда
8
х .
Замечание 3. В случае неопределенности вида 0 или
следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести
ее к неопределенности вида |
0 |
|
или |
|
|
и далее воспользоваться правилом |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
Лопиталя. Если же имеем неопределенности вида 00 или 0 или |
1 , то |
следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
Пример 1. Найти предел lim |
ех |
х 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
sin 2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
|
Так |
как |
|
|
|
lim (ех х 1) 0 |
и lim sin 2 |
3x 0 и |
функции |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||
f x ех х 1 и |
(х) sin 2 3x |
дифференцируемы, |
то можно применить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
правило Лопиталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ех х 1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
(ex x 1)' |
|
|
|
|
|
|
ex 1 |
|
|
ex 1 |
0 |
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
||||||||||
sin |
2 |
3x |
|
|
(sin |
2 |
3x)' |
|
2sin 3x cos 3x 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3sin 6x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x 0 |
0 |
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
(ex |
1)' |
|
|
lim |
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 cos 6x |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x 0 (3sin 6x)' |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln( х ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 2. Найти предел lim |
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Так как limln( x |
) |
и |
|
lim tgx , имеем неопределенность |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вида |
. |
|
Функции |
|
|
f x ln( x ) |
и |
(х) tgx |
|
дифференцируемы в |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
окрестности точки |
х0 |
|
(кроме самой этой точки), следовательно, можно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
применить правило Лопиталя
9