8990

Пусть y f x функция от x , имеющая пределом число A , когда x

стремится к числу a . Предположим, что все значения величины x меньше, чем число a , то есть x a . Символически это выражается очень удобной записью: x a 0

пределом.

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке называются односторонними пределами.

Дадим определение непрерывности функции в точке.

Функция y f x называется непрерывной в точке x x0 , если:

этой точке x0 : lim f x f x0 .

x x0

Функция y f x называется разрывной в точке x x0 , если она определена в сколь угодно малой окрестности точки x0 , но в самой точке x0 не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.

Точки разрыва функции можно разделить на два типа.

Точка разрыва x0 функции y f x называется точкой разрыва 1-го рода,

если существуют конечные односторонние пределы функции в этой точке, которые не равны между собой или равны между собой, но не равны значению функции в этой точке. Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке x0 не

существует или равен бесконечности, то x0 – точка разрыва функции 2-го рода.

50

аналитическое выражение с дробно – рациональной на квадратичную и с квадратичной на линейную, соответственно.

Построим график функции y :

1

0 1 2

Рис. 54

существует, то его называют производной функцией от данной функции y f x и

52

Функция y f x , имеющая производную в каждой точке интервала a;b ,

называется дифференцируемой в этом интервале, а операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значения производной функции y f x в точке x x0 обозначается одним

Пример. Найти по определению производную функции y x2 .

Решение. Областью определения D данной функции является вся числовая ось, то есть D R . Выберем произвольную точку x R . Дадим ей приращение x

, получим новую точку x x R . Находим соответствующее приращение y функции y x2 :

y y x x y x x x 2 x2

x2 2x x x 2 x2 2x x x 2 .

53

Предел средней скорости Vcp движения при стремлении к нулю промежутка времени

t называется скоростью V движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью)

V lim S .

t 0 t

Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент

производная y есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

перпендикулярно касательной l (см. рис. 55).

54

Пусть касательная l образует с положительным направлением оси Ox угол 0

заключается геометрический смысл производной.

Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку M 0 x0 ; y0

в заданном направлении y y0 k x x0 , запишем уравнение касательной l к

графику функции y f x в точке y y0

Поскольку нормаль n перпендикулярна касательной l , то ее угловой

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y x2 в точке

M 0 1;1 .

Решение. Поскольку x2 2x , то

y x0 2x x 1 2 1 2

и искомое уравнение касательной:

y 1 2 x 1 или y 1 2x 2 ,

откуда 2x y 1 0, а искомое уравнение нормали:

55

откуда

x 2 y 3 0 .

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с некоторыми трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью правил и формул.

Запишем формулы производных элементарных функций:

а также формулы, выражающие правила дифференцирования:

c u c u , c const , u u x ;

u v u v , u u x , v v x ;

Пример. Найти производную функции y 2x 1 ex .

56

Решение. По правилу дифференцирования произведения двух функций,

находим:

y 2x 1 ex 2x 1 ex 2x 1 ex .

Далее, по правилу дифференцирования суммы двух функций и произведения числа на функцию и формул производных степеней и показательной функций, находим:

Производные высших порядков

Производная y f x функции y f x есть также функция от x и

называется производной первого порядка.

Если функция f x дифференцируема, то ее производная называется

производной второго порядка и обозначается y , то есть y y .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется

производной третьего порядка и обозначается y , то есть y y .

Производной n -го порядка (или n -й производной) называется производная от

производной ( n -1)-го порядка и обозначается y n , то есть y n y n 1 .

Пример. Найти производную третьего порядка от функции y cos 3x .

Решение.

y cos3x sin 3x 3x sin 3x 3 3sin 3x ,

y y 3sin 3x 3 sin 3x 3 cos3x 3x3 cos3x 3 9 cos3x,

y y 9 cos3x 9 cos3x 9 sin 3x 3x9sin 3x 3 27sin 3x.

Итак, y y 27sin 3x.

Дифференциал функции

Пусть задана функция y f x и можно вычислить f x0 , то есть значение этой функции в точке x0 . Требуется вычислить значение этой функции y в точке x0 x .

58

Тогда приращение функции y можно представить в виде:

y f x0 x x .

0

Рис. 56

Главную часть линейную относительно приращения x независимой

dy f x0 x .

При x 0 , то есть при x 0 приращение функции y приближенно

равно дифференциалу dy:

y dy или f x0 x f x0 x .

Последнюю формулу применяют для приближенного вычисления значений функций в точке.

Пример. Вычислить e 0,02 .

Решение. Рассмотрим функцию y ex . Пусть x0 0 , тогда x0 x 0,02 , откуда x 0,02 .

y x0 ex x 0 ex x 0 e0 1, y x0 ex x 0 e0 1.

59