9002

Рис. 10

Пример. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a 2i k и

b j k .

Решение. a 2;0 1 и b 0;1; 1 . Тогда

0 1 i 2 0 j 2 0 k i 2 j 2k ;

a b 12 22 22 3 , следовательно

Смешанное произведение векторов

Рассмотрим произведение трех векторов a , b и c , составленное следующим образом: a b c, то есть первые два вектора a и b умножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор c . Такое произведение векторов называется

векторно-скалярным или смешанным и обозначается a b c , то есть

a b c abc .

Смешанное произведение трех векторов a , b и c представляет собой число, равное объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (см. рис. 11),

взятое со знаком «плюс», если эти три вектора образуют правую тройку и со знаком

«минус», если они образуют левую тройку векторов.

20

Рис. 11

Свойства смешанного произведения:

1)a b c b c a c a b ;

2)a b c a b c ;

3)a b c a c b ; a b c b a c , a b c c b a ;

4)Если a b c 0 , то векторы a , b и c компланарны.

Смешанное произведение трех векторов a , b и c заданных своими

Ответ: a b c 5.

21

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, имеем, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c (см. рис. 11)

вычисляется по формуле:

Vnap. a b c .

Объем треугольной пирамиды, построенной на трех векторах a , b и c (см.

рис. 12) вычисляется по формуле:

Vnup. 16 a b c .

Рис. 12

Пример. Найти объем пирамиды, построенной на векторах a 1; 2;3 , b 0;1; 1 и c 0; 1;0 .

Решение.

22

§ 3. Прямая на плоскости

Под прямой понимают прямую линию. Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволяет определять положение точки на плоскости заданием двух чисел – ее координат, а положение прямой на плоскости определять с помощью уравнения, то есть равенства, связывающего координаты точек прямой.

Уравнение прямой позволяет изучение геометрических свойств прямой заменить исследованием ее уравнения. Так, для того, чтобы установить лежит ли

Пример. Лежит ли точка M 0 1; 2 на прямой l : 3x y 1 0.

Решение. Подставив в уравнение прямой 3x y 1 0 координаты точки M 0

, то есть x0 1 и y0 2 вместо x и y , получаем:

3 1 2 1 3 1 2 0.

Следовательно, точка M 0 не лежит на данной прямой l .

Общее уравнение прямой.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости xOy

задана точка M 0 x0 ; y0 и вектор N A; B . Требуется составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 и перпендикулярной вектору N . (см. рис. 13)

вектору N по условию, то и вектор M 0 M перпендикулярен вектору N , а значит

Исследуем уравнение (3.2):

1. При A 0, B 0, C 0 уравнение (3.2) примет вид:

24

Ax By C .

где a и b величины отрезков, которые прямая l отсекает от осей координат (см. рис.

14).

0

Рис. 14

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 1; 2 и

отсекающей от осей координат равные отрезки (см. рис. 15).

2

0 1

Рис. 15

25

Отметим на оси Ox точку x 3, а на оси Oy точку y 2 и через эти точки проведем прямую. Это и будет искомая прямая (см. рис. 16).

0 3 -2

Рис. 16

Уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:

26

0

Рис. 17

Из рисунка 17 следует, что для любой точки M x; y l выполняется

Таким образом, искомое уравнение прямой l имеет вид: y x 1.

Ответ: y x 1.

27

Пусть прямая l проходит через точку M 0 x0 ; y0 и ее направление

характеризуется угловым коэффициентом k , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:

l : y kx b,

где b – пока неизвестная величина.

Так как точка M 0 x0 ; y0 лежит на прямой l , то ее координаты удовлетворяют

Уравнение (3.5) с различными значениями k называется также уравнением пучка прямых с центром в точке M 0 x0 ; y0 .

Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Oy , так как

tg90 .

Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку пересечения прямых l1 : x y 2 0 и l2 : 2x y 5 0 и образующей с положительным направлением оси Ox угол 135 .

Решение. Координаты точки M 0 пересечения прямых l1 и l2 находим из

системы уравнений этих прямых:

x y 2 02x y 5 0

Сложив эти уравнения в данной системе, получаем: 3x 3 0, откуда x 1. Тогда y x 2 1 2 3.

Итак, координаты точки M 0 1;3 .

По условию 135 , значит k tg135 1. Подставляя в уравнение (3.5)

k 1 и x0 1, y0 3 находим искомое уравнение прямой

28

Это уравнение прямой l , проходящей через начало координат – точку O 0; 0 и

(См. рис. 19)

0 1

Рис. 19

29