9002

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример. Вычислить lim

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

( - четное)

Рис. 36

В случае если – нечетное, D R \ 0 , E R \ 0 .

( - нечетное)

0
Рис. 37
б) – рациональное, то есть m , m, n , n 0 ;
	n
m
y x x n n xm .
1		x . (См. рис. 38). D x x 0 ,
Пример графика функции y x 2	или y	x . (См. рис. 38). D x x 0 ,

E y y 0 .

Рис. 38

Пример графика функции y x 3 или y 3 x2 .(См. рис.39).

D R , E y y 0 .

-8	0	1
-8

Рис. 39

III. Показательная функция
y a x a 0, a 1 , D R ,	E : y 0 .

1			1

0	0
	Рис. 40
IV. Логарифмическая функция
y loga x	a 0, a 1 , D x	x 0 ,	E R

0	1	0

Рис. 42

V. Тригонометрические функции

а) y sin x , D R ,

E 1;1 .

Рис. 41

Рис. 43

-1

Рис. 44

б) y cos x , D R , E 1;1 .

			0
			-1
			Рис. 45


в) y tg x , D R \			n, n Z – множество всех действительных чисел
	2
R , за исключением точек		n , n , E R .
	2

Рис. 46

г) y ctg x , D R \ n, n Z , E R .

Рис. 47

IV. Обратные тригонометрические функции

а) y arcsin x , D 1;1 , E		;	.
	2
	2		2

-1

Рис. 48

б) y arccosx , D 1;1 , E 0; .

-1

Рис. 49

		;
в) y arctg x , D R , E		;
	2		2

Рис. 50

г) y arcctg x , D R , E 0;

Рис. 51

Предел числовой последовательности

Функция

y f n , заданная на множестве всех натуральных чисел n

называется числовой

последовательностью и обозначается

xn ,

где

элемент

xn f n

соответствует номеру n . Будем задавать числовую последовательность

xn формулой своего общего члена xn .

Пример.

– числовая последовательность

, ,

, , так

n 1

2 3 4

как xn

– формула общего члена последовательности.

n 1

При n 1: x		1					1			.
При n 1: x										.
1	1 1				2
	1 1				2
При n 2 : x2		1							1		.
При n 2 : x2											.
				2 1				3
При n 3: x		1						1				и т.д.
При n 3: x												и т.д.
3			3 1					4
			3 1					4
Пределом числовой последовательности xn называется конечное
действительное число				a ,		если						для любого	сколь угодно малого числа 0
существует такое натуральное число N , что для всех членов последовательности с
номерами n N выполняется												неравенство	xn a		. В краткой записи это
номерами n N выполняется												неравенство	xn a		. В краткой записи это
выглядит так:

0 N n N														xn a
и обозначается: lim xn		a .
n

Определим – окрестность точки a как множество всех x , удовлетворяющих условию: x a , что эквивалентно двойному неравенству: a x a .

Тогда понятие предела геометрически означает, что какую бы малую – окрестность точки a не взяли, найдется такой номер N , начиная с которого все последующие члены последовательности будут находиться в этой окрестности (См. рис. 52).

Рис. 52

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся или стремящейся к этому пределу, а неимеющая конечного предела – расходящейся. «Стремление» последовательности xn к своему пределу a будем обозначать как xn a .

Пример. Доказать по определению, что lim 1 0 .

n n

Решение. Возьмем любое сколь угодно малое 0 . Имеем: 1n 0 , когда

1n или n 1 . Значит существует такой номер N , равный целой части числа 1 ,

	N			N	1	N 1			1
то есть такое целое число		,	что				, то есть	N		, начиная с

которого все последующие члены с номерами N , N 1, N 2, N 3, ... будут находиться в – окрестности точки x 0, то есть в интервале ; . (См. рис.53).

При 0,2		1		при 0,01		1
	N		5,		N		100.

	0,2					0,01

		Рис. 53
Замечание.
lim xn	означает, что 0			N ,	n N xn	;
n
lim xn	означает, что 0			N ,	n N xn	.
n
При вычислении пределов числовой последовательности полезно использовать
следующие	их свойства, если существуют конечные пределы					lim xn a	и
						n
lim yn b, то
n
1) lim c c , c const ;
n
2) lim c xn c lim xn		c a ,	c const ;
n	n
3) lim xn yn lim xn		lim yn	a b ;
n	n	n
				46

4) lim xn

yn lim xn

lim yn a b ;

lim xn

5) lim

, если b

lim y

6) lim

0, если lim xn a .

Пусть требуется найти предел

lim

отношения двух последовательностей,

сходящихся к бесконечности, то есть

lim xn

и lim yn .

Непосредственно

применить

свойство о пределе частного двух

последовательностей нельзя. Предварительно необходимо преобразовать выражение

xn к виду, допускающему применение указанных свойств. В связи с этим выражение

называется неопределенностью, а его преобразование к виду, позволяющему

найти предел – раскрытие неопределенности.

Заметим, что выражение , когда последовательности в числителе и

знаменателе стремятся к нулю, также называются неопределенностью.

Решение. Разделим числитель и знаменатель на n3 – наибольшую из степеней n в числителе и знаменателе:

lim

lim	1	2 lim	1	3lim		1
lim		2 lim		3lim			0 2 0 3 0	0
n n		n n2			n n3		0 2 0 3 0	0	0 .
				1			1 0	1	0 .
		1 lim		1			1 0	1
		1 lim
		n n3

Предел функции.

Пределом функции y f x в точке x x0 называется такое число A , что для

любой последовательности

xn значений аргумента x , сходящейся к числу

x0 ,

последовательность yn ,

f xn соответствующих

значений функции

стремится к этому числу A и обозначается: lim f x A.

x x0

При нахождении пределов функций нужно использовать следующие свойства

предела функции: если существуют конечные пределы lim f x и lim g x , то

x a

lim c f x c lim f x , c const ;

x a

lim f x g x lim f x lim g x ;

x a

lim f x g x lim f x lim g x ;

x a

lim

0 (или ), если lim f x (или 0);

f x

x a

f x

lim f x

, если lim g x 0 .

lim

x a

g x

lim g x

x a

Пример. Вычислить lim

3x2

Решение: Разделим числитель и знаменатель на x 2 , получим:

lim x2 1

n 3x2 x

lim

	1		1
lim	1		x2
			x2

x		3		1
		3		x
				x

lim1 lim

1 0

lim3 lim

3 0

При нахождении пределов функций также полезно знать первый

замечательный предел: lim

sin x

1 и следствия из него:

x 0

lim

tg x

lim

arcsin x

lim

arctg x

x 0

и второй замечательный предел:

lim 1

lim 1 x

e .

Пример. Вычислить предел

lim

sin 2x

x 0

arctg 3x

Решение.

lim

sin 2x

lim

sin 2x

arctg 3x

x 0

arctg3x

lim

sin 2x

lim

3 x 0

x 0

arctg3x

t 2x

sin t

lim

1 1

y 3x

3 t

y 0

arctgy

Пример. Вычислить предел lim 1 3x x .

x 0

Решение.

								2

	2					1	1	3 x	x	lim 3 x	2		1
	2						1					6
												6
lim 1 3x x		1		lim			3x 3 x			ex 0	x e				.
lim 1 3x x		1		lim			3x 3 x			ex 0	x e		e	6	.
x 0					x 0								e
x 0					x 0
Общий метод (правило Лопиталя) вычисления пределов в случаях
неопределенности		0	и		рассматривается в дифференциальном исчислении.
неопределенности			и		рассматривается в дифференциальном исчислении.
		0
		0
							49

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.202374.99 Кб09.pdf
#
21.11.202389.19 Кб090.pdf
#
21.11.2023160.67 Кб0900.pdf
#
25.11.20232.12 Mб09000.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09001.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09002.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09003.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09004.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09005.pdf
#
25.11.20232.13 Mб19006.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09007.pdf