9017

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

BC является направляющим вектором этой прямой. Найдем координа-

ты вектора:

3; 5 . Подставляя в уравнение (6) координа-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

3 1 2 1 3 1 2 0.

Решение. Подставив в уравнение прямой 3x y 1 0 координаты точки M 0 ,

то есть x0 1 и y0 2 вместо x и y , получаем:

Следовательно, точка M 0 не лежит на данной прямой l .

Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной систе-

ме координат разные виды ее уравнений.

Пусть на плоскости задана некоторая прямая l и декартова система координат.

1.Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендику-

лярно данному вектору

Положение прямой l на плоскости однозначно определено, если задана неко-

торая точка M 0 (x0 , y0 ) , принадлежащая прямой l
торая точка M 0 (x0 , y0 ) , принадлежащая прямой l	и некоторый вектор	n A; B ,
перпендикулярный этой прямой (см. рис. 1).

l	y
l
		n
	M 0 (x0	; y0 )
	0	. x	Рис. 1
			Рис. 1
		M (x; y)
Возьмем на прямой произвольную точку			M (x, y) и рассмотрим		вектор

M 0 M x x0 ; y y0		(см. рис. 1). Так как векторы n и M 0 M		перпендикулярны,

то их скалярное произведение равно нулю: n			M 0 M 0 , то есть
		A x x0 B y y0 0.			(1)

Уравнение (1) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Отметим, что вектор перпендикулярный данной прямой называется нормаль-

ным вектором этой прямой или вектором нормали.

2. Общее уравнение прямой

Если в уравнении (1) раскрыть скобки и обозначить C Ax0 By0 , то полу-

чим общее уравнение прямой:

Ax By C 0.

(2)

Пример 2. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 1; 2 и

перпендикулярной вектору PQ , если P 0;1 и Q 1; 2 .

Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося вектором нормали прямой l :

		0; 2	1 1;1 .
n	PQ 1

Подставляя в уравнение (1) координаты точки M 0 1; 2 , то есть x0 1, y0 2

	1;1 , то есть	A 1, B 1, находим искомое уравне-
и координаты вектора n
ние прямой l :
l : 1 x 1 1 y 2 0 или l :		x 1 y 2 0

или l : x y 1 0 .

Исследование общего уравнения прямой:

Выясним особенности расположения прямой по отношению к осям координат в зависимости от равенства (или неравенства) нулю тех или иных из чисел

A, B, C.

1) При A 0, B 0, C 0 уравнение (2) примет вид: By C 0 или y CB .

Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси Ox и проходящей через

точку	C	. (См. рис. 2)
0;
	B

CB 0

Рис. 2

Пример 3. Построить прямую l : 3y 6 0.

Решение. Уравнение прямой l является общим уравнением прямой на плоско-

сти A 0, B 3, C 6, параллельной оси Ox и проходящей через точку 0; 2

(См. рис. 3).

		0	x
	l	-2
	l		Рис. 3
			Рис. 3
2) При A 0,	B 0, C 0 уравнение (2)		примет вид: Ax C 0	или x	C	.
2) При A 0,	B 0, C 0 уравнение (2)		примет вид: Ax C 0	или x		.
					A

Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси Oy и проходящей через

точку	C		. (См. рис. 4)
		; 0
	A	; 0
	A

		C	0	0	x
		A	0
					Рис. 4
3) При A 0 ,	B 0, C 0 уравнение (2)				примет вид: Ax By 0 . Одним из ре-

шений уравнения является пара чисел x 0, y 0. Это означает, что прямая про-

ходит через начало координат.
4) При A 0, B 0, C 0	уравнение (2) примет вид:	By 0 или	y 0 . Это
уравнение координатной оси Ox .
5) При A 0, B 0, C 0	уравнение (2) примет вид:	Ax 0 или	x 0. Это
уравнение координатной оси Oy .

3. Уравнение прямой в отрезках

Из (2) следует Ax By С и далее, предполагая, что C 0 (т.е. прямая не про-

ходит через начало координат) и, разделив обе части этого уравнения на C ,

получим уравнение

x	y	1,	(3)
a	b

в котором a	C	и b	C		величины отрезков, которые прямая «отрезает» от
в котором a	A	и b	A		величины отрезков, которые прямая «отрезает» от
	A		A
осей координат (См. рис. 5).
				y	l
					l
					b

a0 x

Пример 4. Записать уравнение прямой l : 2x 3y 6 0 в отрезках и постро-

Рис. 5

ить её.

Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида (3).

2x 3 y 6 0 ;

или

2x 3 y 6 .

Разделив почленно последнее уравнение на 6 получим

3 y

или

Отметим на оси Ox точку x 3, а на оси Oy точку

y 2 и через эти точки

проведем прямую. Это и будет искомая прямая (см. рис. 6).

-2

Рис. 6

Пример 5. Составить уравнение прямой l ,

проходящей через точку M 0 1; 2 и

отсекающей от осей координат равные отрезки.

Решение. Пусть уравнение искомой прямой l

имеет вид (3). Так как a b по

условию, то уравнение

(3) можно

переписать в виде:

или

l : a

a 1

l : x y a .

M (x, y)

		34
Поскольку точка		M 0 1; 2 лежит на прямой l , то, подставляя ее координаты
x 1	y 2 в	последнее уравнение, получаем a 3. Следовательно,

l : x y 3 – уравнение искомой прямой.

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Oxy задана произвольная прямая, не параллельная оси Oy.

Её положение однозначно определяется ординатой b точки N(0; b) пересечения с осью Oy и углом α между осью Ox и прямой (см. рис. 4).

Под углом ( 0 ) наклона прямой понимается наименьший угол,

на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ox про-

тив часовой стрелки ось Ox до ее совпадения с прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку (см. рис. 7). Проведем

через точку N прямую параллельную оси Ox. Полученная точка P имеет коор-

динаты x и y b ,

	N	(0,b)			. M(x, y)
		y			. M(x, y)
	.				.
	.				.	P(x, y b)
						P(x, y b)

					x
0					x	x
0						x
l
а угол между прямой NP и прямой l равен α. Из прямоугольного треугольника
						Рис.7
NMP получаем равенство tg			y b	,	т.е. y tg x b . Введя обозначение
NMP получаем равенство tg				,	т.е. y tg x b . Введя обозначение
			x
k tg , получаем уравнение
		y kx b,				(4)

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Число k tg называется угловым коэффициентом прямой.

Пример 6. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b 3 и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол 6 .

Решение. Находим угловой	коэффициент:		k tg	1	.	Воспользовавшись
					.

			6	3
уравнением (4), получаем y	1	x 3 . Освобождаясь от знаменателя и перенося

	3
	3

все члены в левую часть, получаем общее уравнение прямой						x 3y 3 3 0 .

5.Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая l проходит через точку M 0 x0 ; y0 и ее направление характери-

зуется угловым коэффициентом k ( k tg ).

	y
		M 0 (x0 ; y0 )

l	0	x
l		x

Тогда уравнение этой прямой можно записать в виде: l : y kx b , где b – по-
				Рис.8
ка неизвестная величина. Так как точка				M 0 x0 ; y0 лежит на прямой l , то ее
координаты удовлетворяют уравнению прямой l , то есть					имеет место равен-
ство: y0 k x0 b , откуда	b y0 kx0 . Подставляя значение b в уравнение
y kx b , получаем: y kx y		0	kx	или
			0
	y y0		k x x0		(5)

Пример 7. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 4; 5 и

образующей с положительным направлением оси		Ox угол 45 .
Решение. По условию задачи x0 4,	y0 5. Найдем угловой коэффициент
k tg 45 1. Подставив эти значения в уравнение		(5) получим: y 5 (x 4) или
x y 9 0.
6. Каноническое уравнение прямой

Положение прямой на плоскости однозначно определено также и в том случае,

если задана некоторая точка M 0 x0 ; y0 на этой прямой и так называемый

направляющий вектор p m, n , параллельный данной прямой.

M 0

Возьмем

на прямой

произвольную

точку M (x, y)x и

рассмотрим вектор

Рис. 9

M 0 M x x0 ; y y0 . Так как векторы

p и M 0 M

коллинеарны, то имеем ра-

венство

M 0 M k p,

где k

- некоторое число. В координатах это равенство

имеет вид

x x0 k m

y y0 k n,

или

x x0

y y0

Отсюда

x x0

y y0

(6)

Полученное уравнение называется каноническим уравнением прямой на плос-

кости.

В частности, если одна из координат направляющего вектора равна нулю,


		y y0 .
например,	p m, 0 , то получаем уравнение прямой	y y0 .
Пример 8. Даны вершины треугольника: A 1; 2 ,			B 3; 1	и C 0; 4 . Составить

уравнение прямой l , проходящей через вершину А треугольника и параллель-

ную стороне ВС.

Решение. Так ка по условию задачи прямая l параллельна стороне BC, значит

ты

точки A

и вектора

BC , получаем каноническое уравнение прямой l :

x ( 1)

y 2

или

x 1

y 2

7. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Положение прямой на плоскости однозначно определено в том случае, если из-

вестны две точки M1 (x1 , y1 ) и M 2 (x2 , y2 ) , через которые проходит прямая.

M 2

l	M	M		x		x ; y		y	x
Нетрудно понять, что вектор			2		2		2		можно считать направля-
	1					1		1	Рис. 10

ющим вектором данной прямой. Отсюда, используя уравнение (6), получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

x x1	y y1		(7)
x2 x1	y	2 y1

Пример 9. Составить уравнение прямой l , проходящей через точки M1 1; 2 и

M 2 1;3 .

Решение. Подставляя в уравнение (7)

x1 1,

y1 2 и

x2 1,

y2 3, полу-

чим

искомое уравнение

прямой:

y 2

x 1

или

y 2

x 1

;

т.е.

3 2

1 1

2 y 2 1 x 1 или 2y 4 x 1, следовательно,

l : x 2y 5 0 .

Параметрическое уравнение прямой

В уравнении (6) введем обозначение

x x0

y y0

где t называется пара-

метром ( t ), тогда

x x0

x x

									38
	y y0	t	y y		nt	y y			nt
		t	y y	0	nt	y y		0	nt
	n			0				0
	n
Отсюда получаем:
						x x0	m t			t .	(8)
										t .	(8)
						y y0	n t

Это так называемые параметрические уравнения прямой. Ясно, что при изме-

нении значения параметра t в пределах от до точка M ( x, y) «пробега-

ет» всю прямую l . Очевидно, что точке M0 ( x0 , y0 ) соответствует значение па-

раметра t 0 .

Пример 10. Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через

точку	M 1; 2 параллельно вектору
точку	M 1; 2 параллельно вектору	a 3;5 .
Решение. Подставляя в уравнение (8) координаты вектора							и точки M, полу-
Решение. Подставляя в уравнение (8) координаты вектора						a	и точки M, полу-
чаем искомое параметрическое уравнение			x 1 3t		.
чаем искомое параметрическое уравнение					.
			y 2	5t

Взаимное расположение прямых на плоскости

1). Пусть две прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами k1 и k2 , соответственно, то есть l1 : y k1 x b1 ; l2 : y k2 x b2 . Требуется найти угол , на который надо повернуть в положительном направлении прямую l1 ,

вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой l2 . (См. рис.11)

y			l2
					l1

1		2
0					x
По теореме о внешнем угле треугольника, имеем: 2					1
Если 90 , то
tg tg 2 1		tg 2 tg 1		.
tg tg 2 1				.
		1 tg 1 tg 2
Но так как tg 1 k1 и tg 2 k2 , то
tg	k2 k1
tg
1	k1 k2

Рис. 11

или 2 1 .

(9)

Таким образом, формула (9) позволяет находить угол между двумя прямыми на плоскости.

Пример 11. Найти угол между прямыми l1 : x 2 y 1 0 и l2 : 3x y 3 0 .

Решение. Запишем общее уравнение заданных прямых l1 и l2 в виде уравнений

с	угловыми								коэффициентами											k	и k2 ,	соответственно:			l : 2 y x 1 или
																				1					1
l	: y	1	x			1		,	значит				k1			1 ;	l		: y 3x 3			, значит k		3.	Подставляя найден-
l	: y		x					,	значит							1 ;	l	2	: y 3x 3			, значит k	2	3.	Подставляя найден-
1	2			2												2		2					2
	2			2												2
ные значения									k	1		и k			3		в формулу (9), находим угол								между прямыми l
									k					2											1
									1	2
										2
и l2 :
			3				1				7
			3										7 , откуда							arctg 7 .
tg				2							2
tg
	1			1	3						1
	1			2	3						2
				2							2

Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая часть формулы (9) берется по модулю, то есть

tg	k2 k1		.
	1 k1 k2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20232.13 Mб09012.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09013.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09014.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09015.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09016.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09017.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19018.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19019.pdf
#
21.11.2023160.72 Кб1902.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09020.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09021.pdf