Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9017

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

	40
Если прямые l1 : y k1 x b1 ;	l2 : y k2 x b2	параллельны, то 0		и tg 0 ,
следовательно, из формулы (9) получаем, что k2 k1 0,			то есть	k2 k1 . И
обратно, если прямые l1 и l2	таковы, что k1	k2 , значит	tg 0 , то есть пря-

мые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых яв-

ляется равенство их угловых коэффициентов.

Если прямые l1	и l2	перпендикулярны, то		, значит ctg	1 k1 k2	0, отку-
			2		k2 k1
да 1 k1 k2 0	т.е.	k1 k2 1. Справедливо и обратное утверждение.				Таким об-

разом, условием перпендикулярности прямых является равенство k1 k2 1.

Пример 11. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 1; 2 и

перпендикулярной прямой L : 3x 2 y 5 0 .

Решение. Перепишем общее уравнение прямой L в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом kL :

L : 3x 2 y 5 0 , 2 y 3x 5 ,

, значит k

Прямые l и L перпендикулярны по условию, значит kl

1, следовательно,

. Подставляя в уравнение (5) kl

, x0 1,

y0 2 находим искомое

уравнение прямой l : y 2

x 1 или

l :3y 6 2x 2, следовательно,

l : 2x 3y 4 0.

2). Пусть теперь прямые l1

l2 заданы общими уравнениями

A1 x B1 y C1 0,

A2 x B2 y C2 0 .

Сведём вычисление угла

между прямыми к вычислению угла между

нормальными векторами к этим прямым. Заметим, что угол между прямыми

может быть только острым, а угол между векторами

может быть и тупым. По-

этому, если угол

A , B

между векторами

острый, то

(см. рис.12).

		41
y				l2
			n1

				l1
				l1

	n2

Рис. 12

Если же угол

между нормальными векторами тупой, то (см.

рис. 13).

Рис. 13

Поскольку cos cos , то

cos | cos | . Таким образом для вычисления

угла между прямыми получаем формулу

cos

A1 A2 B1 B2

(10)

A2 B2

В частности: l1 l2 A1 A2

B1B2

0 ;

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

	A1	B1	C1		, то эти прямые совпадают.
	A	B	C		, то эти прямые совпадают.
2		2		2
					Расстояние от точки до прямой
		Пусть заданы прямая l уравнением Ax By C 0 и точка M 0 (x0, y0 )
(см. рис. 14). Требуется найти расстояние от точки M 0 до прямой l .

Расстояние d от точки M 0 до прямой l равно модулю проекции вектора M1M 0 ,

где M1 - произвольная точка прямой l , на направление нормального вектора

. Следовательно, n A; B

M 0

Рис. 14

d | прn M1M 0 |

______

| A(x0

x1 ) B( y0 y1 ) | | Ax0

By0 Ax1 By1 |

n M1M 0

_______

| n |

A2 B2

Так как точка M1 принадлежит прямой l , то Ax1 By1 C 0,

т.е. С Ax1 By1.

Поэтому

Ax0

By0 C |

(11)

A2 B2

что и требовалось получить.

Пример 12. Найти расстояние от точки M 0 (2, 1) до прямой

3x 4y 22 0.

Решение. По формуле (11) получаем

| 3 2 4 ( 1)

22 |

9 16

Задания для самостоятельной работы:

1.Построить прямые:

1)2x 3y 6 0; 2) 4x 3y 240; 3) 3x 5y 2 0;

4) 5x 2y 1 0; 5) 2x 5y 10; 6) 3x 4y 0; 7) 5x 2 0;

8)2y 5 0; 9) 2x 0.

2.Составить уравнение прямой, отсекающей на оси OY отрезок b 3 и

образующей с положительным направлением оси OX угол 300 .

3. Уравнения прямых привести к виду в отрезках на осях. Прямые построить.

1)	2x 3y 6	3x 2y 4	3y 4x 12	y 6 4x
1)	; 2)	; 3)	; 4)	.

4. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси OX отрезок длиной

3 ед., а на оси OY отрезок длиной 4ед. Выполнить построение.

5.Написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и через точку 2 ; 3 . Прямую построить.

6.Даны точки O 0; 0 и A 3;0 . На отрезке OA построен параллелограмм,

диагонали которого пересекаются в точке B 0; 2 . Написать уравнения

сторон и диагоналей параллелограмма.

7. Прямые	y 2	и	y 4	пересекают прямую	3x 4y 5 0
					соответственно

в точках A и		B . Построить вектор AB , определить его длину и проекции
на оси координат.

8.Прямые x 1 и x 3 пересекают прямую y 2x 1 соответственно в точках A и B . Определить длину вектора AB и его проекции на оси координат.

9.Изобразить геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:

1)	y 2 x, x 2 , y 2 ;				2) y 2 x, x 4 ,		y 0 ;
	x/4 y/2 1 y x 2		x 4			2 x y 2 x	2 x 4
3)	,	,		;	4)	,
							.
10. Найти точку пересечения двух прямых					3x 4y 2902x 5y 190
						,

11.	Стороны треугольника ABC				заданы, соответственно,				уравнениями AB :
	4x 3y 5 0 BC		:	x 3y 100 AC			x 2 0
	,					, :		. Определить координаты
	его вершин.
12.	Дана прямая	2x 3y 4 0				Составить		уравнение	прямой, которая
				.

проходит через точку M 2;1 :

1)параллельно данной прямой; 2) перпендикулярно к данной прямой.

13.Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A 5; 4 , B 1; 3 и C 3; 2 параллельно противоположным

сторонам.

14.Точка движется по прямой параллельной данной 4x 8y 1 и в некоторый

момент времени проходит точку A( 1, 8) . Найти уравнение прямой, по которой движется точка.

15. Даны середины сторон треугольника	M	2;1	M	5;3	M 3; 4
15. Даны середины сторон треугольника	1	,	2	,	3	.

Составить уравнения его сторон.

16.Даны вершины треугольника A 2;1 , B 1; 1 , C 3;2 . Составить уравнения его высот.

17.Даны вершины треугольника A 1; 1 , B 2;1 и C 3;5 . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A на медиану,

проведенную из вершины B .

18. Даны уравнения двух сторон прямоугольника		5x 2y 7 0
18. Даны уравнения двух сторон прямоугольника		,
5x 2y 360	3x 7y 100
и уравнение одной из его диагоналей		.

Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника и второй диагонали.

19. Необходимо восстановить границы квадратного участка земли по трем сохранившимся столбам: одному в центре участка и по одному – на двух

противоположных границах. Составить уравнения прямых, которые отображают границы участка на плоскости, если на плане координаты столбов: М(1, 6) – в центре, А(5, 9), В(3, 0) – на сторонах.

20.	Даны уравнения	двух		сторон		прямоугольника		2x 3y 5 0
								,
	3x 2y 7 0и одна из его вершин					A 2; 3 . Составить уравнения двух
	других сторон этого прямоугольника и его диагоналей.
21.	Найти проекцию точки		M 6;4		на прямую		4x 5y 3 0
								.
22.	Найти координаты	точки		Q ,		симметричной точке		P 5;13
	относительно прямой	2x 3y 3 0
					.

23.Составить уравнение прямой, проходящей через точку P 3; 5 на одинаковых расстояниях от точек A 7;3 и B11; 15.

24.Найти проекцию точки P 8;12 на прямую, проходящую через точки

	A 2; 3 и B 5;1 .
25.	Найти точку	M	1 , симметричную точке				M 5;3		относительно прямой,
25.	Найти точку		1 , симметричную точке				2		относительно прямой,
	проходящей через точки			A 3; 4 и B 1; 2 .
26.	Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны.
1)	3x y 5 0 x 3y 1 0				2)	3x 4y 1 0 4x 3y 7 0
1)		,		;	2)				,	;
3)	6x 15y 7 0 10x 4y 3 0					9x 12y 5 0 8x 6y 130
3)		,			; 4)				,	.
27.	Определить, при каких значениях a					и b две прямые				ax2y 1 0 и
	6x 4y b 0
		:
	1) имеют одну общую точку;				2) параллельны;				3) совпадают.
28.	Определить,	при каком значении a три прямые						2x y 3 0 x y 3 0
28.	Определить,	при каком значении a три прямые								,	,
	axy 130будут пересекаться в одной точке.
29.	Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой									3x 4y 120от
	координатного угла.
30.	Составить уравнение прямой,				которая проходит через точку P 8; 6						и

отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв.ед.

31.	Точка		A 2; 5 является				вершиной		квадрата, одна из сторон которого
	лежит на прямой			x 2y 7 0
	лежит на прямой						. Вычислить площадь этого квадрата.
32.	Даны		уравнения		двух сторон				прямоугольника	3x 2y 5 0
32.	Даны		уравнения		двух сторон				прямоугольника		,
	2x 3y 7 0и одна из его вершин								A 2;1 . Вычислить площадь этого
	прямоугольника.
33.	Доказать, что прямая					2x y 3 0			пересекает отрезок,		ограниченный
	точками		M 5;1			M	3;7
	точками		1		,	2 .
34.	Доказать, что прямая 2x 3y 6 0не пересекает отрезок,										ограниченный
	точками		M 2; 3 M 1; 2
	точками		1		,		2 .
35.	Вычислить расстояние					d	между параллельными прямыми в каждом из
	следующих случаев:
1)	3x 4y 100 6x 8y 5 0 5x 12y 260 5x 12y 130
1)			,				; 2)		,		;
3)	4x 3y 150 8x 6y 250 24x 10y 39012x 5y 260
3)			,				; 4)		,		.
36.	Доказать, что прямая					5x 2y 1 0параллельна прямым 5x 2y 7 0и
	5x 2y 9 0и делит расстояние между ними пополам.
37.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения
прямых		3x 2y 5 0 4x 3y 1 0						и отсекающей на оси ординат
прямых					,			и отсекающей на оси ординат
отрезок b 3.
38.	Составить уравнение					прямой, которая проходит через точку
пересечения прямых				2x y 2 0 x 5y 230
пересечения прямых							,		и делит пополам отрезок,

ограниченный точками M 5; 6 и N 1; 4 .

§ 2. Линии второго порядка на плоскости

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

Ax 2 2Bxy Cy 2 2Dx 2Ey F 0

(1)

Коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из чисел A, B или C отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кри-

выми) второго порядка. Уравнение (1) определяет на плоскости окружность,

эллипс, гиперболу или параболу.

Окружность

Окружностью радиуса R c центром в точке M 0 называется множество всех то-

чек M плоскости, удовлетворяющих условию M 0 M R . Пусть точка M 0 в

прямоугольной системе координат Oxy имеет координаты x0 , y0 а M (x, y) -

произвольная точка окружности (см. рис. 1).

y M

M 0

Тогда из условия	M	0 M0 R получаем уравнение x	Рис.

(x x0 )2 ( y y0 )2 R,

то есть

(x x0 )2 ( y y0 )2 R 2 ,	(2)
Уравнению (2) удовлетворяют координаты любой точки M (x, y)	данной окруж-

ности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружно-

сти.

Уравнение (2) называется каноническим уравнением окружности.

В частности, полагая x0 0, и y0 0 , получим уравнение окружности с центром в начале координат x2 y 2 R 2 .

Уравнение окружности (2) после несложных преобразований примет вид

x 2 y 2 2x0 x 2 y0 y x02 y02 R 2 0 .

При сравнении этого уравнения с общим уравнением (1) кривой второго поряд-

ка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1)коэффициенты при x2 и y 2 равны между собой,

2)отсутствует член, содержащий произведение xy текущих координат.

Пример. Показать, что уравнение x2 y2 8x 2y 8 0 задает окружность.

Найти ее центр и радиус.

Решение. Т.к. B 0 , A C 1 – это окружность. Выделим полные квадраты x2 8x 16 16 y2 2y 1 1 8 0

x 4 2 16 y 1 2 1 8 0

x 4 2 y 1 2 9.

Получили уравнение окружности с центром в т. C 4, 1 и радиусом R 3 .

Задания для самостоятельной работы:

1.Дана точка A 4;6 . Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок OA.

2.Написать уравнение окружности, касающейся осей координат и

	проходящей через точку A 2;1 .
3.	Составить уравнение окружности зная, что точки A 3; 2 и
	являются концами одного из её диаметров.
4.	Написать уравнение окружности, проходящей через точки
	B 0;2 и C 1; 1 .

B 1;6

A 1;3 ,

5.											2
5.	Определить область расположения кривой y x 4x. Построить
	кривую.
6.	Написать уравнение окружности, проходящей через точки пересечения
	окружности				2 2					y x и через точку
	окружности				x y 4x4y0с прямой					y x и через точку
	A 4; 4 .
7.	Составить уравнение окружности, зная, что									она	касается оси OY в
	начале координат и пересекает ось OX в точке 6; 0 .
8.	Построить кривые:
		2 2							2 2
	1)	x y 4x6y30						2)	x y 2x4y50
	1)						;	2)				;
				2	2				2	2
	2) 3)		x y 8x 0					4)	x y 4y 0
	2) 3)					;		4)			;
		2 2							2 2
	5)	x y 8x6y 0						6) x y 2x20.
	5)					;		6) x y 2x20.
9.	Показать, что точка A 3; 0							лежит внутри			окружности
	2 2

x y 4x2y10, и написать уравнение хорды, делящейся в точке

A пополам.

Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстоя-

ний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых

фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокуса-

ми.

Обозначим фокусы через F1 и F2 , расстояние между ними через 2с, а

сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через 2 a . По определению 2a 2c, т.е. a c.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20232.13 Mб09012.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09013.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09014.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09015.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09016.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09017.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19018.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19019.pdf
#
21.11.2023160.72 Кб1902.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09020.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09021.pdf