9027

При создании формы экраноплана я использовал канонические уравнения поверхностей второго порядка, задавая конкретные значения коэффициентов в зависимости от требуемых размеров. Стыковка поверхностей выполнялась с учётом совпадения касательных. В итоге была получена нужная форма поверхности, дающая правильное сочетание кривизны продольных и поперечных сечений. Это означает, что линии, формирующие поверхность не имеют впадин и изломов (рис. 5.13), в отличие от рассмотренной на рисунках 5.6 и 5.7 поверхности самолёта.

Получается, что нужный закон связи кривизны продольных и поперечных сечений заложен в классических поверхностях второго порядка. Используя их, мы получаем совершенную форму проектируемого объекта (рис. 5.9).

Пройденный путь привел меня к формированию определённой концепции формообразования объектов транспорта. Использование аналитической геометрии в дизайнерском проектировании даёт возможность гармоничного сочетания совершенства формы и функционального назначения объекта. При этом важно отметить тот факт, что применение «чистой» геометрии к функциональному формообразованию летательных аппаратов позволяет получить совершенно неожиданные формы и характеристики.

130

ИСТОРИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ или

ОСМЫСЛЕНИЕ ПРОДЕЛАННОГО

Заканчивая работу, я понял, что, погрузившись в основы математического анализа и аналитической геометрии, я, по существу, переоткрыл для себя их фундаментальные положения. Благодаря подробным геометрическим иллюстрациям они обрели зримость в моём восприятии. Нацеленность на выполнение конкретного дизайнерского проекта создавала постоянный стимул к продвижению вглубь – к основам математики. Возрастающее понимание постепенно изменило всё моё отношение и к своей профессиональной сфере, и к процессу учёбы.

Что значит понять? Постичь? Наверное, сделать своим. Прожить материал вчувствованием в него. Для меня как гуманитария момент чувства весьма важен. Это момент, когда интуиция, объединившись с логикой, даёт радостный всплеск, именуемый вдохновением. Обретя вдохновение внутри математики, и получив конкретный результат, я ощущаю себя уже другим гуманитарием, хотя сделал пока только первые шаги. Плодотворность осмысления математического мира очевидна для меня. Я готов двигаться дальше к исходному и уверен, что обладаю соответствующими навыками для этого.

Я понял, что только на первых порах стимулом к продвижению вглубь математики как языка было решение конкретной практической задачи. По мере расширения моих знаний возрастало желание постижения математических закономерностей как таковых, как некоторой внутренней логики самого познания.

133

Пройденный путь дал возможность прежнюю задачу рассмотреть по-новому, снова сблизив область абстрактных идей с реальностью приложений.

Я стал осмысливать исторические этапы развития математики и её приложений; и пришёл к потрясающему выводу: в своём кратком опыте я воспроизвёл некоторые ключевые моменты этого мощного процесса.

Множество новых теорий в истории человечества начиналось с задачи, которую человек не в состоянии был решить традиционными способами. Получалось, что он просто «упирался лбом» в эту задачу в поисках методики и подходов к её решению. Зачастую успех достигался, если удавалось выявить саму суть задачи и, исходя из неё, строить дальнейшие рассуждения. При этом базовые понятия математики, то есть существующие теории и методы, рассмотренные в новой интерпретации, изменяли взгляд на проблему. Таким образом, не только появлялись решения этих задач, но и рождались новые формы восприятия мира или какого-либо явления.

Так, например, Софья Ковалевская проявила в своё время большую смелость, впервые рассмотрев в задаче механики время как комплексное переменное. Это дало ей возможность применить к классической задаче о движении тяжёлого твёрдого тела около неподвижной точки прекрасно разработанный аппарат теории функций комплексного переменного. Задаче интегрирования системы уравнений, определяющих положение твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, были посвящены труды Эйлера, Лагранжа, Пуансо, Якоби и других учёных. Результаты, полученные Ковалевской, позволили в определённом смысле объединить достижения её предшественников.

134

Помимо результата в решении классической задачи механики, в исследовании С.В. Ковалевской ценность представляет именно идея чисто математического расширения первоначальной задачи механики - она знаменовала в механике замечательную эпоху использования методов современного анализа. Эта идея успешно была использована в дальнейшем, например, Пуанкаре и Зундманом в задаче трёх тел, а также Н.Е. Жуковским и С.А. Чаплыгиным в аэромеханике.

Мысль об исторических аналогиях в связи с моим движением к пониманию вопросов математики, аэромеханики и дизайнерского проектирования очень вдохновила меня. Может быть, логика истории вообще быстрее достигает понимания, чем традиционное дидактическое изложение материала?

Вопрос обретает особую актуальность в связи с очевидной невозможностью для конкретного человеческого сознания охватить последовательно даже основные сферы и области громадного мира, называемого современной математикой. Каким может быть принцип отбора? Как это может отразиться в содержании образования, призванного одновременно быть и фундаментальным, и нацеленным на конкретное направление с определённым профилем обучения? Нужен и интересен поиск форм изучения математики и форм преподавания её.

Обозревая проделанное через написанное, я осознал, что совершил собственное «восхождение в исходное». Прочувствовав базисные вещи до мелочей, я ощутил себя внутри математического мира. И этот мир – не чужой для меня. Я могу использовать его плоды и обогащать свой мир и мир своей профессиональной сферы новым содержанием и радостью вдохновенного творчества.

135

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………..3

Глава 1. Постановка задачи, или Всё начиналось с бутылки…………………………………….………5

1.1.Задача о вычислении площади криволинейной трапеции ………………………………………….....5

1.2.Понятие определённого интеграла…………….......8

1.3.Объём тела вращения...………………….………….9

1.4.Объём тела с известной площадью поперечных сечений……………………….……………….……12

Глава 2. Кривые – уравнениями, или Аппарат аналитической геометрии на плоскости….…….17

2.1.Окружность…………..………………………..……18

2.2.Эллипс………………..……………………...……...19

2.3.Гипербола …………………………...……………...24

2.4.Парабола…………………………………………….33

2.5.Общее уравнение линии второго порядка………..37

2.6.Классификация кривых второго порядка…...……38

2.7.Параллельный перенос осей координат…………..41

2.8.Поворот осей координат…………………………...45

Глава 3. Бутылка на языке формул, или Поверхности второго порядка….……………………………….55

3.1.Плоскость…………………………………………....55

3.2.Общее уравнение поверхности второго порядка....62

3.3.Цилиндрические поверхности……………………..63

3.4.Поверхности вращения……………………………..69

3.5.Эллипсоид…………………………………………...72

3.6.Однополостный гиперболоид…………………...…77

3.7.Двуполостный гиперболоид………………………..81

3.8.Конус второго порядка……………………………..83

136

3.9.Эллиптический и гиперболический параболоиды……………………………………...86

3.10.Классификация поверхностей второго порядка………………………………….91

3.11.Построение тел, ограниченных заданными поверхностями………………………………......93

Глава 4. Обрисовка контуров, или Подбор кривых и поверхностей…………………………………...101

Глава 5. Геометрия полёта, или Аэродинамические формы……………….…………………………..115

Исторические аналогии, или Осмысление проделанного……...…………………………...133

137

Протасова Людмила Анатольевна Бутысин Алексей Алексеевич

ОТ ГЕОМЕТРИИ – К ДИЗАЙН-ПРОЕКТУ или

КАК Я ПОЛЮБИЛ МАТЕМАТИКУ

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям

по дисциплине «Математика и информатика в архитектурном

проектировании» для обучающихся по направлению подготовки

07.03.01 Архитектура, направленность (профиль) Архитектура

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» 603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.

http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru

138

139