9027

изображения основного прямоугольника, продолжая диагонали которого получаем прямые с уравнениями

неограниченно приближающимися к ним (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Фокусы находятся на расстоянии c от начала координат.

Гипербола с равными полуосями называется равносторонней, её каноническое уравнение имеет вид x2 y2 a2 . Основной прямоугольник равносторонней гиперболы становится квадратом, прямые y x и являются асимптотами, перпендикулярными друг к другу (рис. 2.12).

31

Рис. 2.12

Отношение расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается буквой :

ac . Для гиперболы 1, поскольку c a . Так как

ba 2 1 .

Следовательно, как и для эллипса, эксцентриситет гиперболы определяется отношением её осей. Он характеризует форму её основного прямоугольника. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение b к a , то есть основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Для равносторонней гиперболы

2 .

32

2.4. Ещё одна знаменитая кривая второго порядка – это парабола. Для её определения нужна прямая L на плоскости и не лежащая на прямой точка F . Множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки F (называемой фокусом) и данной прямой L (называемой директрисой), называется параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы принято обозначать через p (рис. 2.13).

Величину p называют фокальным параметром параболы.

Рис. 2.13

Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведём ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе и будем считать её направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 2.14).

33

Возведём обе части полученного равенства в квадрат

Как уравнения эллипса и гиперболы, оно тоже является уравнением второго порядка.

Так как уравнение (2.3) содержит переменную y только в чётной степени, то парабола симметрична

относительно оси Ox . Так как p 0 , то x 0 . Это означает, что парабола расположена справа от оси Oy .

симметрично относительно оси Ox , получим геометрическое изображение параболы (рис. 2.15).

Рис. 2.15

35

Ось симметрии параболы (в данном случае совпадающая с осью Ox ) называется её осью. Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется её вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат). Для описания геометрического смысла фокального параметра p можно взять какое-

либо значение абсциссы, например, x 1. Из уравнения (2.3) найдём соответствующие ему значения ординаты:

Следовательно, параметр p характеризует «ширину» области, ограниченной параболой.

Рис. 2.16

В трёх рассмотренных случаях мы двигались от определений конкретных линий к их уравнениям, которые оказались уравнениями второго порядка. Можно поставить обратную задачу: начать сразу с анализа уравнения.

36

где коэффициенты A, B,C, D, E и F — любые действительные числа, но, по крайней мере, одно из

уравнением линии (кривой) второго порядка.

Например, уравнение x2 + xy + y2 - y - 5 = 0

относится к классу уравнений второго порядка и получается из общего вида (2.4) при конкретном значении коэффициентов: A = 1, B = 0,5, C = 1,

D = 0 , E = - 0,5, F = - 5.

Кроме рассмотренных классических кривых (эллипса, гиперболы и параболы), уравнение (2.4) может привести ещё к нескольким случаям, называемым вырожденными.

Если в уравнении (2.4) B D E F 0 , то остаётся только два слагаемых, т.е. Ax2 Cy2 0 .

При одинаковых знаках A и C уравнению соответствует на плоскости одна точка – начало

одинаковых знаках коэффициентов C и F решений нет, а при разных знаках C и F получаются две параллельные прямые.

37

Если из уравнения (2.4) остаётся одно слагаемое

F 0, то опять ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.

2.6. Итак, после преобразований уравнения (2.4) получаются три основные линии: эллипс, гипербола и парабола или линии, отнесённые к вырожденным случаям. Все эти ситуации разбиваются на три типа, соответствующие трём основным линиям.

I. Эллиптический тип:

II. Гиперболический тип:

38

прямых).

III. Параболический тип:

6)y2 = 2 px (парабола),

7)y2 = a2 (пара параллельных прямых),

8)y2 = 0 (прямая),

9)y2 = - a2 (пустое множество).

Если для каждого из уравнений вычислить число

AC B2 , то можно заметить, что оно положительно для уравнений первого типа, отрицательно для второго и равно нулю для уравнений третьего типа. Оказывается, это выполняется в общем случае. То есть по исходным коэффициентам уравнения (2.4), которые присутствуют в конкретной задаче, можно сразу определить, к какому типу относится линия, задаваемая этим уравнением:

39